解題經(jīng)驗(yàn)下的解題實(shí)踐與思考

李秀元

摘要：以一道導(dǎo)數(shù)訓(xùn)練題為例，談解題經(jīng)驗(yàn)在解題中的應(yīng)用，并由此獲得一些思考.

關(guān)鍵詞：解題經(jīng)驗(yàn);思維定式;創(chuàng)新;轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0031-04

解題經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏屛覀兛焖偕钊腩}目，獲得試題的解，為考試贏得寶貴時(shí)間.然而，經(jīng)驗(yàn)又會形成思維定勢，有時(shí)能使人入乎其內(nèi)，久而不得其勢.如果缺乏高瞻遠(yuǎn)矚、審時(shí)度勢、運(yùn)籌帷幄的大局觀，反而會阻礙解題，實(shí)在是一把雙刃劍.審題度式，具體問題具體分析，縱橫捭闔才是解題應(yīng)有的模樣.《中國高考評價(jià)體系說明》指出，高考試題應(yīng)“關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力和素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等，考查學(xué)生敏銳發(fā)覺舊事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查學(xué)生進(jìn)行新穎的推測和設(shè)想，并周密論證的能力，考查學(xué)生探索新方法、積極主動解決問題的能力，鼓勵學(xué)生擺脫思維定勢的束縛，勇于大膽創(chuàng)新”，這為破除題海戰(zhàn)、機(jī)械刷題，培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指明了方向.

下面以2021年安徽省黃山市聯(lián)考的一道導(dǎo)數(shù)解答題為例，談解題經(jīng)驗(yàn)下的解題實(shí)踐，由此獲得一些思考，希望對同學(xué)們有所幫助.

1 試題呈現(xiàn)與解讀

題目已知函數(shù)f（x）=x2-（a-2）x-alnx（a∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對任意的x>0，f（x）+ex>x2+x+2.

該題結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)問層次分明，指向明確，主要考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及導(dǎo)數(shù)背景下函數(shù)不等式的證明，涉及的思想方法包括分類討論和數(shù)形結(jié)合，核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等.作為周測題，我們認(rèn)為該題比較基礎(chǔ)，況且第（2）小題不等式還不含參數(shù)，但考試結(jié)果卻不是很理想.

2 試題解法探究與思考2.1 第（1）問解析

解析函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+

SymboleB@

）.

（1）f ′（x）=2x-（a-2）-ax=（x+1）（2x-a）x.

①若a≤0，則f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

②若a>0，當(dāng)0<x<a2時(shí)，f ′（x）<0;

當(dāng)x>a2時(shí)，f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，a2）上單調(diào)遞減，（a2，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+

SymboleB@

）;

當(dāng)a>0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a2），增區(qū)間是（a2，+

SymboleB@

）.

反思1分類討論時(shí)，如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？這一點(diǎn)學(xué)生比較容易犯迷糊，拿捏不準(zhǔn).事實(shí)上，確定導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的符號，主要依賴其零點(diǎn)，由零點(diǎn)對定義域進(jìn)行區(qū)間劃分.由于x>0，故f ′（x）的零點(diǎn)形式上是由2x-a=0，即x=a2來確定.“零點(diǎn)”a2在不在定義域內(nèi)，是分類討論的第一標(biāo)準(zhǔn).如果導(dǎo)函數(shù)有多個零點(diǎn)，則需討論多個零點(diǎn)的大小關(guān)系，這是分類討論的第二標(biāo)準(zhǔn).不僅如此，有時(shí)還涉及自變量的系數(shù)含參數(shù)，其正負(fù)會左右導(dǎo)數(shù)符號，也是需要討論的.

反思2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)性是不同對象，要區(qū)別對待，很多學(xué)生在表述時(shí)往往混為一團(tuán).函數(shù)的單調(diào)性是描述函數(shù)值隨自變量變化而變化的整體表現(xiàn)，依托自變量的取值范圍，而函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是反映函數(shù)相同變化規(guī)律下，自變量取值的最大連續(xù)范圍，以增區(qū)間或減區(qū)間的形式出現(xiàn)，間隔的單調(diào)增（減）區(qū)間一般需要分開寫.

反思3a=0時(shí)函數(shù)的定義域有沒有變化？有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)式中就不存在lnx，因此，定義域不再是（0，+

SymboleB@

），而是R.這種理解是不對的.正如lnx求導(dǎo)后得到1x，單從式子結(jié)構(gòu)來說，自變量的范圍擴(kuò)大了，但任何函數(shù)其定義域都是由原式子結(jié)構(gòu)決定的，確定函數(shù)的定義域應(yīng)優(yōu)先于式子化簡.由于函數(shù)f（x）中含有l(wèi)nx，其定義域是（0，+∞），不會因a=0使該項(xiàng)為0而發(fā)生改變，否則，我們可以對函數(shù)式進(jìn)行任意形式的添加減（項(xiàng)為0），從而改變其定義域.

2.2 第（2）問解析

解析a=1時(shí)，f（x）=x2+x-lnx.

不等式f（x）+ex>x2+x+2可化為ex-lnx>2.

方法1借助隱零點(diǎn).

證明函數(shù)不等式，一般先研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值（或取值范圍）以獲得問題的解.如果函數(shù)的極值點(diǎn)不確定，那么就會使用隱零點(diǎn).

記g（x）=ex-lnx，則g′（x）=ex-1x.

因?yàn)閥=ex在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，y=1x在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞減，所以g′（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

因?yàn)間′（12）=e-2<0，g′（1）=e-1>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知x0∈（12，1），g′（x0）=0，即ex0=1x0.

當(dāng)0<x<x0時(shí)，g′（x）<0;

當(dāng)x>x0時(shí)，g′（x）>0.

所以g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，從而g（x）min=g（x0），下面只需證明

g（x0）>2.但似乎又回到了起點(diǎn)，于事無補(bǔ)，因?yàn)閺慕Y(jié)構(gòu)上看最小值與原函數(shù)是一樣的，僅僅是多了一個更小的范圍，因此需要對式子進(jìn)行變形.

策略1替換指數(shù)式.

由于ex0=1x0，將ex0換成1x0，

則g（x0）=ex0-lnx0=1x0-lnx0.

記m（x）=1x-lnx，x∈（12，1），

則需證明m（x）>2.

因?yàn)閥=1x在（12，1）上單調(diào)遞減，y=lnx在（12，1）上單調(diào)遞增，所以m（x）在（12，1）上單調(diào)遞減，從而m（x）>m（1）=1，不等式并不成立.

反思4導(dǎo)數(shù)并非是確定函數(shù)單調(diào)性的唯一方式，也不一定是最簡潔的方式，卻是確定函數(shù)單調(diào)性的最后方式.對于較復(fù)雜函數(shù)，一般通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，受這種思維定勢的影響，不少學(xué)生凡函數(shù)必求導(dǎo)，反而舍去了利用基本初等函數(shù)單調(diào)性來確定復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性這一直接方法，于無形中增大了思維量和運(yùn)算量，少了解題的靈活性.

反思5為什么所證不等式不成立？難道是題目存在問題？如果題目沒有問題，問題究竟出在哪里？如何去修正？

顯然，g′（x）的零點(diǎn)x0雖然不明確，但卻是一個具體的值，將其擴(kuò)大到一個范圍，函數(shù)g（x）的值便發(fā)生了變化，這就是不等式不成立的根本原因.要得到所證不等式，根據(jù)函數(shù)m（x）的單調(diào)性，必須控制x0所在區(qū)間的右端點(diǎn).我們有兩個方向，一是按二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)，逐次縮小x0的取值范圍.經(jīng)過核算發(fā)現(xiàn)，數(shù)值運(yùn)算越來越麻煩，故舍去;二是重新回到零點(diǎn)存在性定理，重構(gòu)零點(diǎn)x0的取值范圍.基于“好算”的原則，我們把零點(diǎn)界定在（12，1）內(nèi).通過估算，我們發(fā)現(xiàn)m（12）>2，因此，g′（x）的零點(diǎn)x0大于12，且無限接近12.

選擇大于且接近12的數(shù)，第一次我們?nèi)=23，雖然有e2>（32）3，即e23>32，故g′（23）>0，x0∈（12，23）.但e>（32）2，即e12>32，故ln32<12，使得m（23）=32+ln32不大于2，嘗試失敗，但已非常接近了，我們需要選擇一個比23小的正數(shù).

通過估算，我們又得到e3>（53）5，即e35>53，所以g′（35）=e35-53>0，因此x0∈（12，35）.

又e<（53）3，即e13<53，

取自然對數(shù)，得13<ln53.

所以m（x）min=m（35）=53-ln35=53+ln53>53+13=2.

即g（x0）>2，證畢.

反思6雖然經(jīng)歷了幾次反復(fù)，最終我們還是將x0的取值范圍縮小到（12，35），并順利完成不等式的證明，但在緊張的考試期間，學(xué)生有沒有時(shí)間去嘗試，愿不愿意去嘗試，即使嘗試，能不能找到合理的數(shù)值，這些都得打上大大的問號.解題思路是如此的熟悉，但并不能保證順利完成任務(wù).破除定勢，另辟蹊徑，也許能柳暗花明.

策略2指對式同時(shí)替換.

如果化簡的力度再大點(diǎn)，我們會發(fā)現(xiàn)不等式中的指數(shù)和對數(shù)式都可以被替換.

因?yàn)閑x0=1x0，所以x0=e-x0，

兩邊取自然對數(shù)，得lnx0=-x0，

因此g（x0）=x0+1x0.

又0<x0<1，所以g（x0）=x0+1x0>2.

利用指數(shù)式和對數(shù)式互化，將函數(shù)化為一般函數(shù)，所證不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式模型，少了更多計(jì)算與嘗試，輕輕松松便解決了問題，實(shí)在是妙！

方法2重構(gòu)不等式，分別求值.

回到原不等式，如果僅僅抵消x2，便得到ex-lnx+x>x+2，把ex和lnx調(diào)整到不等式的兩邊，重組后有ex-x-1>lnx-x+1.有沒有眼前一亮的感覺？

令y1=ex-x-1，y2=lnx-x+1，則

y′1=ex-1，y′2=1x-1.

所以，當(dāng)x>0時(shí)，y′1>0，即y1=ex-x-1在（0，+

SymboleB@

）上

單調(diào)遞增，因此y1>0;

當(dāng)0<x<1時(shí)，y′2>0，當(dāng)x>1時(shí)，y′2<0，即y2=lnx-x+1在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞減，因此y2≤0.

顯然y1>y2，即ex-x-1>ln-x+1，不等式證畢.

多么精妙的證法呀！

反思7方法2的證明，完全避開了方法1中的各種不適，要的只是一種結(jié)構(gòu)重組.然而，在進(jìn)行不等式化簡時(shí)，貪圖方便簡潔，我們早早地消去了相同項(xiàng)，看似簡單，卻完全忽視不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，實(shí)則是給自己挖了一個大坑.簡單問題復(fù)雜化，實(shí)在可惜！

基于方法2，我們有下面的方法3.

方法3利用指數(shù)不等式放縮.

由上可知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1.

因此ex-lnx>x+1-lnx，如果x+1-lnx≥2恒成立，則原不等式也就恒成立.

事實(shí)上，x+1-lnx≥2即為lnx≤x-1，這也是成立的.

所以ex-lnx>x+1-lnx≥2.

即ex-lnx>2.

類似地，也可以利用對數(shù)不等式進(jìn)行放縮，請大家自己完成.

反思8ex>x+1（x≠0）和lnx≤x-1（x>0）是導(dǎo)數(shù)問題中經(jīng)常用來“化曲為直”的放縮方式，也是教材習(xí)題，理當(dāng)被記住.從幾何結(jié)構(gòu)來看，由于函數(shù)y=ex是下凸，而函數(shù)y=lnx是上凸，兩條平行直線（其實(shí)就是曲線的切線）將兩曲線完全分割開，使得不等式具有非常明顯的幾何特點(diǎn)，基于此，我們可以求出兩曲線上點(diǎn)間距離的最小值，如2012年高考全國卷理科試題，摘錄如下，供大家參考.

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=12ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln2x上，則|PQ|的最小值為（）.

A. 1-ln2B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2D. 2（1+ln2）

在解題經(jīng)驗(yàn)指引下，通過對試題解法研究，我們經(jīng)歷了很多變數(shù)，最終獲得了更優(yōu)證明方法.這中間解題經(jīng)驗(yàn)起到了很好的指導(dǎo)作用，但完全依賴解題經(jīng)驗(yàn)，如果不能突破思維定勢，解題的局限性就顯露無疑，面對新的問題情境，可能就會束手無策，解題當(dāng)思之.

參考文獻(xiàn)：

[1]?教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系＼[M＼].北京：人民教育出版社，2019.

[責(zé)任編輯：李璟]