解題經驗下的解題實踐與思考

李秀元

摘要：以一道導數訓練題為例，談解題經驗在解題中的應用，并由此獲得一些思考.

關鍵詞：解題經驗;思維定式;創新;轉化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0031-04

解題經驗能讓我們快速深入題目，獲得試題的解，為考試贏得寶貴時間.然而，經驗又會形成思維定勢，有時能使人入乎其內，久而不得其勢.如果缺乏高瞻遠矚、審時度勢、運籌帷幄的大局觀，反而會阻礙解題，實在是一把雙刃劍.審題度式，具體問題具體分析，縱橫捭闔才是解題應有的模樣.《中國高考評價體系說明》指出，高考試題應“關注與創新密切相關的能力和素養，比如獨立思考能力、發散思維、逆向思維等，考查學生敏銳發覺舊事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查學生進行新穎的推測和設想，并周密論證的能力，考查學生探索新方法、積極主動解決問題的能力，鼓勵學生擺脫思維定勢的束縛，勇于大膽創新”，這為破除題海戰、機械刷題，培養和提升學生數學核心素養指明了方向.

下面以2021年安徽省黃山市聯考的一道導數解答題為例，談解題經驗下的解題實踐，由此獲得一些思考，希望對同學們有所幫助.

1 試題呈現與解讀

題目已知函數f（x）=x2-（a-2）x-alnx（a∈R）.

（1）求函數f（x）的單調區間;

（2）當a=1時，證明：對任意的x>0，f（x）+ex>x2+x+2.

該題結構簡單，設問層次分明，指向明確，主要考查利用導數確定函數的單調區間，以及導數背景下函數不等式的證明，涉及的思想方法包括分類討論和數形結合，核心素養涵蓋數學運算、邏輯推理、直觀想象和數學建模等.作為周測題，我們認為該題比較基礎，況且第（2）小題不等式還不含參數，但考試結果卻不是很理想.

2 試題解法探究與思考2.1 第（1）問解析

解析函數f（x）的定義域為（0，+

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）.

（1）f ′（x）=2x-（a-2）-ax=（x+1）（2x-a）x.

①若a≤0，則f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，+

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）上單調遞增.

②若a>0，當0<x<a2時，f ′（x）<0;

當x>a2時，f ′（x）>0.

所以f（x）在（0，a2）上單調遞減，（a2，+

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）上單調遞增.

因此，當a≤0時，f（x）的單調增區間是（0，+

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）;

當a>0時，f（x）的單調減區間是（0，a2），增區間是（a2，+

SymboleB@

）.

反思1分類討論時，如何確定分類標準？這一點學生比較容易犯迷糊，拿捏不準.事實上，確定導函數f ′（x）的符號，主要依賴其零點，由零點對定義域進行區間劃分.由于x>0，故f ′（x）的零點形式上是由2x-a=0，即x=a2來確定.“零點”a2在不在定義域內，是分類討論的第一標準.如果導函數有多個零點，則需討論多個零點的大小關系，這是分類討論的第二標準.不僅如此，有時還涉及自變量的系數含參數，其正負會左右導數符號，也是需要討論的.

反思2函數的單調區間與函數的單調性是不同對象，要區別對待，很多學生在表述時往往混為一團.函數的單調性是描述函數值隨自變量變化而變化的整體表現，依托自變量的取值范圍，而函數的單調區間是反映函數相同變化規律下，自變量取值的最大連續范圍，以增區間或減區間的形式出現，間隔的單調增（減）區間一般需要分開寫.

反思3a=0時函數的定義域有沒有變化？有學生認為，當a=0時，函數式中就不存在lnx，因此，定義域不再是（0，+

SymboleB@

），而是R.這種理解是不對的.正如lnx求導后得到1x，單從式子結構來說，自變量的范圍擴大了，但任何函數其定義域都是由原式子結構決定的，確定函數的定義域應優先于式子化簡.由于函數f（x）中含有lnx，其定義域是（0，+∞），不會因a=0使該項為0而發生改變，否則，我們可以對函數式進行任意形式的添加減（項為0），從而改變其定義域.

2.2 第（2）問解析

解析a=1時，f（x）=x2+x-lnx.

不等式f（x）+ex>x2+x+2可化為ex-lnx>2.

方法1借助隱零點.

證明函數不等式，一般先研究函數的單調性，確定函數的最值（或取值范圍）以獲得問題的解.如果函數的極值點不確定，那么就會使用隱零點.

記g（x）=ex-lnx，則g′（x）=ex-1x.

因為y=ex在（0，+

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）上單調遞增，y=1x在（0，+

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）上單調遞減，所以g′（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增.

因為g′（12）=e-2<0，g′（1）=e-1>0，根據零點存在性定理，知x0∈（12，1），g′（x0）=0，即ex0=1x0.

當0<x<x0時，g′（x）<0;

當x>x0時，g′（x）>0.

所以g（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+

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）上單調遞增，從而g（x）min=g（x0），下面只需證明

g（x0）>2.但似乎又回到了起點，于事無補，因為從結構上看最小值與原函數是一樣的，僅僅是多了一個更小的范圍，因此需要對式子進行變形.

策略1替換指數式.

由于ex0=1x0，將ex0換成1x0，

則g（x0）=ex0-lnx0=1x0-lnx0.

記m（x）=1x-lnx，x∈（12，1），

則需證明m（x）>2.

因為y=1x在（12，1）上單調遞減，y=lnx在（12，1）上單調遞增，所以m（x）在（12，1）上單調遞減，從而m（x）>m（1）=1，不等式并不成立.

反思4導數并非是確定函數單調性的唯一方式，也不一定是最簡潔的方式，卻是確定函數單調性的最后方式.對于較復雜函數，一般通過求導確定函數的單調性，受這種思維定勢的影響，不少學生凡函數必求導，反而舍去了利用基本初等函數單調性來確定復雜函數單調性這一直接方法，于無形中增大了思維量和運算量，少了解題的靈活性.

反思5為什么所證不等式不成立？難道是題目存在問題？如果題目沒有問題，問題究竟出在哪里？如何去修正？

顯然，g′（x）的零點x0雖然不明確，但卻是一個具體的值，將其擴大到一個范圍，函數g（x）的值便發生了變化，這就是不等式不成立的根本原因.要得到所證不等式，根據函數m（x）的單調性，必須控制x0所在區間的右端點.我們有兩個方向，一是按二分法求函數近似零點，逐次縮小x0的取值范圍.經過核算發現，數值運算越來越麻煩，故舍去;二是重新回到零點存在性定理，重構零點x0的取值范圍.基于“好算”的原則，我們把零點界定在（12，1）內.通過估算，我們發現m（12）>2，因此，g′（x）的零點x0大于12，且無限接近12.

選擇大于且接近12的數，第一次我們取x=23，雖然有e2>（32）3，即e23>32，故g′（23）>0，x0∈（12，23）.但e>（32）2，即e12>32，故ln32<12，使得m（23）=32+ln32不大于2，嘗試失敗，但已非常接近了，我們需要選擇一個比23小的正數.

通過估算，我們又得到e3>（53）5，即e35>53，所以g′（35）=e35-53>0，因此x0∈（12，35）.

又e<（53）3，即e13<53，

取自然對數，得13<ln53.

所以m（x）min=m（35）=53-ln35=53+ln53>53+13=2.

即g（x0）>2，證畢.

反思6雖然經歷了幾次反復，最終我們還是將x0的取值范圍縮小到（12，35），并順利完成不等式的證明，但在緊張的考試期間，學生有沒有時間去嘗試，愿不愿意去嘗試，即使嘗試，能不能找到合理的數值，這些都得打上大大的問號.解題思路是如此的熟悉，但并不能保證順利完成任務.破除定勢，另辟蹊徑，也許能柳暗花明.

策略2指對式同時替換.

如果化簡的力度再大點，我們會發現不等式中的指數和對數式都可以被替換.

因為ex0=1x0，所以x0=e-x0，

兩邊取自然對數，得lnx0=-x0，

因此g（x0）=x0+1x0.

又0<x0<1，所以g（x0）=x0+1x0>2.

利用指數式和對數式互化，將函數化為一般函數，所證不等式轉化為基本不等式模型，少了更多計算與嘗試，輕輕松松便解決了問題，實在是妙！

方法2重構不等式，分別求值.

回到原不等式，如果僅僅抵消x2，便得到ex-lnx+x>x+2，把ex和lnx調整到不等式的兩邊，重組后有ex-x-1>lnx-x+1.有沒有眼前一亮的感覺？

令y1=ex-x-1，y2=lnx-x+1，則

y′1=ex-1，y′2=1x-1.

所以，當x>0時，y′1>0，即y1=ex-x-1在（0，+

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）上

單調遞增，因此y1>0;

當0<x<1時，y′2>0，當x>1時，y′2<0，即y2=lnx-x+1在（0，1）上單調遞增，（1，+

SymboleB@

）上單調遞減，因此y2≤0.

顯然y1>y2，即ex-x-1>ln-x+1，不等式證畢.

多么精妙的證法呀！

反思7方法2的證明，完全避開了方法1中的各種不適，要的只是一種結構重組.然而，在進行不等式化簡時，貪圖方便簡潔，我們早早地消去了相同項，看似簡單，卻完全忽視不等式的結構特點，實則是給自己挖了一個大坑.簡單問題復雜化，實在可惜！

基于方法2，我們有下面的方法3.

方法3利用指數不等式放縮.

由上可知，當x>0時，ex>x+1.

因此ex-lnx>x+1-lnx，如果x+1-lnx≥2恒成立，則原不等式也就恒成立.

事實上，x+1-lnx≥2即為lnx≤x-1，這也是成立的.

所以ex-lnx>x+1-lnx≥2.

即ex-lnx>2.

類似地，也可以利用對數不等式進行放縮，請大家自己完成.

反思8ex>x+1（x≠0）和lnx≤x-1（x>0）是導數問題中經常用來“化曲為直”的放縮方式，也是教材習題，理當被記住.從幾何結構來看，由于函數y=ex是下凸，而函數y=lnx是上凸，兩條平行直線（其實就是曲線的切線）將兩曲線完全分割開，使得不等式具有非常明顯的幾何特點，基于此，我們可以求出兩曲線上點間距離的最小值，如2012年高考全國卷理科試題，摘錄如下，供大家參考.

設點P在曲線y=12ex上，點Q在曲線y=ln2x上，則|PQ|的最小值為（）.

A. 1-ln2B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2D. 2（1+ln2）

在解題經驗指引下，通過對試題解法研究，我們經歷了很多變數，最終獲得了更優證明方法.這中間解題經驗起到了很好的指導作用，但完全依賴解題經驗，如果不能突破思維定勢，解題的局限性就顯露無疑，面對新的問題情境，可能就會束手無策，解題當思之.

參考文獻：

[1]?教育部考試中心.中國高考評價體系＼[M＼].北京：人民教育出版社，2019.

[責任編輯：李璟]