求范圍中不可忽視的取等問題

李文東

摘要：文章介紹了根據集合包含關系、函數單調性、函數最值不可取、函數零點和不等式等求范圍的取等問題，這些問題極容易被學生們忽視.

關鍵詞：真子集;單調性;零點;恒成立

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0002-04

數學中的取等問題是指根據已知條件求范圍時等號能否成立問題，求解此類問題需要我們做到嚴謹細致，思考問題要全面，否則就會出現“差之毫厘謬以千里”，下面我們舉例說明.

1 集合包含關系中的取等問題

例1已知p：x2-8x-20≤0，q：x2-2x+1-m2≤0（m>0），若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍.

解析由題意知，命題：若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p：x2-8x-20≤0-2≤x≤10，記A={x|-2≤x≤10}.

q：x2-2x+1-m2≤0（m>0）1-m≤x≤1+m，B={x|1-m≤x≤1+m}.

因為p是q的充分不必要條件，

所以AB.

所以1-m≤-2，1+m≥10，且不同時取等，解得m≥1，m≥9.

所以m≥9.

所以實數m的取值范圍是[9，+

SymboleB@

）.

點評由于AB，很多同學誤以為m≠9.事實上，當m=9時，B={x|-8≤x≤10}，滿足AB，此時兩集合中x的范圍右邊取等，但是左邊不相等.下面的變式問題就看得更清楚.

變式設p：|x-1|≤a2，q：x2-2ax+a2-1≤0，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍為.

解析由題意知，命題：若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p：|x-1|≤a2-a2+1≤x≤a2+1，記A={x|-a2+1≤x≤a2+1}.

q：x2-2ax+a2-1≤0a-1≤x≤a+1，B={x|a-1≤x≤a+1}.因為p是q的充分不必要條件，

所以AB.

所以a2+1≤a+1，1-a2≥a-1，且不同時取等，解得0≤a≤1，-2≤a≤1，且不同時取等.

所以0≤a<1.

所以實數a的取值范圍是0，1.

2 函數單調性取等問題

例2已知f（x）=alnx+12x2（a>0）若對于任意兩個不等的正實數x1，x2，都有fx1-fx2x1-x2>2恒成立，則a的取值范圍是（）.

A.0，1B.1，+

SymboleB@

C.-3，3D.1，2e

解析不妨設x2<x1，由fx1-fx2x1-x2>2，得fx1-fx2>2x1-x2.

進一步fx1-2x1>fx2-2x2.

令函數gx=f（x）-2x，

可知gx為0，+

SymboleB@

上單調遞增.

故當x>0時，g′x=f ′（x）-2≥0恒成立.

即ax+x≥2恒成立.

分離參數，得a≥-x2+2x.

故a≥-x2+2xmax=1.

點評函數f（x）在a，b內單調遞增（減），則當x∈a，b時，f ′（x）≥0≤0恒成立（等號不恒成立）.

變式已知函數f（x）=ax+1x+2在區間（-2，+∞）上單調遞增，試求a的取值范圍.

解析由題意：當x∈（-2，+

SymboleB@

）時，f ′（x）=2a-1x+22≥0恒成立，解得a≥12.

即a的取值范圍為12，+

SymboleB@

.

但是上述答案是錯誤的，因為當a=12時，f ′（x）=0恒成立，此時f（x）=12x+2x+2=12不具有單調性，正確答案為12，+

SymboleB@

.

3 最值不可取的取等問題

例3設函數f（x）=lnx-ax，若f（x）<x2在（1，+

SymboleB@

）上恒成立，求a的取值范圍.

解析f（x）<x2在（1，+

SymboleB@

）上恒成立，即lnx-ax<x2在（1，+

SymboleB@

）上恒成立.

分離參數，得a>xlnx-x3.

令gx=xlnx-x3，x∈（1，+

SymboleB@

），

則g′x=1+lnx-3x2.

令h（x）=1+lnx-3x2，則

h′（x）=1x-6x=1-6x2x<0.

故函數h（x）在（1，+

SymboleB@

）上單調遞減.

于是h（x）<h（1）=-2<0.

即g′x<0.

所以函數gx在（1，+

SymboleB@

）上單調遞減.

于是g（x）<g（1）=-1.

從而a≥-1.

即a的取值范圍為-1，+

SymboleB@

.

點評題中由于gx在（1，+

SymboleB@

）上單調遞減，其在x=1的最大值g（1）=-1不可取，因此盡管a>xlnx-x3中沒有等號，但是最后a的取值范圍包含-1.變式若不等式-1na<2+-1n+1n對于任意正整數n恒成立，則實數a的取值范圍是.

解析當n為偶數時，a<2-1n，

數列2-1n單調遞增，故a<2-12=32;

當n為奇數時，-a<2+1n，

數列2+1n單調遞減，且2+1n>2，

解得a≥-2.

綜上，實數a的取值范圍為-2，32.

4 函數零點取等問題

例4若函數f（x）=log0.5（x2+2ax+5a）在區間-

SymboleB@

，-2上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）.

A.-

SymboleB@

，2B.-4，2

C.-4，2D.-4，2

解析根據復合函數的單調性可知y=x2+2ax+5a在區間-

SymboleB@

，-2上單調遞減.

故-a≥-2，解得a≤2.

另一方面，當x∈-

SymboleB@

，-2時，

x2+2ax+5a>0恒成立.

由于y=x2+2ax+5a在區間-

SymboleB@

，-2上單調遞減，故-22-4a+5a≥0，解得a≥-4.

故實數a的取值范圍為-4，2.

例5已知函數f（x）=2mx2-x-1在區間-2，2上恰有一個零點，求實數m的取值范圍.

解法1（1）當m=0時，函數f（x）=-x-1在區間-2，2上恰有一個零點-1，符合題意;

（2）當m≠0時，要使函數f（x）=2mx2-x-1在區間-2，2上恰有一個零點，則

①當Δ=1+8m=0時，解得m=-18.

此時f（x）=-14x2-x-1=-14x+22，有唯一零點-2，不合題意;

②f（-2）·f（2）<0，即8m+18m-3<0，解得-18<m<0或0<m<38.

綜上所述，實數m的取值范圍為-18，38.

但是上述解法是錯誤的，原因在于所給區間為開區間-2，2，當m≠0時，還需要補充如下

情況：

③f（-2）=0，-2<14m<0，

④f（2）=0，0<14m<2.

其中③無解，④的解為m=38.

因此滿足題意的實數m的取值范圍為-18，38.

解法2（分離參數）函數f（x）=2mx2-x-1在區間-2，2上恰有一個零點，即2mx2-x-1=0在區間-2，2上恰有一個根，2m=x+1x2.

令gx=x+1x2，x∈-2，0∪0，2，

g′x=-xx+2x4>0，解得-2<x<0.

可知函數gx在-2，0單調遞增，在0，2單調遞減，g-2=-14，g2=34，作出函數gx的圖象.

由圖1可知，當-14<2m≤34，即-18<m≤38時，函數f（x）=2mx2-x-1在區間-2，2上恰有一個零點.

點評二次函數f（x）=ax2+bx+c在區間m，n內有且僅有一個零點的充要條件為

①Δ=0或②f（m）·f（n）<0或

③f（m）=0，m<-b2a<m+n2，

④f（n）=0，m+n2<-b2a<n.

5 不等式中的取等問題

例6已知函數f（x）=|lgx|，若0<a<b，且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是（）.

A.（22，+

SymboleB@

）B.[22，+

SymboleB@

）

C.（3，+

SymboleB@

）D.[3，+

SymboleB@

）

解析易知f（x）在0，1上單調遞減，在1，+

SymboleB@

上單調遞增，故0<a<1<b.

由f（a）=f（b），得|lga|=|lgb|.

即-lga=lgb，即ab=1.

由基本不等式，得a+2b>22ab=22.故選A.

上述做法是錯誤的，原因在于雖然注意到了利用基本不等式求最值時需要做到“一正二定三相等”，其中等號不成立的情況被簡單地理解為將等號去掉就是最終的范圍.

正確解法如下：

由ab=1，得a+2b=a+2a0<a<1.

根據對勾函數的性質知，a+2a在0，1上單調遞減.

故a+2a>3，故選C.

一般來說，利用基本不等式求范圍時，如果等號不成立，則得到的范圍是不精確的！

例7已知a，b滿足-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，求3a-b的取值范圍.

解析因為-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，

所以0≤2a≤4.即0≤a≤2.

因為-1≤a+b≤1，-3≤b-a≤-1，

所以-4≤2b≤0.

即-2≤b≤0.

所以0≤3a≤6，0≤-b≤2.

所以0≤3a-b≤8.

此解法的錯誤原因是因為a與b是兩個相互聯系，相互制約的量，而不是各自獨立的，當a+b取到最大值或最小值時，a-b不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變量的范圍.

避免出錯的方法是通過待定系數法“整體代入”，正解如下：

設3a-b=x（a+b）+y（a-b）

=（x+y）a+（x-y）b，

所以x+y=3，x-y=-1.

解得x=1，y=2.

由-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，得

-1+2≤（a+b）+2（a-b）≤1+3×2.

即1≤3a-b≤7.

從以上問題可以看出，在數學問題的求解過程中，我們務必要做到嚴謹細致，這樣方能做到“運籌帷幄之中，決勝于千里之外”！

參考文獻：

[1]?張嶺芝.解不等式題時要注意等號成立的條件＼[J＼].數理化解題研究，2022（28）：15-16.

[責任編輯：李璟]