利用微專題提升二輪復習效率

王學會

摘要：利用微專題進行二輪復習，能大大提高復習效率，使學生實現深度學習，領悟知識和方法的本質及背后所蘊含的數學思想，使學生跳出“題海”，提高思維能力和數學核心素養.

關鍵詞：微專題內涵;微專題設置;微專題案例;

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0069-03

受疫情影響，教師對學生想抓又抓不著，線上教學極大地影響教學效果，導致學生基礎薄弱，高三時間緊、任務重，要想二輪復習提高復習效率，就要認真研究學情、考情，找準學生的“病灶”，突出重點、突破難點，狠抓中等偏上的問題，研究哪些是學生能提升的知識點和方法，形成微專題.

1 對微專題的認識

微專題是微而準，就是將考點細化，選擇切口小、范圍小、角度新、針對性強的知識點和方法，并運用與之相關的基本概念和原理來解決問題，在知識的深度、廣度和寬度上下功夫，從而達到對知識的深刻理解并領悟知識的本質、思想和方法，提高學生的應變能力，促進學生進行深度學習，增加學生的參與度，

發展學生的數學思維能力和學科核心素養.

2 微專題的設置

要設計出高質量的微專題，就要發揮備課組集體優勢，群策群力.

第一步：研究病灶，確定主題.研究歷年高考試題，結合教材，尤其關注新教材新增知識點和方法，找準學生的薄弱環節確定微專題的主題.

第二步：研究解題方法，精編例題.將高考題、課本、模擬題進行整合，通過一題多解、多題一解、多題歸一等方式適當地進行變式、拓展和延伸，挖掘知識和方法的本質，使學生學深學透，完善知識結構，從感性到理性.

第三步：研究學情，精選習題.圍繞主題，根據學生的實際情況分層作業，遵循學生“最近發展區”的教學規律，“跳一跳，夠的著”，不選過易的，也不選過難的，真正實現高效練習.

第四步：完善答案，資源共享.例習題的講解與訓練要充分發揮學生的主體作用，激發學生的學習興趣，將例習題進行優化，解題方法系統完善，以電子版的形式進行存檔，資源共享.

3 案例分析

3.1 根據學生的短板設置微專題

指對冪比較大小問題是近幾年高考的重要題型，考查學生綜合運用函數思想解決問題的能力，設置了微專題——指對冪比較大小問題.

例1（2017年新課標Ⅰ）設x，y，z均為正數，且2x=3y=5z，則（）.

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

變式已知t>1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，則（）.

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

例2（2016年新課標Ⅰ）若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

變式已知a>b>1，0

A.ca>cbB.ac

C.logca>logcbD.bac

例3已知a=12log23， b=log94，c=

log0.2 0.3，則a，b，c的大小關系是（）.

A.a

C.c

變式已知a=223，b=log32，c=cos3，則a，b，c的大小關系為（）.

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

3.2 根據教材的典型例習題設置微專題

題1（新教材選擇性必修第一冊第138頁復習鞏固6）直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

題2（第146頁10）已知直線與拋物線y2=2px（p>0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求p的值.變式1A，B是拋物線y2=2px（p>0） 上的兩點，若OA⊥OB，證明直線AB過定點.

變式2A，B是拋物線y2=2px（p>0

）上的兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，求點D的軌跡方程.

變式3A，B是拋物線y2=4x上的兩點，若kOA+kOB=2，證明直線AB過定點.

變式4A，B是拋物線y2=4x上的兩點，若kOA·kOB=m（m為常數），證明直線AB過定點.

通過這些變式，不但訓練了定值、定點、軌跡問題的基本方法，還使學生體驗了知識發生、發展、衍生的過程，拓展了學生的知識生長空間，感受動中有靜，靜中有動的發展規律，真正領會課本例習題的價值，體會高考源于課本又高于課本.

3.3 依據新增知識點、題型和方法設置微專題

關注新教材的新增內容及變化，比如平面向量增加了三角形“四心”的向量形式，加強了向量“投影”的應用;數列習題增加了分段數列，加強了數列與函數的關系（比如單調性和最值），應用題注重了遞推數列等;立體幾何增加了開放型問題的考查，突出了向量法（基向量法和坐標法）在立體幾何中的應用等，都可以作為微專題的素材.

3.3.1 微專題——立體幾何中探究點的位置問題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°，側面PAD為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點.

（1）求證：BG⊥面PAD;

（2）求證：AD⊥PB;

探究1若F為BC的中點，能否在棱PC上找到一點E，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明結論;

探究2在線段PC上是否存在一點E使PA∥面BDE;

探究3點F在CD上，且PE∶ED=CF∶FD，在棱PA上（不含端點）是否存在點M使平面BCM∥平面AEF？

探究4在棱PC上是否存在一點E，使BE與面PGC所成角的正弦值為217.

本題將課本、高考題、模擬題進行整合，以底面是菱形的四棱錐為載體，通過一題多問，設置了探索性的問題，體會向量法的優勢，加深線面、面面平行和垂直的判定和性質的理解及空間角和距離的處理方法，培養了靈活變通能力、探究能力和創新能力，提高了復習效率.

3.3.2 微專題——圓錐曲線相切及雙切線問題

圓錐曲線上某點處的切線方程：

（1）圓x2+y2=r2上一點x0，y0處的切線方程為x0x+y0y=r2;

（2）拋物線y2=2px上一點x0，y0處的切線方程為y0y=p（x0+x）;

（3）橢圓x2a2+y2b2=1上一點x0，y0處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1;

（4）雙曲線x2a2-y2b2=1上一點x0，y0處的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.

切點弦所在直線方程：

（1）過圓x2+y2=r2外一點Px0，y0作兩條切線PA，PB，切點為點A，B， 則切點弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2;

（2）過拋物線y2=2px外一點Px0，y0作兩條切線PA，PB，切點為點A，B， 則切點弦AB所在直線方程為y0y=p（x0+x）;

（3）過橢圓x2a2+y2b2=1外一點Px0，y0作兩條切線PA，PB，切點為點A，B，則切點弦AB所在直線方程為切線方程為x0xa2+y0yb2=1;

（4）過雙曲線x2a2-y2b2=1外一點Px0，y0作兩條切線PA，PB，切點為點A，B，則切點弦AB所在直線方程為x0xa2-y0yb2=1.

例題已知橢圓C： x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2為其左右焦點，離心率為32，F1-3，0.

設點Px0，y0x0y0≠0在橢圓上，過點P作橢圓C的切線l，斜率為k0，PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2k0k1k2為定值.

解法1由題知，橢圓方程為x24+y2=1，

l：y=k0（x-x0）+y0且k0≠0.

聯立方程y=k0x-x0+y0，x2+4y2=4，

消y，得1+4k20x2+8k0y0-k20x0x+4y20-2k0x0y0+k20x20-1=0.

因為直線l與橢圓相切，

所以Δ=4-x20k20+2x0y0k0+1-y20=0.

因為點P在橢圓C上，所以y20=1-x204.

代入上式得k0=-x0y0.

又k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，

故k1+k2k0k1k2=1k01k1+1k2=4y0x0·2x0y0=-8.

解法2將x24+y2=1兩邊取x的導數，得x2+2y·y′=0.

所以y′=-x4y.

所以Px0，y0處的切線斜率k0=-x04y0.

故k1+k2k0k1k2=2x0y0x20-3-x04y0·y20x20-3=-8.

微專題因微而準，因微而深，只要團隊精誠合作，深入研究考情、學情，將考點分解細化，瞄準學生的病灶，站在學生的角度，選擇學生最近發展區，設置微專題，可以大大提高學生的靈活變通能力、探究能力和創新能力， 使學生真正跳出“題海”，提高二輪復習效率.

參考文獻：

[1]?倪樹平.精準·精細·精煉：高中數學微專題深度教學的思考＼[J＼].中學數學教學參考，2020（19）：67-70.

[責任編輯：李璟]