利用柯西不等式求最值的技巧

高慧

在解題時，只要能配湊出柯西不等式中兩組數的乘積或兩組數的平方和，且其中之一為定值，便可運用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.

例1.已知x+y=1，求x+y的最小值.

分析：x+y是關于x、y的二次齊次式，也是x、y的平方和，而已知條件中x+y是關于x、y的一次齊次式，可以將其看成1·x+1·y這里x+y相當于二維柯西不等式中的c+d，x+y相當于公式中的ac+bd.而a=1，b=1，a+b=2，由柯西不等式可得x+y≥k（k是常數）成立，從而求得x+y的最小值.

解：由柯西不等式知（1+1）（x+y）≥（l·x+1·y），

在該式的左右兩邊除以（1+1），

例2.已知2x+3y=1，求x+y的最小值.

分析：x+y是兩數x、y的平方和，2x+3y=2·x+3·y.而2、3的平方和等于13，可將其看作二維柯西不等式中的a、b，可得a+b=13，又（2x+3y）=l，則可直接利用二維柯西不等式求得x+y的最小值.

解：因為（2+3）（x+y）≥（2x+3y），

例3.已知x+y=1，求2x+3y的最小值.

若已知關于兩個變量的一次式的值，求兩個變量的二次齊次式的最小值，一般要把目標式看成兩個數的平方和，即c+d，確定c、d的值，然后把一次式看成是這兩數c、d與另外兩個數的乘積之和，確定a、b，求出a+b，再套用二維柯西不等式，即可求出二次齊次式的最小值.若已知關于兩變量的二次齊次式的值，求關于兩變量的一次齊次式的最大（小）值，需把目標式看成兩組數的乘積的和，即ac+bd，根據二次齊次式確定兩個常數，求出其平方和，再套用二維柯西不等式，即可求出一次齊次式的最值.值得注意的是，二維柯西不等式中的二次齊次式只能有最小值，而作為對應數乘積之和的一次齊次式既有最大值又有最小值.