解答含參不等式恒成立問題的幾種思路

尹堯

含參不等式恒成立問題一般較為復雜.僅運用不等式的性質，往往很難找到使不等式恒成立的條件，使問題順利得解.這就需要采用不同思路，如變換主元、分離參數、分類討論等來解題.下面結合實例來談一談解答含參不等式恒成立問題的三種思路.

一、變換主元

變換主元法是指將問題中主元、參數的位置互換，即將參數視為主元，將主元視為參數進行求解的方法.運用變更主元法解答含參不等式恒成立問題，需先找出所要求證不等式中的變量與參數，然后將兩者進行互換，得到新不等式，根據新主元的取值或者限制條件，列出滿足題意的不等式或不等式組，從而解題.

例1，對于任意-1≤a≤1，x+（a-4）x+（4-2a）>0恒成立，則x的取值范圍為________.

解：設f（a）=（x-2）a+（x-4x+4），a∈[-1，1]，

則問題等價于在a∈[1，1]時，f（a）>0恒成立，

解得x<1或x>3，

所以實數x的取值范圍為（-∞，l）∪（3，+∞）.

將x和a進行變換，把a看作主元，構造關于a的函數f（a），便可采用變更主元法來解題.很顯然f（a）為一次函數，根據一次函數的性質，要使f（a）>0恒成立，只需使[-1，l]上的所有函數值都大于0，建立關于x的不等式組，即可解題.

二、分離參數

分離參數法是解答含參不等式恒成立問題的重要方法.運用分離參數法求解不等式恒成立問題，需先將不等式進行變形，使參數分離，得到形如a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x）的式子，只要使a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x），就能確保不等式恒成立.在求f（x）的最值時，往往可根據導數的性質、函數的單調性，或利用基本不等式.

例2.已知函數f（x）=-xlnx+a（x+1），若f（x）≤2a在[2，+∞）上恒成立，求a的取值范圍.

令t（x）=lnx-x+1，x≥2，

當x≥2時，t′（x）<0，

故t（x）在[2，+∞）上單調遞減，

可得t（x）=ln2-l<0，

則函數g（x）在[2，+∞）上單調遞增，

可得a≤g（x）=g（2）=2ln2，

所以a的取值范圍為（-∞，2ln2].

首先將不等式進行移項、變形，使參數a分離，得到a≤g（x）對函數g（x）求導，根據導函數與函數的單調性之間的關系判斷出函數g（x）的單調性，求得函數g（x），即可運用分離參數法，確定參數a的取值范圍.

三、分類討論

含參不等式恒成立問題中參數的取值往往不確定，因而在求解含參不等式恒成立問題時，需靈活運用分類討論法，對參數或某些變量進行分類討論，從而求得問題的答案.而確定分類討論的標準是解題的關鍵，可根據一元二次方程的判別式大于、等于、小于0進行分類討論;也可根據二次函數的二次項系數大于、小于。進行分類討論;還可根據導函數值大于、等于、小于0進行分類討論.

例3.設f（x）=x-2mx+2，當x∈[-l，+∞）時，f（x）≥m恒成立，求參數m的取值范圍.

分析：首先將不等式f（x）≥m轉化為F（x）=x-2mx+2-m≥0.要使F（x）≥0，需使該函數在x∈[-1，+∞）上恒大于或等于0.由于x-2mx+2-m=0為一元二次方程，只需討論方程在x∈[-1，+∞）上的根的分布情況.而方程的根的分布情況主要由判別式確定，所以需采用分類討論法，對方程的判別式與0之間的大小關系進行討論.

解：設F（x）=x2mx+2-m，

則問題等價于當x∈[-1，+∞）時，F（x）≥0恒成立，

①當Δ=4（m-1）（m+2）<0，即-2<m<1時，F（x）>0恒成立，

解得-3≤m≤-2，

綜上所述，參數m的取值范圍為m∈[-3，1）.

采用分類討論的思路來求解含參不等式恒成立問題，一般可將參數或與參數相關的量定為分類討論的對象，再根據題意確定分類討論的標準，逐層、逐級進行討論，最后綜合所得的結果即可.

相比較而言，第一種思路的適用范圍較窄;第二、三種思路較為常用，但第三種思路解題的過程繁瑣，且運算量較大.因此在解題時，同學們可首先嘗試將參數分離，將問題轉化為最值問題來求解;若行不通，再考慮運用變更主元、分類討論的思路.