“雙管齊下”，求圓錐曲線的離心率

楊憲偉

1.代數法

代數法是指從圓錐曲線的方程出發，通過代數運算求得a、c的值或其關系式，從而求得離心率e.運用代數法求圓錐曲線的離心率，需根據題意和圓錐曲線的方程，建立關于a、b、c的關系式，再根據橢圓、雙曲線中a、b、c的關系求得圓錐曲線的離心率.

2.幾何法

幾何法是根據圓錐曲線的定義、幾何性質、平面幾何圖形的性質來解題的方法.在運用幾何法求圓錐曲線的離心率時，要通過分析圖形，發現一些幾何關系，如平行關系、垂直關系、線段的相等、半、倍關系等，然后利用三角形中線的性質、相似三角形的性質、直角三角形的性質、圓錐曲線的定義、幾何性質求得橢圓或者雙曲線的半焦距、長半軸長、實半軸長及其關系式，最終求得圓錐曲線的離心率.

解法一（代數法）：由題意可知F（c，0），A（a，0），設B（m，n），

因為F，B，M三點共線，

所以n（a-3m）=-3n（m-c），即a=3c，

解法二（幾何法）：如圖1，設點M為AC的中點，連接OM，則OM為△ABC的中位線，所以橢圓的離心率

解法一是借助向量的共線定理來建立之間的關系式，通過代數運算求得橢圓的離心率.解法二是利用了三角形的中位線的性質，借助圖形，建立橢圓長半軸長、半焦距之間關系，求得問題的答案.

解法一（代數法）：由題意可得F（c，0）

設A為線段OF的垂直平分線與x軸的交點，

則a-b=36，

可得a-85a+324=0，解得a=81或a=4（舍去），

解法一是根據題意建立關于a、b、c的方程組，通過解方程求得a、c的值.解法二是通過添加輔助線，利用勾股定理和垂直平分線的性質尋找到有關橢圓長半軸長、半焦距的幾何關系，從而運用幾何法求得問題的答案.

解法一（代數法）：由題意可知A（-a，0），設P（x，y），

而△PFF為等腰三角形，∠FFP=120°，

由①②③可得：a+4ac-32c=0，

解法二（幾何法）：如圖3，作PB⊥x軸于點B.

解法一（代數法）：由題意可知A（-a，0），B（a，0），

設G（0，m），則E（0，2m），則直線BM的方程為：

解法一是根據兩條直線的方程建立關于a、c的方程組，通過代數運算求得e的值.解法二是根據幾何圖形的特點，尋找到相似三角形，利用相似三角形的性質建立幾何關系，求得橢圓的離心率.

解法二（幾何法）：由圓的幾何性質可知，△POQ是等腰直角三角形，

解答本題，可以通過聯立曲線的方程進行求解，也可構造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質來求解.

我們可以看到，運用代數法和幾何法求圓錐曲線離心率的思路完全不同.利用代數法解題，關鍵要建立關于a、c的關系式，可借助向量、構建方程組、構造二次齊次式等方式來建立關系式.運用幾何法解題，需先畫出圖形，明確橢圓或者雙曲線的半焦距、長半軸長、實半軸長及其與三角形、矩形、平行四邊形等幾何圖形的位置關系，再利用平面幾何知識來求解.相比較而言，幾何法較為簡單，但通常要添加合適的輔助線，運用代數法求解的運算量較大，但其思路較為簡單.同學們可根據解題需求和自己熟悉的知識點選擇最佳的方案進行求解.