怎樣求解立體幾何最值問題

田利劍

立體幾何中的最值問題具有較強的綜合性，對同學們的空間想象能力和運算能力有較高的要求.常見的立體幾何最值問題有線段最值問題、面積最值問題以及體積最值問題.下面結合實例來談一談這三類立體幾何最值問題的解法.

一、線段最值問題

立體幾何中的線段最值問題比較常見，通常要求某條線段的最大值或最小值.求解立體幾何中的線段最值問題，需先將該線段視為平面幾何圖形的一條邊，然后根據平面幾何圖形的性質，如平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質，確定該條邊的最大、小值，或根據勾股定理、正余弦定理求得該線段的表達式，運用函數的性質、基本不等式求得最值.

例1.如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為等邊三角形，PA=AB=2，點N為BC的中點.若點M為△ABC內一點，且∠MPA=30°，則MN的最小值為________.

分析：由于點A為定點，點M為動點，且∠MPA=30°，故AM為定值，則可推斷出點M的軌跡為一段圓弧. 將求的最值問題轉化為圓上的點到圓心的距離問題，根據圓的性質即可求出最值.

解：如圖2，連接AM，AN，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AM，

∴點M的軌跡在以A為圓心，AM為半徑的圓弧，

∵△ABC為等邊三角形，AB=2，點N為BC的中點，

將點M視為圓弧上的一點，將MN看作圓內的一條線段，便可將立體幾何中的線段問題轉化為平面內的距離問題，利用平面幾何圖形的性質來解題.

二、面積最值問題

立體幾何中的面積最值問題往往和截面有關，這類問題的求解思路為：①將已知的線段、角及其關系轉化到截面上;②利用勾股定理、正余弦定理，求得在截面上的各條線段、角的大小;③根據平面幾何圖形的面積公式求得幾何圖形面積的表達式;④利用函數的性質、基本不等式等求得最值

分析：首先作出截面△AMN，如圖3所示，然后對未知變量做出假設，設OP=x，再根據三角形的面積公式求出截面的面積，利用二次函數的性質即可求得最值.

連接OM，如圖3，

因此，當x=1時，△SMN的面積最大，其值為2.

三、體積最值問題

立體幾何中的體積最值問題較為復雜.要求得最值，需先根據題意確定變化的量，如動點、動直線、動平面，然后設出相應的參數，將其視為自變量，求出幾何體體積的表達式，再根據函數的性質、基本不等式求得最值.還可以通過分析幾何圖形，找到幾何體的體積取得最值時的情形，根據簡單幾何體的體積公式求得最值.

例3.如圖4所示，在三棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAC，PA⊥AB，PA=AB=4，且E為PB的中點，AF⊥PC于F.當AC變化時，三棱錐P-AEF體積的最大值是________.

解：在三棱錐P-ABC中，由BC⊥平面PAC，得BC⊥AC，

∵AB=4，∴AC+BC=AB=16，

易知△PAF∽△PCA，

設AC=a，0

令m=a+16，易知16<m<32，

由于AC為動直線，故三棱錐P-AEF體積也隨之發生變化.需首先設出參數，根據已知條件和三棱錐的體積公式得到三棱錐P-AEF的表達式，然后根據相似三角形的性質求出S的表達式，再根據二次函數的性質求得最值.

通過上述分析不難發現，大部分的立體幾何最值問題都需借助平面幾何知識來求解.因此求解立體幾何最值問題時，可根據題意和幾何圖形的特點，將點、線、面及其關系轉化到同一個平面內，然后利用平面幾何知識列出關系式，再根據函數的性質、基本不等式求得最值.