解答排列組合問題的三種方法

鐘文劍

排列組合問題是高中數學中的常見問題，此類問題涉及的知識點一般不多，主要是分步計數原理和分類計數原理.雖然這類問題的難度不大，但是題型豐富多樣，常見的有特殊元素問題、相鄰問題、不相鄰問題等，每一種題型都有其對應的解法.本文著重介紹三種解答排列組合問題的方法.

一、優先法

優先法主要適用于某些元素或其位置有特殊要求的問題.在運用優先法解題時，需首先考慮有特殊要求的元素或位置的安排方式，再安排剩下元素的排列方式，最后利用分步計數原理求解即可.

例1.從6名的學生中選出4人參加知識競賽，該知識競賽有4個環節，每一環節由1個人完成.劉敏不能參加第1環節和第4環節，則一共有多少種不同的參賽方案？

剖析：劉敏為特殊元素，第1環節和第4環節可視為特殊位置，所以本題需采用優先法求解.可將劉敏視為特殊元素，分為劉敏參賽和不參賽兩種情況進行分析;也可將第1環節和第4環節視為特殊位置，按照位置進行排列.

解法1：若劉敏不參加競賽，則需從其他5人中選出4人參賽，有A種參賽方案;若劉敏參加競賽，則需先將劉敏安排在第2環節或第3環節，有2種安排方法，再從其他5個學生中選3個人安排到其余3個環節中，有A種安排方法，則共有2A種方法.根據分類計數原理可得，劉敏不參加第1環節和第4環節一共有A+2A=240種參賽方案.

解法2：從特殊位置進行考慮.首先安排第1環節和第4環節，可從除劉敏以外5人中選2人，有A種安排方法，再從剩下的4人中選2人參加第2環節和第3環節，有A種方法.由分步計數原理可得，劉敏不參加第1環節和第4環節一共有AA=240種參賽方案.

二、捆綁法

相鄰問題是指要求某兩個或兩個以上元素相鄰的問題，常用捆綁法進行解答.運用捆綁法解題，需將相鄰的元素看作一個整體，再與其他元素一起排列.同時還需注意“捆綁”起來元素的內部的排列順序.

例2.某女生宿舍有7人.現安排每周的值日表，每天1人打掃.若小李和小王要求值日的日期相鄰，小宋不想周一值日，小張不想周日值日，則有多少種排法？

剖析：小李和小王要求值日的日期相鄰，需將其看作兩個相鄰元素“捆綁”起來，采用捆綁法解題.然后安排其他5人值日的順序.而小宋和小張有特殊要求，需作特殊考慮.

解：小李和小王要求值日的日期相鄰，可將其捆綁看作一個元素，有A種排法，再將其與其他5人一起排列，有A種排法，由分步計數原理可得共有A·A=1440種排法.

而小宋恰好被安排在周一的排法有AA=240種;小張剛好被安排在周日的排法有：AA=48種，

綜上所述，滿足題意的排法有1440-240×2-48=1008種.

三、插空法

對于元素不相鄰問題，一般用插空法求解.運用插空法解答排列組合問題，需先將沒有要求的元素排列好，然后將不相鄰的元素插入到其他元素之間的空隙中，這樣便能確保部分元素不相鄰.在計算其他元素之間的空隙數時，要注意考慮兩端的位置.

例3.某晚會計劃安排7個節目，分別有1個小品、1個相聲、3個舞蹈和2個歌唱節目.現要求小品和相聲節目的順序不相鄰，則一共有多少種排法？

剖析：相聲和小品節目的順序不相鄰，則需采用插空法求解.首先將其他節目排好，再統計這些元素之間的空隙，包括兩端的位置，將相聲和小品節目插入這些空隙中.

解：除了相聲和小品節目，其他5個節目全排列，有A=120種排法;

這5個節目之間形成4個空隙，加上兩端的位置，一共有6個空位，可將相聲和小品節目插入這些空位中，有A=30種排法;

由分步計數原理可知，一共有：120×30=3600種排法.

雖然排列組合問題的命題形式很多，但是每種題型的求解方式是不一樣的.除了上述三種方法，常見的還有間接法、縮倍法、隔板法等.在解題時，同學們需充分關注“特殊元素”“特殊位置”“相鄰元素”“不相鄰元素”，然后分別對其進行優先處理、捆綁、插空，再運用優先法、捆綁法、插空法求解.