圍繞生活命制試題 滲透文化提升素養

?上海市奉賢區景秀高級中學 沈 健

1 問題提出

數學發展到今天，顯現出一個突出特點：數學與人類生活和社會發展發生著越來越緊密的關聯．“數學與人類生活和社會發展緊密關聯．數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言．數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．”[1]《普通高中數學課程標準(2017 年版)》中的這段表述從多個維度揭示了現代數學與人類生活和社會發展的關系，也多樣化地展現出現代數學所具有的價值和功能．

那么，如何圍繞生活命制試題，同時達到滲透數學文化提升數學核心素養的目標呢？各地試題又是如何考查的？本文中選取典型試題加以舉例，以期拋磚引玉．

2 實例剖析

2.1 以音樂為背景

例1(2020秋·濰坊期末)音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受.1807年法國數學家傅里葉發現代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asinωx的簡單正弦型函數之和，而且這些正弦型函數的頻率都是其中一個最小頻率的整數倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由圖1，2，3三個函數圖象組成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數可以為f(t)=( ).

圖1

圖2

圖3

A．0.06sin 1 000πt+0.02sin 1 500πt+0.01sin 3 000πt

B．0.06sin 500πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

C．0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

D．0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 500πt+0.01sin 3 000πt

結合題意知，函數f(t)=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt.

故選:C．

點評：本例以音樂為背景，考查利用圖象求三角函數解析式的應用問題.由圖1求出A，T，ω的值，寫出對應函數的解析式，再結合選項得出函數f(t)的解析式．

本題考查學生閱讀理解與解決實際問題的能力以及數學建模、數學運算、數據分析的核心素養，對立志學習音樂的學生的數學水平的提高大有幫助．

2.2 以美術為背景

圖4

A．cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

B．y=sinhxcoshx是偶函數

C．(coshx)′=sinhx

D．若△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，則實數m=0

①

②

故選：ACD．

點評：本例以達·芬奇畫作為情境引出著名的“懸鏈線問題”，命題者以自定義函數的形式，考查新定義函數的奇偶性和導數的幾何意義，考查利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識、方程等基本思想和數學運算、邏輯推理、數學抽象的核心素養以及分析和解決問題的能力，對立志學習美術的學生的數學水平的提高大有幫助．

2.3 以體育運動為背景

圖5

A．18 B．24 C．36 D．48

圖6

故選：C．

點評：本例從平常生活中某一自行車抽象出平面結構示意圖，選取素材，考查數量積的運算、三角函數的性質在實際問題中的應用，同時考查了學生的數學建模的核心素養．根據題意建立平面直角坐標系，然后將涉及到的點的坐標求出來，其中P點坐標借助于三角函數值表示，則所求的結果即可轉化為三角函數的最值問題求解，對立志學習體育的學生的應用數學能力水平提升大有好處．

2.4 以傳統文化為背景

例4(2021·遼寧模擬)中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”．如圖7所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，其特點是圓的周長和面積同時被平分，充分體現了相互轉化、對稱統一、和諧共存的特點．若函數y=f(x)的圖象能夠將圓的周長和面積同時平分，則稱函數f(x)為這個圓的“和諧函數”．則下列命題中正確的有( ).

圖7

A．對于任意一個圓，其“和諧函數”至多有2個

C．正弦函數y=sinx可以同時是無數個圓的“和諧函數”

D．函數f(x)=2x+1不是“和諧函數”

解析：因為過圓心的直線都可以將圓的面積及周長同時平分，所以對于任意一個圓，其“和諧函數”有無數個，故選項A錯誤；

將圓的圓心放在正弦函數y=sinx的對稱中心處，則正弦函數y=sinx是該圓的和諧函數，故有無數個圓成立，故選項C正確；

將圓的圓心放在函數f(x)=2x+1的圖象上，則有無數個圓成立，故函數f(x)=2x+1是和諧函數，故選項D錯誤，

故選：BC．

點評：本題考查了函數的實際應用，以及學生對新函數定義的理解能力．

從數學的角度看，太極圖是中心對稱圖形，數學愛好者一定對此圖形也偏愛頗多．本題就是由此編擬出的一道函數的性質及應用題，靚麗之處是在簡潔基礎上與數學文化有機結合．

2.5 以數學與生活的聯系為背景

例5(2021·淮安模擬)某保鮮封閉裝置由儲物區與充氮區(內層是儲物區用來放置新鮮易變質物品，充氮區是儲物區外的全部空間，用來向儲物區輸送氮氣從而實現保鮮功能)．如圖8所示，該裝置外層上部分是半徑為2的半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內層是一個高度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，為了保存更多物品，充氮區空間最小可以為( ).

圖8

設小圓錐的半徑為r，則

點評：本例以某保鮮封閉裝置為背景，考查了圓錐的體積公式和球的體積公式，考查了邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養．充分展示了數學問題來源于生活并與生活緊密結合，并且貼近學生的實際，這樣做有利于學生聯系實際分析與解決問題，對于穩定學生在考試中的情緒和心態起到了較好的效果；探索了數學試題示意圖的形式，使得數學抽象問題形象化．數學與生活息息相關．生活中有數學，生活也離不開數學．《普通高中數學課程標準》指出：“要重視從學生的生活實踐和已有的知識中學習數學、理解數學．”數學是一門邏輯性很強的基礎學科(概念、原理、法則)，是比較抽象的．

3 結束語

基于新時代背景，基于創新人才的培養，我們要貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，倡導“五育”并舉．