“一般觀念”指引下的立體幾何教學設計
——以“直線與平面垂直的性質”為例

?福建省福安市第一中學 阮金鋒

1 內容解析

直線與平面垂直是直線與平面相交位置關系中的一種特殊情況,它是空間直線與直線位置關系的拓展,又是平面與平面垂直的基礎.直線與平面垂直的性質定理是直線與平面垂直的必要條件,就是在直線l與平面α垂直的條件下,直線l、平面α與空間中其他直線、平面的位置關系.一條直線垂直于一個平面的必要條件很多,直線與平面垂直的性質定理解釋了空間中直線、平面的“平行”與“垂直”之間的內在聯系.

2 目標解析

(1)能夠類比直線與平面平行性質定理的學習過程,說出直線與平面垂直的性質,如何研究直線與平面垂直的性質；

(2)會證明直線與平面垂直的性質定理,感悟“正難則反”的證明思路,感悟“平行”與“垂直”的相互轉化.

3 教學問題診斷分析

雖然學生有直線與平面垂直的生活經驗和感知,但他們把空間問題轉化為平面問題的意識和能力還不強.因此,在線面垂直的條件下,探究有什么結論,會遇到困難.對于直線與平面垂直性質定理的證明,用反證法學生不易想到,怎么適當引導也很重要.

4 教學重點、難點

教學重點：直線與平面垂直的性質定理.

教學難點：直線與平面垂直的性質定理的探究.

5 教學過程

5.1 回顧舊知,明確路徑

師：前面我們學習了3個判定、2個性質.線面平行的判定、性質,面面平行的判定、性質,線面垂直的判定,接下來該學習什么？

生：線面垂直的性質.

師：線面垂直的性質該怎么研究,有怎樣的研究路徑？能否類比前面學習的兩個性質,找到研究路徑？讓我們先從直線與平面平行的性質定理說起.回顧直線與平面平行的性質定理,將下列表格(表1)補充完整,并思考性質的研究路徑.

表1

師：直線與平面平行的性質定理,研究的是在線面平行的條件下,能推出怎樣的結論.但僅有線面平行一個條件不夠,肯定要增加條件,引進幾何量.增加怎樣的條件？引進哪些幾何量？

生：直線與平面平行的性質定理,在線面平行的條件下,引入幾何元素“線”，也可引入“面”.

師：你能舉個這樣的例子嗎？

師：類比前面探究思路,線面垂直的性質該如何研究？研究路徑怎么確定？

生：線面垂直的性質,就是在線面垂直的條件下,探究有什么結論？為了得到結論,也是引入幾何元素(線或面).

師：你能舉個引入直線的例子嗎？

師：還能得到其他性質嗎？

設計意圖：以“一般觀念”引領教學,明確線面平行性質的研究路徑：在線面平行的條件下,探究有什么結論.通過類比,確定線面垂直性質的具體研究路徑為：在線面垂直的條件下,引入幾何元素(線或面),探究有什么結論[1].這樣的研究路徑,形成學習的基本套路,將有助于面面垂直的性質研究,真正提升數學研究水平,有利于后續的學習.

5.2 操作探究,提出猜想

活動1：小組討論，根據線面垂直的研究路徑,在線面垂直的條件下,引入幾何元素(線、面),怎么探究線面垂直的性質？你能否列舉出一些例子？

學生展示.(提示學生,利用教具演示)上臺列舉增加幾何元素后線面垂直的性質的例子.

設計意圖：注重發揮學生的主體性,學生的參與率相當高.教具觀察、教具演示、都站在學生的認知角度,讓學生積極參與小組討論、上臺展示交流、互動.真正落實學生為主體的教學理念.

活動2：根據以上研究路徑,為了研究直線與平面垂直的性質,完成以下探究實驗.把下列表格(表2、表3)補充完整，提出猜想，并掃描二維碼,借助網絡畫板進行操作確認.

表2

表3

在線與面垂直的條件下,引入幾何元素(線m).

在線與面垂直的條件下,引入幾何元素(面β).

設計意圖：在探究線面垂直性質方法的指引下,引導學生在空間中引入一條直線m或者一個平面β，結合l⊥α，探究有什么結論(重點研究平行和垂直的位置關系)?通過小組合作、操作驗證完成探究活動,并填寫實驗記錄表.

有了“一般觀念”的引領,選擇數學實驗活動的探究方式,再借助實物操作、網絡畫板3D平臺,讓學生按照一定的邏輯來探究直線與平面垂直的必要條件,經歷直觀感知、操作確認的過程,積累豐富的數學基本活動經驗[2].

5.3 證明猜想,獲得定理

已知l⊥α,m⊥α,求證l∥m.

直線與平面垂直性質定理的證明要用到反證法,要在如何想到用反證法、為什么用反證法上加以引導,克服難點.引導學生根據定理的條件,從正面入手進行分析,暴露思維過程.

設計意圖：在”一般觀念”的指引下,得到一些線面垂直性質的有關猜想,接著證明猜想,獲得定理.這符合立體幾何學習中的“直觀感知—操作確認—思辨論證”認知規律.

5.4 定理運用,鞏固提升

例題已知平面α,β,且α∩β=l,CA⊥α,CB⊥β,A,B是垂足,A∈α,B∈β,m?α,m⊥AB.求證m∥l.

設計意圖：對性質定理進行簡單應用,加深學生對線面垂直性質定理的理解.在學生獨立思考后,教師進行引導,再由學生獨立完成.運用定理，鞏固提升.

6 教學反思

本設計以“一般觀念”引領教學,體現大單元教學設計觀,是課標理念的具體要求,用系統的思想進行整體設計,符合數學學科特點,有利于構建知識體系.通過“直觀感知—操作確認—思辨論證”認知過程展開,對教具圖形的觀察(直觀感知)與實驗探究(操作確認)發現和提出線面垂直條件下的有關命題,在經歷觀察、實驗、猜想等合情推理的活動后,概括出線面垂直的相關性質,再對其中的性質定理進行證明論證(思辨論證).能認識到線面平行性質、面面平行性質、線面垂直性質探究路徑的一致性,提升直觀想象、邏輯推理核心素養[3].