高考多選題的命制類型與破解策略

?江蘇省木瀆高級中學 倪 馨

1 引言

2020年新高考山東卷、海南卷數學試題出現了創新性的試題類型——多選題，是一種正確選項數目多于1個且少于等于4個的選擇題題型.選出1個或幾個正確答案而沒有選出全部正確答案的得3分，選錯1個得0分，全部選對得5分.充分體現了“破定式，考真功，分層次”的命題理念，更能全面考查學生的數學知識、數學能力和數學核心素養，有利于區分與選拔合格的考生，有效把握數學本質，啟發思考，改進數學教學.

2 基于問題多解的判定

例1(2021屆江蘇省姜堰中學、如東中學、沭陽中學高三上期中數學聯考試卷·12)已知函數f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e2-x)(e為自然對數的底數)有唯一零點，則實數m的值可以為( ).

A.1 B.-1 C.2 D.-2

分析：結合函數解析式的變形與轉化，引入參數并構造新函數，利用函數奇偶性及函數圖象的對稱性，結合函數有唯一零點的條件來確定相應的函數零點值，從而建立對應的方程，直接求解相應的參數值.

解析：由于函數f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e-x+2)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex-2+e-x+2)，令t=x-2，則g(t)=t2-4+(m2-m)(et+e-t)，其函數的定義域為R.又g(-t)=(-t)2-4+(m2-m)·(e-t+et)=g(t)，故函數g(t)為偶函數，所以函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱，那么要使得函數f(x)有唯一零點，則必須滿足f(2)=0，于是4-8+2(m2-m)=0，解得m=-1或2.

故選：BC.

3 基于命題真假的判定

例2如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是空間中任意一點，下列說法正確的是( ).

圖1

C.若點P在半圓弧CD上運動，當三棱錐P-ABC的體積最大時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為2π

分析：選項A中，結合異面直線所成的角的確定與求解來判斷；選項B中，通過三角形與四邊形的展開，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來確定動線段之和的最小值問題；選項C中，利用同底的三棱錐中高最大時相應的體積最大來確定點P的位置，進而確定三棱錐的外接球的半徑，得以求解球的表面積；選項D中，結合平面α與正方體每條棱所成的角都相等，轉化為過同一頂點的三條棱所成的角都相等，數形直觀來確定截面的最大位置并確定圖形特征，得以確定相應的面積.

圖2 圖3

圖4 圖5

故選：ACD.

4 基于創新背景的判定

例3(2021屆福建省廈門重點中學高三上學期12月適應性考試數學試題·12)意大利數學家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人，斐波那契數列被譽為最美的數列，斐波那契數列{an}滿足：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*).若將數列的每一項按照圖6所示的方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為Sn，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn，則下列結論正確的是( ).

圖6

A.a2020是偶數

B.a1+a2+a3+……+an=an+2-1

D.4(cn-cn-1)=πan-2·an+1

分析：結合數學文化背景利用已知條件，根據斐波那契數列的遞推規律，利用數論中數列各項的奇偶變化規律、數學歸納法、遞推數列的特征方程的建立與求解，以及扇形面積的轉化與關系式的確定等，來分別判斷各選項的真假情況.

解析：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*).

對于選項A，結合斐波那契數列及數論規律可知，a3k+1，a3k+2均為奇數，a3k為偶數，而a2020=a3×673+1，則知a2020是奇數，故選項A錯誤；

對于選項B，當n=1時，a1=a3-1成立；

假設n=k(k∈N*)時，a1+a2+a3+……+ak=ak+2-1成立，那么當n=k+1時，等式左邊=a1+a2+a3+……+ak+ak+1=ak+2-1+ak+1=ak+3-1，即當n=k+1時等式也成立，故選項B正確；

故選：BCD.

5 結論

高考多選題的引入與設置，給數學試卷帶來了創新的亮點，在考查學生基礎知識和基本能力這一主線上，注重基礎性、綜合性和應用性的同時，突出了數學核心概念，強化了基礎知識和基本技能的有效落實，強調以核心素養為導向，給不同層次的學生增加了得分機會，也更精準地測試和區分不同層次學生的數學基礎和數學能力水平.