新穎背景設置 創新意識應用

?甘肅省民樂縣第一中學 展斌國

1 引言

創新類問題是歷年高考數學試卷中的一道亮麗風景線，幾乎每年高考試卷中都能見到她們的“倩影”.此類新穎問題在原有數學基礎上結合定義、性質、公式、方法等視角加以創新，通過綜合與類比等思維的應用，巧妙把相關的數學知識、數學思想方法與數學能力等加以合理融合，達到創新能力與創新應用的統一，數學知識與數學能力的綜合，真正達到創新應用的目的.

2 定義創新

分析：結合創新定義，利用待定系數法來分析與處理.通過改變相應的二次曲線方程以及已知點的情況，抓住關系，引入系數，利用方程的轉化，結合方程的判別式，通過解答二次不等式的方式來破解取值范圍，從而確定相應的最值.

點評：破解此類創新定義類問題時，關鍵是抓住題目中的定義，結合新規則的信息遷移，以及考生的閱讀理解、獲取信息、處理信息等能力，充分挖掘新定義的實質，尋找新規則的內涵，找出新規則的特點，依規則便可快速解題.

3 性質創新

分析：結合創新性質，設出對應的函數關系式并建立相應的不等式，借助合理的運算與數論知識來分析，進而確定對應的參數值.

故填答案：332.

點評：破解此類創新性質類問題時，關鍵是建立創新性質所對應的函數關系式、不等關系式等，尋找問題破解的切入點，有效融合創新意識與應用意識，合理破解相應的創新問題.

4 公式創新

例3“無字證明”是數學的一大創新應用，其是將數學命題(公理、公式等)用簡單、有創意而且易于理解的幾何圖形直觀呈現出來.請根據給出的平面幾何圖形寫出該圖(如圖1)所驗證的一個三角恒等變換公式：______.

圖1 圖2

分析：借助“無字證明”的創新設置，通過幾何圖形的呈現加以直觀分析，結合幾何圖形中線段的關系與三角函數的關系加以抽象與驗證，提升對公式的理解與記憶.

解析：如圖2所示，令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，則在Rt△ABC中，可得BC=cosα，AB=sinα.

在Rt△BCE中，BC=cosα，∠BCE=β，可得CE=cosαcosβ，EB=cosαsinβ；

在Rt△AFB中，AB=sinα，∠ABF=β，可得BF= sinαcosβ，AF=sinαsinβ.

則CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ-sinα·sinβ，AD=EF=BF+EB=sinαcosβ+cosαsinβ.

而在Rt△ADC中，CD=cos(α+β)·AC=cos(α+β)，故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

AD=sin(α+β)·AC=sin(α+β)，故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

故答案為：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ或sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(答案不唯一)

點評：破解此類創新公式類問題時，關鍵是借助平面幾何圖形中線段的長度關系，結合直角三角形的三角函數定義加以合理推理論證.合理借助“無字證明”的創新設置，把三角恒等變換公式的推導直觀化，方便理解與記憶，把公式、圖形、應用等有機融合，考查知識與能力的同時，考查直觀想象、邏輯推理等核心素養.

5 方法創新

例4根據下面公式的推導過程：

sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcosθ+cos 2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+(sinθ-2sin3θ)=3sinθ-4sin3θ.

解答下列問題：

(1)證明：cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

分析：通過題目條件中公式的推導過程，類比對應的證明方法來推導三倍角余弦公式；并利用公式的應用合理化簡函數f(x)的解析式，尋找函數f(x)有零點的充要條件，進而確定實數m的取值范圍.

解析：(1)cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcosθ- sin 2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2(1-cos2θ)cosθ=4cos3θ-3cosθ，即cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

=3-4cos2θ+mcosθ-5

=-4cos2θ+mcosθ-2.

點評：破解此類創新方法類問題時，關鍵是通過閱讀相關的方法加以合理類比與應用，知識的拓展等來綜合處理.

6 結論

創新類問題經常借助定義、性質、公式、方法等方面的創新與應用，結合約定的規則與要求，綜合數學知識、數學思想方法等加以合理融合，借助合理的推理論證、數學運算等加以分析與處理，有效達到綜合考查數學知識、數學思想方法和數學能力，以及解決數學問題的目的.具有較好的高考選拔性，很能體現考生的創新意識與創新應用.