例談圓錐曲線中存在性問題的解法

?西華師范大學 潘小琴 馮長煥

1 問題提出

圓錐曲線作為高考的必考內容，題型豐富多變.從近幾年的高考試題中可看出，該類題型在考查圓錐曲線基礎知識的同時，對學生的邏輯推理能力和數學運算能力也有了更加明確的要求，其中存在性問題正是圓錐曲線的經典考試題型之一.作為一種開放式的數學問題，通過這類題目的專題講解，有助于培養學生的數學核心素養.但在實際的測試中，由于時間的限制和知識的掌握不足，導致學生在這類題目中表現出“看似套路滿滿，實則內容空洞”的局面.筆者曾咨詢過不少學生，大多認為圓錐曲線的題目難以看懂，或者是對題目所給出的條件難以有效轉化，或是計算量過大，故而產生放棄這類題目的想法，由此造成學生看不懂、不想算、得分率低或者不得分的普遍現狀.本研究基于圓錐曲線存在性問題的特征和學生在此類題目中存在的疑難，以例題為依托，探究圓錐曲線中存在性問題的解法，并在強化通性通法的同時，試圖尋求圓錐曲線存在性問題的最佳解題策略.

2 圓錐曲線中存在性問題的類型及對策

通過對高考試題及模擬題的分析發現，圓錐曲線中常見的存在性問題有四類：存在點問題、存在直線問題、存在參數問題、存在圖形問題.但是無論哪類問題，均可通過特定元素(點、直線、參數、圖形)的存在情況來說明試題的結論成立與否.

2.1 存在性問題的解題策略

2.1.1 假設結論驗條件

根據題目的詢問方式，一般先假設這樣的元素存在使得題目的結論成立，結合假設和已知條件進行合理轉化和推理論證，若根據所列出的代數式能夠求解出假設的元素，則假設成立；若無法求解出這樣的元素，則說明假設與題干矛盾，則不存在這樣的元素.這種解題方法是解決存在性問題的通用方法，根據現有的解題經驗，這種做法會涉及到圓錐曲線的基本知識、向量知識、方程思想、不等式知識等綜合性知識，雖然運算過程繁雜，卻也不失為一種穩妥的求解策略.

2.1.2 大膽猜測證結論

所謂大膽猜測證結論，即在解題的過程中率先說明這類元素具體的值(點的坐標、直線的方程、參數的具體數值、圖形的具體形狀)，再給出具體的論證推理過程.但這種方法對學生個人的運算能力和知識的掌握程度要求都非常高，故而在具體的解題過程中較少采用這種方法.

但無論采取哪種解題方式，都需要對題中的條件進行轉化，轉化方式會直接影響問題解決的難易程度，針對此種情況，筆者提出以下幾種條件的轉化策略.

2.2 條件轉化策略

2.2.1 透徹問題本質，簡化運算過程

解析幾何是利用代數知識解決幾何問題，但其實質依舊是幾何問題，在對試題條件進行分析時，要抓住條件所反映出的幾何本質，將幾何條件代數化，幫助學生簡化運算過程，提高運算效率.這不但要求學生對圓錐曲線的基礎知識及其幾何性質非常熟練，并且對知識遷移能力也有著極高的要求.因此學生在日常學習時，既要對圓錐曲線的知識進行及時梳理，也要對這些知識點的常見題型進行識別和總結，以便在存在性問題的求解過程中謀劃出路.

2.2.2 選擇適當參數，優化解題步驟

解析幾何中涉及到的未知點的坐標和未知直線的方程過多，根據已知條件，要盡量減少未知參數的個數，加強未知參數和已知條件的聯系，以期優化解題過程.例如圓錐曲線中會用到直線方程，在直線斜率存在的情況下，常采用含有斜率的直線方程(類似于y=kx+b)，根據韋達定理將未知點的坐標關聯起來.但對于有些題目，例如下面的試題1，為了找出這樣的點G，將直線方程設成x=my+n，在無需考慮直線的斜率存在與否的同時，既可以減少計算又可以優化解題過程.

2.2.3 根據題目條件，選擇適當坐標系

解析幾何題的經典做法是采用平面直角坐標系，從解題經驗來看，這無疑是一種穩妥的解題工具.但解析幾何知識點多而繁雜，需要設出未知點的坐標，增加參數的同時，會使得運算步驟冗長，容易在解題過程中導致學生思路混亂，解題受阻，從而導致試題完成率不高，解題失敗.而極坐標系極大地減少了參數的個數，簡化運算步驟，故而在有效的時間內采用極坐標法能事半功倍.但究竟選擇哪種方式更為合適，與學生對知識的熟練程度和試題的特征有關.

3 例題呈現

3.1 存在點問題

試題1已知動點P在圓M:x2+y2-2x-15=0上，點N(-1,0)，點Q是線段PN的垂直平分線與線段PM的交點.

(1)求點Q的軌跡方程；

(2)設點Q的軌跡為曲線C，過點N作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為E，F，過點N作直線EF的垂線，垂足為點H，是否存在定點G，使得|GH|為定值？若存在，求出點G的坐標；若不存在，說明理由.

解析：(1)由題知，圓M的圓心M(1,0)，半徑為4.因為點Q在線段PN的垂直平分線上，所以 |QP|=|QN|，|QN|+|QM|=|MP|=4>|MN|=2，所以點Q的軌跡是以M,N為焦點的橢圓.

(2)假設存在這樣的點G，使得|GH|為定值.

(ⅰ)當兩條弦中有一直線斜率不存在時，直線EF位于x軸上，此時無法確定點G坐標.

注：本題可設直線l1的方程為x=my-1(m≠0),則無需討論斜率不存在的情況.

反思：本題中看似沒有給出G點的位置信息，如果不能正確理解給出的幾條直線關系，會感覺無從下手.但深究條件可知，直線EF始終過定點，且該定點位于x軸上，由此再結合直角三角形的性質，便可求得G的坐標.而在求解過程中發現，除了常見的聯立方程、韋達定理身影外，找到關鍵的直線方程至關重要，因此對直線方程的選擇，除了考慮計算量這個因素外，還要看設出的直線方程是否能夠優化解題過程.

3.2 存在直線問題

(1)求點M的軌跡E的方程；

(2)(ⅰ)當直線l⊥x軸時，此時l的方程為x=0.設點P在上方，根據P，Q，R，S四點的位置可求得這四點的具體坐標，從而驗證得到|PR|=|QS|，即直線l的方程能為x=0.

綜上所述，直線方程為x=0，y=x或y=-x.

反思：縱觀解題過程發現，兩種解題方法有重疊的部分，但相較之下第二種解法在優化解題步驟的同時，也能在有限時間內高效解題.學生在解圓錐曲線的弦長問題時，習慣采用含有直線斜率的距離公式來轉化弦長，殊不知，這種做法無形中增加了參數，計算過程復雜.此題也在提醒學生，若遇到圓與曲線結合的題型，弦長是直線與圓相交所產生的，利用圓心和圓的半徑求解弦長，能夠降低運算量.當然題目中涉及的動點過多時，要充分利用數形結合，在圖形中大致確定動點所在位置，以便對題中條件進行合理轉化.

3.3 存在參數問題

(1)求曲線C的方程；

(2)假設存在這樣的實數t，證明如下：

3.4 存在圖形問題

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

由|BM|=|BN|，得

故根據對稱性可知，存在這樣的內接等腰直角三角形，且有三個.

4 解題反思

值得我們思考的問題是，無論是哪一類型的存在性問題，即便是選擇簡化的解題方法，仍需要“精通熟練”掌握圓錐曲線的知識.知己知彼方能百戰百勝.在上述例題的呈現中我們發現，最佳解法的選擇并不是一開始就形成的，而是在不斷嘗試中產生.條件的識別與合理轉化至關重要，這就要求學生在學習中不斷積累.圓錐曲線涉及到的未知參數較多，計算問題也是學生的一大難點，許多學生被這“龐大而復雜”的計算量阻擋在了試題門外，望而卻步.對存在性問題，我們需要做的是，理清存在性問題的關鍵步驟和核心解法，在大膽假設中尋求問題的答案，在反思質疑中形成問題的完善解法，在論證推理中提升自己的思維水平，在動手操作的過程中培養自己的數學運算能力.