導數應用復習中的四個基本點

?安徽省郎溪中學 程遠林

1 引言

導數是解決函數性質問題的重要工具，導數應用問題類型多樣、方法靈活，對學生基礎知識的掌握程度及靈活應用能力要求較高.基于此，筆者對導數應用的復習提出四點基本要求，希望對學生復習有所幫助.

2 鞏固基礎知識

導數應用模塊中所涉及的基礎知識主要包括導數的定義、導數的幾何意義、基本初等函數的求導公式、導數的運算法則，利用導數求函數的單調區間、極值、最值等.

以求函數的單調區間為例，基本步驟是：先求函數的定義域，再求導，令導數為0，解得導函數的零點，最后判斷每個零點左右兩側導數的符號，從而確定函數的單調區間.

例1已知函數f(x)=2x3-ax2+b，討論f(x)的單調性.

解析：f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

當a=0時，f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增；

點評：此類問題求解中常涉及分類討論，要注意分類標準的確定.以導函數是二次函數為例，要討論的主要有：二次函數的開口方向(討論二次項系數)，二次函數有無零點(利用判別式進行討論)，所求的零點是否在定義域范圍內，零點的大小是否確定等.

3 歸納基本題型

應用導數可解決的問題類型，如函數不等式的證明問題，不等式恒成立、能成立、恰成立問題，函數的零點問題等.題型雖然各異，但基本方法都是構造函數求函數的最值.

(1)?x∈(-∞,+∞),f(x)≥0恒成立，求m的范圍；

(2)?x0∈(-∞,+∞),f(x0)≤0，求m的范圍；

(3)f(x)∈[0,+∞)，求m的值.

解析：(1)屬于不等式恒成立問題，任意函數值均大于或等于0，故只要fmin(x)≥0即可，因此轉化為求函數的最小值.

綜上得滿足條件的m的取值范圍是[0,e].

(2)屬于不等式能成立問題，即存在某一個函數值小于或等于0，故只要fmin(x)≤0即可.

當m≤1，且x>1時，f(x)=x-mlnx，同(1)知fmin(x)>f(1)=1.x≤1時,f(x)=x2-2mx+2m,fmin(x)=f(m)=2m-m2.由2m-m2≤0，得m≤0或m≥2.所以m≤0.

當m>1，且x≤1時,f(x)=x2-2mx+2m,fmin(x)=f(1)=1.x>1時，f(x)=x-mlnx，同(1)知fmin(x)=f(m)=m-mlnm=m(1-lnm)，由1-lnm≤0，得m≥e.

綜上得滿足條件的m的取值為范圍是(-∞,0]∪[e,+∞).

(3)屬于恰成立，即函數的最小值等于0.

當m≤1，且x>1時，f(x)=x-mlnx，同(1)知fmin(x)>f(1)=1.x≤1時,f(x)=x2-2mx+2m,fmin(x)=f(m)=2m-m2.由2m-m2=0，得m=0或m=2.所以m=0.

當m>1，且x≤1時,f(x)=x2-2mx+2m,fmin(x)=f(1)=1.x>1時，f(x)=x-mlnx，同(1)知fmin(x)=f(m)=m-mlnm=m(1-lnm)，由1-lnm=0，得m=e.

綜上得滿足條件的m的值為：m=0，或m=e.

點評：對于給定條件下f(x)≥g(x)恒成立問題，可通過作差或作商合并構造函數求最值.對于給定條件下f(x1)≥g(x2)恒成立問題，要分別求兩個函數的最值.

4 提煉基本方法

師傅領進門，修行在個人.在同一模塊中學生所學的基礎知識是一樣的，但應用中往往有多種不同的方式，對于同一題目的解答，有的學生方法簡潔、有的學生思路繁瑣，因此要擇優而用.

例3(2020年高考全國卷Ⅰ)已知函數f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

解析：(1)當a=1時，f(x)=ex-x-2，求導得f′(x)=ex-1，由f′(x)=0得x=0，所以在區間(-∞,0)上,f′(x)<0,f(x)單調遞減；在區間(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調遞增.

(2)解法1：f′(x)=ex-a.

當a≤0時，f′(x)>0,f(x)在定義域內遞增，則f(x)至多存在一個零點.

當a>0時，由f′(x)=ex-a=0,得x=lna，則在區間(-∞,lna)上,f′(x)<0,f(x)單調遞減；在區間(lna,+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調遞增.fmin(x)=f(lna)=-a(1+lna).

解法2：易知x=-2不是函數的零點.

解法3：由ex-a(x+2)=0,ex=a(x+2)，則問題轉化為函數y=ex與y=a(x+2)有兩個交點.而y=a(x+2)過定點(-2,0)，當a≤0時，只有一個交點；當a>0時，可通過尋找臨界狀態來確定，即求y=ex過(-2,0)的切線斜率即可.

點評：上述三種方法各有優劣.方法1是處理此類問題的標準方法，命題組提供的答案也是這種方法，難點是零點所在區間判定時，特殊值的選取，借助放縮構造法，這種方法對學生基本技能要求較高.方法2通過分離參數，方法3利用了分離函數，將所求的零點問題轉化為兩個函數圖象的交點問題來處理.三種方法所用的知識原理都是學生所熟悉的，但如何應用這些知識解決相同的問題，對學生提出了更高的要求.

5 提升基本技能

例4已知函數f(x)=xlnx.

(1)略；

所以，t的取值范圍是[-e3,0).

點評：對數學思想的考查，是高考命題的重要理念之一.從導數的應用來看，涉及多種數學解題思想.如“分類討論思想”“化歸轉化思想”“數形結合思想”“一般與特殊思想”有限與無限思想”等等，而本題的求解體現了化歸轉化思想.這些方法的應用對學生分析、解決問題的能力提出更高要求.