動中求定 四招搞定

?江蘇省淮安市欽工中學 葛美云

1 引言

解析幾何中的定值、定點、定圓和定直線“四定”問題，是新課標高考的命題熱點，也是考生高考復習的難點.由于這類問題涉及面廣、綜合性強，方法又靈活多變，令“無數考生競折腰”.常言道：兵來將擋,水來土掩.那么，破解這類問題有無良策呢？

2 利用定義

二次曲線的定義中就隱藏著“定元素”，如橢圓上的點到兩個定點的距離之和是定值，拋物線中動點到定點的距離等于定直線的距離，這些“定元素”，如果能夠為我所用，則會大大優化證明過程.

圖1

3 設參消參

為了方便解決問題，我們往往采用設而不求的思想方法，先設出含有多個參數的直線方程或點的坐標，然后用這些參數表示目標代數式，再利用參數滿足的關系式，即可得到目標代數式為定值.

分析：顯然直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，與雙曲線方程聯立，因為它們相切，所以判別式Δ=0，于是得到k與b之間的關系式；再聯立直線AB與漸近線的方程，計算x1x2與y1y2的值.

解：設直線AB的方程為y=kx+b，b>0.

由于直線AB與雙曲線相切，所以k2-3≠0，Δ=(2kb)2-4(k2-3)(b2-3)=0，即k2+b2=3.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.

4 特值探路

有了目標，解題才有方向.為了尋找定值，解題時可以采用特值法.通過直線的特殊位置或點的特殊位置，先找出題目中要證明的“定元素”，然后利用題目條件加以證明.

圖2

證明：先取點M在y軸上，由角平分線性質得

設M為橢圓上任一點，F1Q交MF2于點Q.

設|MF2|=m，則|MF1|=2a-m.

點評：特值法探路，是這類問題最基本的解題策略.利用特殊點或特殊位置進行計算，從而找到證明目標.而在推證過程中，將特殊化為一般，按照特值法的運算步驟重新加以演算，在演算中或采用設而不求的方法，或采用整體代換的方法，依據有關條件，參數自然消去，從而得到定值.若在計算中無法消去參數，則往往運算有誤，可以認真檢查，及時糾正錯誤.

5 方程思想

通過設而不求，將所涉及的方程羅列出來，然后將這些方程左、右兩邊同時相加減或乘除，有時會收到意想不到的效果，比如與中點弦有關的點差法，整體代換能讓復雜的解題過程“峰回路轉，柳暗花明”.

圖3

(3)設t=9，試證：直線MN一定經過x軸上某個定點.

證明：設MN與x軸的交點為D.

整理得2x2y1-6y1=x1y2+3y2.

①

整理得2x1y2-6y2=x2y1+3y1.

②

由①+②，得x2y1-x1y2=y1-y2.

若x1=x2，則y1≠y2，所以x1=x2=1，直線MN過點D(1，0)；

綜上，直線MN過定點D(1，0).

點評：解析幾何中兩曲線的交點問題，通常采用設而不求的方法處理，從而規避煩瑣的解方程組過程.我們往往先將有關點的坐標設出，然后找到這些點與某些方程之間的關系，進而利用韋達定理或點差法整體代換，不但代數運算簡便了，還可以減少計算中的失誤.

6 結論

從以上解析幾何中的“四定”問題來看，要減少計算量，首先必須明確目標，其次要選擇恰當的方法，再次就是以頑強的毅力將計算進行到底，而最關鍵的就是方法的合理選擇.