學科融合 數學建模

?甘肅省民樂縣第一中學 陳國輝

1 引言

在創新新情境數學試題中，數學與其他學科的融合問題是其中最亮麗的一道風景線，巧妙把物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關知識與數學知識相結合，合理數學建模，充分體現數學教育的基礎性與應用性，以及相關的數學知識、數學方法作為其他學科研究的思想與方法，備受各方關注.

2 數學與物理

例1在線段A1A2的兩端點各置一個光源，已知A1，A2光源的發光強度之比為1∶2，則該線段上光照度最小的一點到A1，A2的距離之比為______.(光學定律：P點的光照度與P到光源的距離的平方成反比，與光源的發光強度成正比.)

分析：設線段A1A2的長度為l，A1，A2光源的發光強度分別為k，2k，并設出線段A1A2上光照度最小的一點P到兩端點的距離分別為x，l-x，建立點P處的光照度H的函數解析式，利用導數，求H的最小值，進而確定兩對應距離的比值即可.

點評：合理巧妙借助物理知識與數學知識加以融合交匯，以生活實際為問題背景，通過數學建模，借助數學中的相關知識來考查數學中的最值問題.問題極具創新意識與應用意識，有效聯系知識與實際.

3 數學與化學

例2如圖1，C60是一種由60個碳原子構成的碳原子簇，其結構是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體，它形似足球，因此又名足球烯，則C60結構中正六邊形個數為______.

圖1

分析：結合C60的結構圖確定其對應的每個頂點同時在3個面內，則知正五邊形的頂點個數與正六邊形的頂點個數之和為60個頂點的3倍，設出兩種正多邊形的面的個數，建立方程組來分析與處理即可.

故填答案：20.

點評：合理巧妙借助化學知識與數學知識加以融合交匯.以化學中特殊的C60的結構圖與生活實際中的足球加以聯系，通過數學建模，結合空間幾何體中頂點與面的關系，利用方程組的求解來解決立體幾何中的相關數學實際應用問題.

4 數學與生物

例3面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風險，某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查，過程中排查到一戶5口之家被確認為新冠肺炎密切接觸者，按要求進一步對該5名成員逐一進行核酸檢測.若任一成員出現陽性，則該家庭定義為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性相互獨立，且概率均為p(0

分析：設出相應的事件A與B.根據相互獨立來確定各自的概率，進而建立概率函數關系式f(p)，通過求導，結合導函數的變形與轉化，利用條件中當p=p0時，f(p)最大，進而來確定p0的值.

點評：合理巧妙借助生物知識與數學知識加以融合交匯，通過數學建模，結合概率中的相互獨立建立概率關系式，綜合導數及其應用來確定相應的最值問題，進而確定滿足條件中的參數值.

5 數學與地理

例4臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區組織實兵演練，展現的是捍衛國家主權和領土完整的決心和能力.如圖2為我空軍戰機在海面上空繞臺巡航.已知海面上的大氣壓強是760mmHg，大氣壓強p(單位：mmHg)和高度h(單位：m)之間的關系為p=760e-hk(e是自然對數的底數，k是常數)，根據實驗知500m高空處的大氣壓強是700mmHg，則我戰機在1 000m高空處的大氣壓強約是(結果保留整數)( ).

圖2

A.645mmHgB.646mmHg

C.647mmHgD.648mmHg

分析：通過閱讀理解題目條件，結合關系式p=760e-hk中相關參數的分析，通過特殊的一組數值代入，得到相應的關系式，進而再次代入對應的數值，利用指數冪運算加以轉化，從而確定對應的大氣壓強值.

點評：合理巧妙借助地理知識與數學知識加以融合交匯，通過數學建模，綜合指數冪等代數運算，巧妙處理實際生活中的數學問題.

6 數學與歷史

例5在《孫子算經》中有“物不知數”問題，原文如下：有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數.設這個整數為a，當a∈[1，500]時，則符合條件的所有a的和為______.

分析：根據題目中歷史問題加以翻譯轉化，設整數a所表示的關系式a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，通過新參數之間關系式的建立，結合分類討論確定兩參數之間的關系，進而合理數學建模，引入等差數列，結合等差數列的求和來確定.

解析：由題目條件，可設a=3m+2=5n+3，m，n∈N，則有3m=5n+1.

當m=5k，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+1，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+2，k∈Z時，n=3k+1，滿足題意；

當m=5k+3，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+4，k∈Z時，n不存在；

所以k=0，1，2，3，……，32，共有33個數，且這些數組成以8為首項，15為公差的等差數列.

點評：合理巧妙借助歷史知識與數學知識加以融合交匯，通過數學建模，把歷史中數學著作問題與實際數學相結合，通過條件的轉化確定相應的等差數列，利用等差數列的求和來解決實際問題.

7 結束語

數學與其他學科相融合的創新新情境數學試題，往往緊密聯系生活實際，滲透物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關知識，數學建模，巧妙轉化，以考查考生的基礎知識和基本能力為主線，注重數學的基礎性、綜合性和應用性，強調以核心素養為導向，突出考查數學建模、數據分析、邏輯推理和數學運算等核心素養，深受命題專家的青睞.