在數(shù)學(xué)建模中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

?新疆石河子第一中學(xué) 傅祖勇

1 引言

創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，推動(dòng)了人類社會(huì)的進(jìn)步.當(dāng)今社會(huì)、科學(xué)技術(shù)日新月異，靠的就是創(chuàng)新型人才.高中數(shù)學(xué)教學(xué)雖然屬于基礎(chǔ)教育，但同樣肩負(fù)著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重任.那么，高中數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)的落腳點(diǎn)在何處呢？筆者認(rèn)為，教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做到以下三點(diǎn)：一是發(fā)揮想象能力，培養(yǎng)直覺思維；二是構(gòu)建建模意識(shí)，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力；三是以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面談?wù)劸唧w做法，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)斧正.

2 發(fā)揮想象能力，培養(yǎng)直覺思維

追溯數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，我們可以發(fā)現(xiàn)，不勝枚舉的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)往往來(lái)自于數(shù)學(xué)家的直覺思維.史上有名的有笛卡兒坐標(biāo)系、費(fèi)爾馬大定理、歌德巴赫猜想以及歐拉定理等，這些非凡的“發(fā)現(xiàn)”不是數(shù)學(xué)家通過(guò)邏輯思維得到的，而是他們經(jīng)過(guò)細(xì)致觀察、反復(fù)對(duì)比、深刻參悟最終數(shù)學(xué)靈感勃然而出的.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直覺思維和直觀想象，讓學(xué)生提出獨(dú)特的見解，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)快捷地解決問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)溝通數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.

例1除錯(cuò)位相減法之外，你能求S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)嗎？

學(xué)生直覺：可以將S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)看作某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，于是想到構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)巧妙地解決問(wèn)題.

由于本題解答要求避開“錯(cuò)位相減法”，所以學(xué)生解答時(shí)必須另辟蹊徑.學(xué)生借助直覺思維，根據(jù)所求代數(shù)式的特點(diǎn)，想到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并妙用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，可謂新穎自然，巧奪天工，毫無(wú)斧鑿之跡，怎不令人拍案叫絕！反映出學(xué)生善于觀察又積極想象的思維品質(zhì).試想，假如教師在日常教學(xué)中沒有一定量的建模訓(xùn)練，他們能“創(chuàng)造”出如此“高大上”的優(yōu)美證明嗎？大數(shù)學(xué)家泰勒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨(dú)創(chuàng)見解的源泉.

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，思想與方法也千姿百態(tài).從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，聯(lián)想到另一個(gè)問(wèn)題，并建立新的數(shù)學(xué)模型，這種創(chuàng)造性思維的形成往往離不開直覺思維.因此，在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，教師應(yīng)重視稍縱即逝的直覺思維的培養(yǎng).

3 構(gòu)建建模意識(shí)，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力

恩格斯說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)形式的相互轉(zhuǎn)化，不是一種無(wú)聊的游戲，而是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的平衡關(guān)系，如同物理中的“杠桿原理”.一旦離開這個(gè)原理，數(shù)學(xué)就會(huì)“擱淺”.而數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上看，就是實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要注重這種轉(zhuǎn)化，并用好這根“杠桿”，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意義非凡，同時(shí)從應(yīng)試角度看，對(duì)提高學(xué)生的解題速度也大有益處.

在函數(shù)模型的教學(xué)中，筆者給學(xué)生舉了一個(gè)“洗衣問(wèn)題”的例子：現(xiàn)在有一桶水，需要洗一件衣服，是直接將衣服放入一桶水中洗呢，還是將一桶水一分為二，洗滌兩次？哪種洗法的效果好？答案自然是不言而喻的，你能從數(shù)學(xué)角度來(lái)分析并解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

例2衣服洗滌甩干后需要多次漂洗，如果每次漂洗后衣服上的殘留物都是均勻分布的，而且每次漂洗并甩干后衣服中含有的水分和殘留物的重量也相同，也就是說(shuō)每次漂洗前后的衣服上的殘留物的含量百分比一致.現(xiàn)有一臺(tái)全自動(dòng)小天鵝洗衣機(jī)，假定漂洗的用水總量為a，漂洗并甩干的次數(shù)定為3.為了讓漂洗后衣服中殘留物最少，請(qǐng)同學(xué)們想一想，如何確定每次漂洗的用水量？

生1：設(shè)每次漂洗并甩干后衣服中的殘留水分(含殘留物)的重量為m，洗滌并甩干后(漂洗前)衣服中殘留物(不含水分)為n0.3次漂洗并甩干后衣服中的殘留物(不含水分)分別為y1，y2，y3，3次用水量分別為x1，x2，x3(以上各量單位相同)，則由每次漂洗前后殘留物的重量百分比濃度相等可知：

師：本問(wèn)題的關(guān)鍵是利用每次漂洗前后殘留物重量的百分比濃度相等來(lái)建立關(guān)系式，請(qǐng)同學(xué)們思考這是為什么？

通過(guò)大家的集思廣益，得到了本題的推廣結(jié)論：

通過(guò)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)手段，問(wèn)題似乎已經(jīng)解決.從理論上講，定量的水漂洗次數(shù)越多，殘留物就越少.但全自動(dòng)洗衣機(jī)通常設(shè)定為3次漂洗，這是為什么？這又是一個(gè)日常生活中的問(wèn)題，再次激發(fā)出學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情，顯然這個(gè)問(wèn)題是剛解決的問(wèn)題的進(jìn)一步深化，筆者讓學(xué)生課后進(jìn)一步研究，于是把學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力向更高的層次推進(jìn).

4 以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

所謂“建模”，顧名思義就是構(gòu)造模型，說(shuō)來(lái)簡(jiǎn)單，但模型如何構(gòu)造并非一蹴而就的容易事，這需要學(xué)生有足夠強(qiáng)的構(gòu)造能力.而這種能力同樣離不開教師在課堂教學(xué)中的著力培養(yǎng)，教師應(yīng)該精選教學(xué)素材，以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

足球運(yùn)動(dòng)深受高中生喜愛，于是筆者提出了如下關(guān)于足球的問(wèn)題：

例3如圖1所示，甲方球員A把球傳給甲方球員B，乙方的球員C出擊阻斷該球.球員C斷球是否成功，主要由以下因素確定：△ABC的形狀、傳球的速度、傳球的軌跡，還有球員奔跑的速度、球員C的出擊角度、球員們反應(yīng)的時(shí)間、比賽時(shí)的天氣等.我們?yōu)榱撕?jiǎn)化問(wèn)題，提出如下幾個(gè)假設(shè)：首先不考慮客觀因素；其次把球員反應(yīng)時(shí)間當(dāng)成零，并且球員奔跑速度都相等，且他們與球在同一個(gè)平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng).在這樣的假設(shè)下，球員C可否成功斷球的主要因素，一受△ABC的大小與形狀的影響；二受該球員奔跑速度的制約；三還得看傳球速度；最后還要看球員C出擊的角度.于是，我們可以把球員斷球問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題：

圖1 圖2

問(wèn)題1：如圖2所示，甲方球員A把球傳給本隊(duì)同伴B，而乙方球員C想搶斷傳球，在∠A與θ(θ=∠ACD)滿足何種條件的時(shí)候，球員C才可能實(shí)現(xiàn)斷球目的？假設(shè)A=28°，B=40°，球的速度是16 m/s，球員C的速度是8 m/s，試求球員C出擊的方向.

問(wèn)題2：若依然假設(shè)∠A=28°，∠B=40°，球的速度是16 m/s，球員的奔跑速度是8 m/s，試問(wèn)：

(1)假如球員B積極回?fù)專敲此芊癯晒Ψ磾嗲颍?/p>

(2)球員C由哪個(gè)方向出擊，他肯定能成功阻斷球？

本問(wèn)題完全數(shù)學(xué)化后，就是一個(gè)解三角形和平面幾何問(wèn)題.由此可見，要把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先應(yīng)該從題目的實(shí)際出發(fā)，確定選擇何種數(shù)學(xué)模型，依據(jù)刪繁就簡(jiǎn)原則，通過(guò)主觀“構(gòu)造”，讓其顯出數(shù)學(xué)的本質(zhì).我們還可以改變假設(shè)的條件，如本例中球員對(duì)球作出反應(yīng)的時(shí)間，讓球員們奔跑的速度各不相同，由于受空氣阻力的影響，還可以將球的速度變?yōu)闇p速運(yùn)動(dòng)等，于是球員成功斷球的條件就變得異常復(fù)雜了，這樣對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維提出了更高的要求.但只有循序漸進(jìn)，學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力才能提高.

以上幾個(gè)例子告訴我們，觀察能力的培養(yǎng)與思維能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中同樣重要.教師只有在數(shù)學(xué)建模中引導(dǎo)學(xué)生眼、手、腦三者聯(lián)動(dòng)，創(chuàng)新思維的培養(yǎng)才能落地生根.