談新課程背景下高中生數學直觀想象素養的培養

?福建省德化第一中學 張福慶

1 引言

數學直觀想象素養是《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課程標準”)提出的六大核心素養之一，高考數學命題逐漸由“能力立意”向“素養立意”轉變，數學直觀更加受到重視，高中生數學直觀想象素養的培養成為數學教學的一項重要任務.如何培養高中生數學直觀想象素養？筆者做如下幾點思考.

2 強化高中生對直觀想象素養的認知

數學直觀想象素養一方面在其它核心素養的培養中起到橋梁紐帶作用，另一方面又對人認識事物產生較大的影響.培養高中生對數學直觀想象素養的認知，可以促使他們在心理上重視數學直觀想象素養，主動接納數學直觀想象思維，積極參與相關訓練.首先要引導學生認識直觀想象素養在其他核心素養形成的橋梁作用，激發他們對直觀想象素養培養的重視.直觀想象是數學抽象或數學建模的基礎，是邏輯推理或數學運算的鋪墊，是數據分析的載體等.其次是引導學生認識直觀想象素養對事物認知的影響，促進他們對直觀想象的認同感.數學直觀想象促進人們用數學直觀的眼光看待世界，認知事物本質，數學直觀想象素養能促進形成對事物直觀的洞察力，從而增強學生對數學直觀想象的認同感.

3 數學直觀想象素養培養的方法

數學直觀想象著重從幾何直觀的視角引導學生感知事物的形態和變化，但數學直觀想象不能局限于“數形結合”.史寧中教授曾指出：“在大多數的情況下，數學的結果是‘看’出來的而不是‘證’出來的.”“看”是一種直覺判斷能力，“看”在一定程度上體現了數學直觀想象.如何培養高中生數學直觀想象素養？

3.1 動手實踐是提高直觀想象意識的源泉

直觀想象是直觀的延伸，是發現問題和解決問題的重要手段，人類認識世界是從實踐和直觀想象開始的.數學理論來源于實踐又指導實踐.引導學生自己動手實踐，在實踐中獲取數學感知，抽象數學原理，從而強化直觀想象意識，這是課堂引入、應用教學環節的重要內容.

例如，在“指數級增長”知識點教學中，給學生每人一張A4紙，讓他們不斷對折，學生前6次對折都能輕松完成，第7次對折就很難完成了，這就讓學生對“指數級增長”有一個初步的認識，然后就適時拋出問題“如果一張普通A4紙的厚度是0.088 mm，對折10次后有多厚？對折20次呢？對折42次呢？”學生計算對折10次后的厚度約為9.0 cm(人手拇食指自然張開的跨度)，對折20次后的厚度約為92.3 m(30層樓高)，對折42次后的厚度約為387028.093 km(超過地球與月球之間的距離)，通過這樣的折紙操作學生驚詫于數據躍升的同時對“指數級增長”有了直觀而深刻的認知.

又如不少學生對“長方體中，側面的對角線和與該側面相交的棱互相垂直”,即如右圖所示，對“長方體ABCD-A1B1C1D1中，側面的對角線AD1和與側面ADD1A1相交的棱AB互相垂直”認知有困難.教學中筆者課前制作好長方體模型，讓兩名學生借助模型上臺演示.其中一名學生拿著長方體模型，另一位學生拿著細繩給長方體的一個面拉上對角線，讓學生觀察、梳理該對角線與各棱的關系，一目了然地展現這種垂直關系.

列寧認為：“從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐，這就是認識真理、認識客觀實在的辯證途徑.”人們認識事物是一個從實踐到認識，再從認識到實踐的過程.很多數學理論都是歷代數學家們通過實踐、實驗領悟出來的，動手實踐是提高學生直觀想象意識的源泉.因此在高中數學教學過程中，要有意識地設置一些讓學生動手實踐的內容，促進學生明白，生活中許多看似復雜的事物，有時用直觀的方法和思維去認知就變得簡單明了，動手實踐是人類認識世界的重要手段.

3.2 數學軟件是提供直觀想象思維的載體

適當以數學軟件為載體進行輔助教學，對學生數學直觀想象素養的培養有很好的促進作用.

例如，在引導學生認識長方體及其特殊分割幾何體在中國古代數學典籍中的名稱，我們借助GeoGebra數學學習軟件展示矩體(長方體)的分割過程，首先沿長方體對角面分割得到兩個塹堵(底面為直角三角形的直三棱柱)，然后進一步以底面的一個直角頂點及其對棱所在平面分割得到一個陽馬(底面為矩形,一條側棱垂直于底面的四棱錐)和一個鱉臑(四個面都是直角三角形的四面體).緊接著又指導學生在電腦上用GeoGebra學習軟件自主操作完成以上過程，使學生更加直觀地領悟相關的分割過程與分割所得到的幾何體.

在數學課堂教學中，GeoGebra、幾何畫板、數學畫板等數學軟件的應用可以直觀展示數學知識的生成過程，如果能教會學生親自動手操作數學軟件，直觀體驗效果將更加明顯，原來枯燥生澀的數學知識也變得靈動起來，不那么面目可憎了，激發了學生學習的興趣，體現了學生學習的主體地位.因此，在教學中適當應用多媒體輔助平臺，對培養學生數學直觀想象素養能起到事半功倍的效果.

3.3 情景引入是提升直觀想象效果的手段

課堂引入是數學課堂教學的重要組成部分，精彩直觀的課堂引入往往是學生直觀理解教學內容的重要鋪墊，對教學起到畫龍點睛的作用.

例如，研究函數極值，以爬山為引，先上山再下山是翻過山頂，先下山再上山是穿過山谷，學生想象著，延綿起伏的群山，交替出現的山峰和山谷，直觀理解了函數極值的概念.研究函數零點存在性定理，即如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是f(x)=0的根.我們把這一結論稱為函數零點存在性定理.

講解定理時我們可以以穿越小路為引，即一個人開始時在小路的一側，而在下一個時間節點他還在同一側，那我們就不清楚他在這段時間內是否穿越小路.但如果他在第二個時間節點出現在小路的另一側，那我們就可以斷定他穿越了小路，但其間穿越了多少次卻是未知的，引導學生將“穿越小路”的情景與函數零點存在性定理的表述進行比較，定理就直觀地呈現在學生的面前.不管是函數的極值還是零點問題，對許多學生來說都是較為抽象難懂的概念，但通過直觀形象的情景引入，就變得直觀易懂起來.

別把數學理論教得太死板，一個直觀有趣的情景引入能回報你一個精彩的課堂.一方面學生對數學知識有了最直接快捷的理解，增強學生對數學問題理解的直觀性，是提高數學直觀想象素養的重要手段.另一方面，學生親眼目睹了數學直觀想象素養的魅力，促使他們真正重視直觀想象素養的培養.

3.4 精準練習是落實直觀想象實踐的途徑

數學離不開解題，直觀想象作為數學學科核心素養之一，也必然是高考重點考查的內容，落實直觀想象實踐，做好精準練習，是高中生數學直觀想象素養培養的主要過程.

精選或原創相關習題強化實踐訓練.首先要對高考在“直觀想象素養”考查的方向與題型有清楚的認知，例如數形結合題型、創新直觀題型、空間直觀想象類題型等，然后我們才能立足高考對“直觀想象素養”的考查特點精選或原創習題，落實“直觀想象素養”實踐訓練.

該例題對直觀想象素養的考查是數形結合思想，思維的難點與關鍵在于如何把握圖形的變化規律及圖形背后所蘊含的數量關系，借助幾何直觀形成解題思路.通過適量的針對性訓練，促使學生重視數學直觀想象素養的自我培養，理解數學直觀思維，掌握應用數學直觀想象解決問題的能力.當然數學直觀并不等同于“數形結合”，要把握高考“直觀想象素養”考查模式，做到有的放矢地訓練.

4 結語

數學直觀想象是通過數學的眼光觀察世界來建立數學直覺的基本方法，是發現和提出數學命題、理解數學問題、梳理論證思路和運算的輔助工具，也是進行邏輯論證、數學推理、數學建模的思維基礎.同時，數學直觀想象素養培養的過程中也在培養學生面對人生抉擇時能靜下心來，用最直接的方式做出選擇的良好品質.