對2021年高考數(shù)學上海卷第21題的探究

中山市桂山中學(528463) 蔡曉波 余鐵青

一、題目再現(xiàn)與解答

題目1 (2021年高考上海卷第21題)已知f(x)是定義在R 上的函數(shù),若對任意的x1,x2∈R,x1?x2∈S,均有f(x1)?f(x2)∈S,則稱f(x)是S關聯(lián).

(1)判定和證明f(x)=2x+1 是否是[0,+∞)關聯(lián)?是否[0,1]關聯(lián)?

(2)若f(x)是{3}關聯(lián),當x∈[0,3)時,f(x)=x2?2x,解不等式2≤f(x)≤3

(3)證明:“f(x)是{1}關聯(lián),且是[0,+∞)關聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[1,2]關聯(lián)”.

答案(1)是[0,+∞)關聯(lián); 不是[0,1] 關聯(lián); (2)[1+

本題是2021年高考上海卷壓軸題.本題3個問題層層遞進,第(1)(2)問較為容易,主要在于引導學生熟悉“S關聯(lián)”的概念,第(3)問較為抽象,有一定的難度,因此第(1)(2)問的解答過程從略,以下主要對第(3)問的證法進行探討.

證法1 必要性 根據(jù)條件可得f(x+1)=f(x)+1,故f(x+n)=f(x)+n.因為f(x)是[0,+∞)關聯(lián),對任何x1,x2∈R,當0≤x1?x2,有0≤f(x1)?f(x2),即當x1≤x2,時有f(x1)≤f(x2).

若1≤x1?x2≤2,則1+x2≤x1≤2+x2,所以f(1+x2)≤f(x1)≤f(2+x2),即f(x2)+1≤f(x1)≤f(x2)+2,即1≤f(x1)?f(x2)≤2,所以f(x)是[1,2]關聯(lián);

充分性 因為?x1,x2∈R,當1≤x1?x2≤2 時,有1≤f(x1)?f(x2)≤2,所以1≤f(x+2)?f(x+1)≤2,

故2≤f(x+2)?f(x)≤4,又由1≤f(x+2)?f(x)≤2(因為1≤(x+2)?x≤2)可得:f(x+2)?f(x)=2,即f(x+2)?f(x+1)+f(x+1)?f(x)=2,結(jié)合①可得:f(x+2)?f(x+1)=1,f(x+1)?f(x)=1,故f(x)是{1}關聯(lián),故不難得出f(x+n)=f(x)+n.

?x1,x2∈R,當0≤x1?x2,必存在n(n∈N)使得x1?x2∈[n,n+1],則x1?[x2+(n?1)]∈[1,2],因為f(x)是[1,2]關聯(lián),故1≤f(x1)?f[x2+(n?1)]≤2,即1≤f(x1)?f(x2)?(n?1)≤2,則有:f(x1)?f(x2)∈[n,n+1]?[0,+∞);故f(x)是[0,+∞)關聯(lián).

評注證法1 在證明f(x)是{1}關聯(lián)時,巧妙的運用了不等式間的關系求出了f(x+1)?f(x)=1 的關系,實際上,利用反證法也可以證明出該關系.另外,結(jié)合f(x)是{1}關聯(lián)與f(x)是[1,2]關聯(lián)中的一邊的不等式關系也是可以證出f(x)是[0,+∞)關聯(lián)的,因此我們可得本題的另一種證法.

證法2 必要性同證法1.

充分性的證明與后邊結(jié)論4 的證明類似,由讀者自己整理.

以上是本題第(3)問的兩種證法,本題的3個問題實際上都是在圍繞這函數(shù)是某個值關聯(lián)還是某個閉區(qū)間關聯(lián)展開討論的.那么我們不禁思考,本題的一般性結(jié)論是什么?函數(shù)S關聯(lián)有沒有其它性質(zhì)?筆者對如上問題進行了一系列探討.

二、問題的探究與推廣

為行文分別,我們啟用題目中的定義.

定義1 已知f(x)是定義在R 上的函數(shù),若對任意的x1,x2∈R,x1?x2∈S 均有f(x1)?f(x2)∈S,則稱f(x)是S關聯(lián).

(一)函數(shù)是某個值關聯(lián)

如果f(x)是{a}(a為正實數(shù))關聯(lián),則x1?x2=a且f(x1)?f(x2)=a,故當x1?x2=?a時f(x1)?f(x2)=?a,故f(x)是{?a}(a為正實數(shù))關聯(lián),因此我們僅需討論函數(shù)f(x)是非負數(shù)的關聯(lián)即可.

對于函數(shù)關于某個值關聯(lián),我們不難得出如下結(jié)論:

結(jié)論1 任意定義在R 上的函數(shù)f(x)是{0}關聯(lián).

結(jié)論2 任意定義在R 上的函數(shù)f(x)是{a}(a為正實數(shù))關聯(lián),則f(x)也是{ka},k∈Z 關聯(lián).

結(jié)論1 與2 比較容易證明,證明從略.

結(jié)論3 任意定義在R 上的函數(shù)f(x)是{a} 關聯(lián)且是關聯(lián)(a,b為正實數(shù)),則f(x)也是{ma+nb},其中m,n∈Z.

證明由結(jié)論2 且f(x)是關聯(lián)可得:f(x+ma+nb)=f(x+ma)+nb,再由f(x)是{a} 關聯(lián)可得:f(x+ma)=f(x)+ma,故f(x+ma+nb)=f(x)+ma+nb,故任意x1?x2=ma+nb,即x1=x2+ma+nb,故f(x1)=f(x2+ma+nb)=f(x2)+ma+nb,故f(x1)?f(x2)=ma+nb,故f(x)是{ma+nb}(m,n∈Z)關聯(lián).

幾何意義如果函數(shù)f(x)是{a}(a為正實數(shù))關聯(lián),則f(x+a)?a=f(x)(或f(x?a)+a=f(x)),故其幾何意義為f(x)向左(右)平移a個單位,向下(上)平移a個單位后與原來圖像重合,因此f(x)的圖像呈類似于圖1 的“類周期”性質(zhì),因此在實數(shù)范圍內(nèi)僅需知道f(x)在[m,n)(n?m=a)內(nèi)的表達式(或圖像)便可得出f(x)在R 上的表達式(或圖像),題目1 的第(2)問就是考察這個性質(zhì).

圖1

(二)函數(shù)關于某個連續(xù)閉區(qū)間關聯(lián)

若函數(shù)f(x)是[?b,?a],(b>a>0)關聯(lián),則對于任意?b≤x1?x2≤?a均有?b≤f(x1)?f(x2)≤?a,這等價于:對于任意a≤x2?x1≤b均有a≤f(x2)?f(x1)≤b,故函數(shù)f(x)是[a,b]關聯(lián),因此下面我們著重研究函數(shù)f(x)是[a,b],(b>a>0)關聯(lián)的情況.

由高中教材[2]可知,高中階段我們所學的增函數(shù)的概念實際上是指嚴格增函數(shù).關于增函數(shù)與嚴格增函數(shù),在教材[1]的第16 頁給出了如下定義:

定義2 設y=f(x),x∈D,如果對于任意x1,x2∈D,x1

在下文所說的增函數(shù),均是符合定義2 的增函數(shù).

題目1 的第(3)問提到了函數(shù)f(x)是[0,+∞)關聯(lián),故函數(shù)f(x)對于任意x1?x2≥0 則f(x1)?f(x2)≥0,容易分析可知f(x)在R 上是增函數(shù).第(3)問同時給了我們提示,函數(shù)f(x)如果是具有某個特征的連續(xù)閉區(qū)間關聯(lián),則等價于該函數(shù)是某個值關聯(lián),且該函數(shù)是增函數(shù),那么該“連續(xù)閉區(qū)間”必須具備什么特征呢?筆者探究得出如下結(jié)論:

結(jié)論4 設a∈R,a >0,則“f(x)是{a} 關聯(lián),且是[0,+∞)關聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[a,2a]關聯(lián)”.

證明充分性 因為f(x)是[a,2a] 關聯(lián),所以當a≤x1?x2≤2a時,a≤f(x1)?f(x2)≤2a,即a+f(x2)≤f(x1)≤2a+f(x2),因為(x+a)?x∈[a,2a],故f(x)+a≤f(x+a),如果f(x)+a < f(x+a),則f(x+2a)=f(x+a+a)>f(x+a)+a>f(x)+2a.由于(x+2a)?x∈[a,2a],故f(x+2a)≤f(x)+2a,矛盾.故f(x+a)=f(x)+a,故f(x)是{a}關聯(lián).

結(jié)合結(jié)論2 得:f(x+na)=f(x)+na,n∈N.若x1?x2≥0,則存在n,(n∈N)使得x1?x2∈[na,(n+1)a],故x1?(x2+(n?1)a)∈[a,2a],結(jié)合f(x)是[a,2a] 關聯(lián),可得f(x1)?f(x2+(n?1)a)≥a,f(x1)?f(x2)≥a+(n?1)a=na≥0,故f(x)是[0,+∞)關聯(lián).

結(jié)論4 的必要性的證明方法類似于解法1 必要性的證明,此處從略.

顯然,當a=1 時便為題目1 的第(3)問.因此,上述結(jié)論4 的證明過程中,令a=1 便可得第(3)問充分性的第二種解法.

結(jié)論5 設a∈R,a >0,則有:“f(x)對于任意n∈N是[na,(n+1)a]關聯(lián)”充要條件為:“f(x)是[a,2a]關聯(lián)”

證明充分性 對于任意n∈N,設na≤x1?x2≤(n+1)a,則a≤x1?(x2+(n?1)a)≤2a,又因為f(x)是[a,2a]關聯(lián),所以a≤f(x1)?f(x2+(n?1)a)≤2a.

結(jié)合結(jié)論2,4 可得:f(x)是[a,2a] 關聯(lián),則f(x)是{na},n∈N 關聯(lián),故f(x2+(n?1)a)=f(x2)+(n?1)a,故na≤f(x1)?f(x2)≤(n+1)a,所以f(x)是[na,(n+1)a]關聯(lián).顯然令n=1 可得必要性.

結(jié)論6 設a∈R,a >0,“f(x)是[a,2a]關聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[a,na](n為常數(shù),且n≥2,n∈N)關聯(lián)”.

證明必要性 若a≤x1?x2≤na(n≥2,n∈N),則存在k∈N,2≤k≤n使得(k?1)a≤x1?x2≤ka,因為f(x)是[a,2a]關聯(lián),由結(jié)論5 可得:f(x)也是[(k?1)a,ka]關聯(lián),故a≤(k?1)a≤f(x1)?f(x2)≤ka≤na,故f(x)是[a,na](n為常數(shù),且n≥2,n∈N)關聯(lián).

充分性 因為f(x)是[a,na] (n為常數(shù),且n≥2,n∈N)關聯(lián),故對于任意a≤x1?x2≤na均有a≤f(x1)?f(x2)≤na,又因為x+a?x=a∈[a,na],故a≤f(x+a)?f(x),即f(x)+a≤f(x+a),故對于任意k∈N,1≤k≤n有:

即有

同理可得:f(x?ka)≤f(x)?ka,故f(x+ka)=f(x+na?(n?k)a)≤f(x+na)?(n?k)a,另一方面x+na?x=na∈[a,na],故f(x+na)?f(x)≤na,即f(x+na)≤f(x)+na,故f(x+ka)≤f(x+na)?(n?k)a≤f(x)+na?(n?k)a=f(x)+ka,即

由②③可得:f(x+ka)=f(x)+ka,故f(x+a)=f(x)+a,即f(x)是{a}關聯(lián).此外,對任意x1?x2≥0,存在m,(m∈N)使得x1?x2∈[ma,(m+1)a],故x1?(x2+(m?1)a)∈[a,2a]?[a,na],故f(x1)?f(x2+(m?1)a)≥a,即f(x1)?f(x2)?(m?1)a≥a,故f(x1)?f(x2)≥ma≥0,所以f(x)是[0,+∞)關聯(lián),由結(jié)論4 可知:f(x)是[a,2a]關聯(lián).

結(jié)論4,5,6 反映了如下的關系:“f(x)是{a}關聯(lián),且是[0,+∞)關聯(lián)”?“對于任意n∈N+,f(x)是[na,(n+1)a]關聯(lián)”?“f(x)是[a,2a]關聯(lián)”?f(x)是[a,na](n≥2,n∈N)關聯(lián).

幾何意義對于f(x)是[a,b](b > a >0)關聯(lián),則a≤x1?x2≤b,且a≤f(x1)?f(x2)≤b,即x2+a≤x1≤x2+b且f(x2)+a≤f(x1)≤f(x2)+b.如圖2,結(jié)合圖像可得f(x)是[a,b](b>a>0)關聯(lián)的幾何意義是在函數(shù)f(x)上任意一點(x0,f(x0))距離的右上角畫一個邊長為b?a的正方形,則函數(shù)f(x)在[x0+a,x0+b]之間的圖像完全落在該正方形內(nèi).

圖2

結(jié)合幾何意義,我們不難得出如下結(jié)論:

結(jié)論7 設f(x)是定義在R 上的函數(shù),則“對任意a>0,f(x)是[a,2a] 關聯(lián)”的充要條件是“f(x)=x+c(c為常數(shù))”.

證明充分性較為容易證明,故這里不再贅述.

必要性 因為對于任意的a >0,f(x)是[a,2a] 關聯(lián),由結(jié)論5 可得:對?k∈Z,f(x)是{ka}關聯(lián),即f(x+ka)=f(x)+ka,注意到a的任意性與k∈Z 可得:f(x+m)=f(x)+m(m∈R),故對于任意x0∈R,有

(三)結(jié)論4 的應用

設a∈R,a >0,則“f(x)是{a}關聯(lián),且是[0,+∞)關聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[a,2a]關聯(lián)”

結(jié)論4 告訴我們一個函數(shù)若滿足f(x+a)=f(x)+a其中a∈R+為常數(shù)且f(x)是增函數(shù),則當a≤x1?x2≤2a時,便有a≤f(x1)?f(x2)≤2a的不等式關系.因此,如果我們對f(x)賦予具體的表達式便可得到具體的不等式,比如:對于函數(shù)f(x)=(x?k)p+k,x∈[k,k+1),k∈Z,p為正常數(shù),顯然就是滿足f(x+1)=f(x)+1 且f(x)是增函數(shù),則f(x)是[1,2] 關聯(lián),則我們適當選取值,比如令x1=m+,x2=m+,m為常數(shù),故,因此有以上分析相當于如下習題:

習題已知f(x)=(x?k)p+k,x∈[k,k+1),k∈Z,p為常實數(shù),且p>0,求證:對于任意成立(m為常數(shù)).

三、結(jié)語

至此,我們對2021年高考上海卷第21題進行了一系列的探究,得出了函數(shù)S關聯(lián)的一些結(jié)論,但是仍然有一些問題未能解決,略感遺憾,比如:

問題1 定義在R 上的函數(shù)f(x)是[a,b](b >2a >0)關聯(lián),那么能否得出f(x)是[0,+∞)關聯(lián)呢?如果不能那么能否舉出反例,如果能,該怎么證明?

問題2 在“結(jié)論4 的應用”分析中,筆者用了函數(shù)f(x)=(x?k)p+k,x∈[k,k+1),k∈Z,其本質(zhì)實際是一個分段函數(shù),能否找到一個由初等函數(shù)構(gòu)造而成,且非分段的具體的非隱函數(shù)f(x),使得f(x)是[a,2a](a >0)關聯(lián)呢?如果能找到,那么得到的不等式將更加具體.