淺議平面向量思想方法的落實設計

摘 要：向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁。本文結合實際教學案例，闡述在教學中如何落實平面向量的基本思想和方法，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解。

關鍵詞：平面向量;代數法;幾何法;坐標法;數形結合

2018年，高中數學進入了“新課程”教學。《新課程標準》（以下簡稱《標準》）提出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力和情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。基于高中數學課程性質和教育價值，數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體。

我們發現，新修訂的課程方案和標準聚焦學生核心素養，其中課程目標與內容、實施與評價等都發生了深刻的變化。新修訂的標準中，學科核心素養的凝練與水平的劃分、學業質量標準功能的定位，使高中課程與新高考的要求實現了內在的一致。這就要求教學既要凸顯核心素養的培養，又要符合高考改革的關鍵變化。面對新修訂的課程和新高考即將大范圍推進的挑戰，“新教學、新學習”的探索變得尤其迫切和重要。

《標準》中核心素養的提出指向了一件事情，即關于培養人的問題的研究。作為教師，思考探索教育教學的新路徑、新形式、新方法成了迫在眉睫和勢在必行的事。面對瞬息萬變的信息化時代，教育教學不僅從真實中來，還要回到真實中去，要打通學校教育和真實世界的路徑，真真正正做到為了學生的發展，不僅要考慮今天學生在學校所學的知識，更要考慮他們未來解決問題的能力，也就是“超越學校價值”的知識成果。正因為如此，學生的學習，不應該是被動地去接納外在知識的灌輸，也不是從實踐開始的盲目試誤，而是通過主動的、有目的的活動，對人類已有認識成果及其過程的學習與體驗。它需要學生全身心地投入，真正成為教學活動的主體。因此，教學中，教師需要改變以講授知識點為立場的教學設計范式，應該以培養學生學科核心素養為綱，尊重學科邏輯體系，基于《標準》的目標要求，充分考慮大觀念和關鍵能力，在規定的時間內，設計組織教學內容和活動，強調教學過程的關鍵環節，明確評價目標和方法，從而實現以素養為本的教學設計。本文通過對學生課堂活動的設計，來實現向量思想方法的落實。

“幾何與代數”是高中數學課程的主線之一。無論在必修課程還是選擇性必修課程中，均突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解。向量是近代數學的基本概念之一，是一種重要的數學工具。向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景。向量既有代數形式，又有幾何形式，還有坐標形式，是溝通幾何和代數的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面，以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在實際生活與學習中發揮重要作用。

在教學中，學生對向量的多重“身份”——代數形式、幾何形式與坐標形式的理解和認識有個逐步建立的過程。在向量基本概念和基本運算的學習過程中，學習建立了對向量“多重身份”的初步認識。本文的設計是在向量基本概念研究完成后，通過創設具體的題目情境，與學生一起探究向量的不同角度的研究方法，讓學生經歷將代數、幾何、坐標等方法結合起來解題的過程，加強對向量思想方法的理解，觸發學生對向量代數、幾何和坐標特征的關注與思考，感受幾何直觀和代數運算之間的融合。同時達到學生對數學知識之間的關聯、多種方法內在的聯系的深刻認識，提高數學素養。

一、多角度研究的初步體驗

我們先選一個結構簡單，比較容易入手的例題，學生可以通過研討生成多種基本的方法。

已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，求的最大值。

我們知道，平面內任意兩個不共線的向量都可以作為基底，但在選取基底時，應盡量使用有利于解決問題的基底。借助平面向量基本定理，可以將平面內任意多個向量的問題轉換為兩個特定的不共線向量的問題，這樣就將問題大大地簡化。這也是我們要學習平面向量基本定理的原因之一。本題有很好的一組基底，，可用這組基底線性表示，所以便可轉化為基底之間的運算，即：

設，則.

所以的最大值為1.

利用向量的坐標求向量的數量積是一種常用的方法，在運算時，如果建立適當的坐標系，就可以大大地簡化運算，同理，向量的長度、距離，以及向量之間的夾角都可以利用向量的數量積的坐標運算得解。對學生而言，什么時候可以使用向量的坐標法是一個難點。其實選擇的主要依據，就是看題目，以及已知的條件是否適合建立合適的平面直角坐標系。當然，很容易觀察到本題有一組現成的標準正交基底，所以建立平面直角坐標系，將向量運算轉化為坐標運算也非常便捷。

平面向量的數量積運算是向量之間的一種特殊的運算，不同于向量的加、減、數乘運算的結果仍是向量，數量積的運算結果是數量。這部分知識對于學生而言是相對抽象的，并不好理解與接受。在實際教學中，需要借助功的定義，幫助學生理解向量的數量積運算來源于物理學知識，在實際生活中，向量這種運算是存在著的。向量的投影及其數量是充分體現行的幾何身份的知識，是解決向量相關問題所特有的工具[1]。本題可以結合平面向量的數量積的幾何意義得到為在方向投影的數量與模長之積，解法直觀形象，一目了然。

通過上面的探索，學生會發現，同一道向量題目，入手點不同，可以得到不同的解題路徑。

二、經驗驗證與能力提升

例：若非零向量滿足，則以下說法正確的是_____________。

①? ?②

③? ?④

受到引例的啟發，本題學生可以從以下不同角度進行嘗試：

（一）代數方法

由，等式兩邊同時平方，可得：，即.

欲考查與的大小關系，只需考查與0的關系。由，易得.因題目中沒有給出與的關系，所以與的大小無法判斷。

同理，

，所以可得：.

所以本題答案為③。從上述過程中可以得到，用代數方法解決向量問題，代數運算是很好的入手點，通過向量運算的代數恒等變形，可以得到一些代數形式的條件，這些條件為問題的解決提供支撐。

（二）坐標方法

設，則由可得：，所以，因題目未給出關于與的信息，所以與的大小無法判斷。

同理，

，所以可得：.

由此可得本題答案為③。坐標方法解決本題的最大障礙在于由于引入未知數個數較多（三個），學生選擇此法的信心不足。但通過解題過程，學生會感受到坐標的運算帶來變量的迭代，在此過程中變量過多的問題也得到了解決。

（三）幾何方法

本題目的主要條件是，當不共線的時候，我們從向量加法的定義，可以將與畫在一個等腰三角形中。根據模長的不同情況，畫圖可得與的大小無法判斷，而一定成立。

事實上，我們可以證明，所以是直角邊，而是斜邊，所以.

當共線的時候，上述結論也成立，故本題答案為③。

此法中，能根據平面向量加法法則畫出圖形是關鍵，但得到正確答案還需過一關：畫出所有可能的情況。如果只畫出一種情況，就可能得到片面的結論。由此可見，幾何法也有一定的局限性：它較大程度依賴于作圖，而作圖有可能會過于主觀，有失客觀性，使得結論不夠全面。

這三種解法的入手角度不同，各有特點，學生通過研討，會進一步加深對向量基本思想方法的理解。另外，我們注意到，每種方法雖然入手角度不同，解決路徑不同，但所有的方法實質上都是統一的。通過對這道題目的多角度、多維度的研究，學生再一次體會到向量的代數、幾何及坐標方法在具體題目情境中的使用。通過不同方法之間的對比與參照，初步感受數學知識之間的聯系[2]。

三、綜合鞏固與能力再提升

此模塊設計用于鞏固上面得到的方法，讓學生進一步感受三種方法的不同，在每種方法的使用過程中充分感受向量的核心思想方法，同時能夠形成選擇合適方法的經驗。

練習1：在中，，，，求.

這道題可以嘗試代數法、坐標法和幾何法。我們知道，向量的代數法主要依賴于代數變形和代數運算，而這些的實現往往方式繁多，很容易陷入一系列毫無頭緒的代數變形，導致解題目標不明確，效率低下。本題意在讓學生再次體會在向量的代數運算中，選擇一組基底能夠讓向量的運算更簡明高效。本題有一組比較好的基底：，所求向量均可用這組基底表示。則即為基底的運算。

因為，，所以建系引入坐標，把轉化為坐標運算也是很自然的想法。可以借助本題讓學生體會幾種不同的建系方式，進而形成自己的經驗。

事實上，也可以嘗試找到的幾何意義，即在方向的投影的數量與的乘積。但因為幾何意義不是太明顯，還需要通過解三角形求一些基本量，運算量不小。即便如此，作為一種方法，讓學生通過思考比較，做出方法的取舍，通過反思，將經驗內化為能力與思想，建立很好的數學感覺。

練習2：在中，，

，則_______。

1.首先，對于代數法，有了前面題的代數解法中對基底的認識，這道題選擇作為基底解題會比較順利。

2.這道題的幾何解法最為簡潔，即先求在方向上投影的數量。由相似于，所以可求出，，所以。對數量積幾何意義掌握比較好的一部分同學可以想到這種方法。可利用此題強化對向量幾何意義的關注。

3.因為有現成的直角，也可以嘗試建系。這種想法在執行初期最大的障礙是未知量個數較多帶來的。讓學生經歷坐標法解題的過程，感受到有的未知數會在坐標運算中消除，進而形成經驗。

練習3：已知向量是單位向量，，對任意，恒有，則以下說法正確的是（）。

A.? ? ? B.

C.? D.

本題目是以純向量形式給出的，學生在尋找幾何關系的時候就能體會到向量是自由向量這一特征。這道題目最巧的入手點是幾何特征，學生需要將代數關系“對任意，恒有”轉化為動態的幾何情境。這是本題幾何法最難也是最巧的地方。

本題目也可以采用代數方法：將這一模長不等式轉化為，進而轉化為關于的二次函數這一純代數問題解決。選擇這一方法的學生應該比較多。

坐標法也是本題可以嘗試使用的方法，預計學生不會輕易嘗試，主要原因還是變量個數較多，但有上一道題的經驗作為支撐，可以鼓勵學生進行嘗試。變量的個數可以通過建系巧妙減少，此處可以與學生討論建系的幾種方式，讓學生通過實踐形成經驗。

結束語

以上是對平面向量的思想方法的落實的一個基本設計，我們通過設計教學活動，讓學生在實踐中感悟。當然，思想方法的落實是個長期的工作，不可能一蹴而就。在之后的解析幾何、空間向量等模塊我們將繼續在具體情境中與學生一起感受向量的多重身份、多種研究角度，以及它在聯系代數與幾何中所發揮的不可替代的作用。我們高中數學研究的對象可以分為數與形兩大部分，數與形是相互聯系的，這種相互聯系稱之為數形結合。它的應用，分為兩個方面，一個是借助數的準確性來研究形的某種屬性，另一個是借助形的直觀，研究數之間的某些關系。數形結合是高中學生的一個基本數學能力，也是我們充分感受數學的魅力和力量的載體。我們在教學中要善于利用這些題目，讓學生體會數與形的和諧統一。

參考文獻

[1]尹曉宇.用思維導圖促進學生深度學習：以《平面向量數量積解題策略》復習為例[J].中學教學參考.2021（5）.

[2]張艷萍.深剖觀向量，多思謀題法：對2020年江蘇高考平面向量問題的解法探究[J].數學教學通訊.2020（36）.

作者簡介：段英華（1982— ），女，漢族，山西平遙人，北京市十一學校，一級教師，博士。研究方向：應用數學。