案例教學(xué)在常微分方程課程中的應(yīng)用研究

◎趙碧蓉

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

一、引言

常微分方程是連接理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的重要載體，它完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科，如物理、金融、自動控制等的交叉與融合我院所有的專業(yè)都開設(shè)了常微分方程課程，除了信息安全專業(yè)在大學(xué)二年級第二學(xué)期開設(shè)，其余專業(yè)均在三年級的第一學(xué)期開設(shè)該課程教學(xué)反饋顯示，學(xué)生普遍反映常微分課程理論性偏強(qiáng)，計算量偏大，導(dǎo)致相當(dāng)多的學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒，從而缺乏應(yīng)有的學(xué)習(xí)興趣與原動力，考試的不通過率較其他課程也偏高究其原因，主要有以下兩個方面：一是學(xué)生基礎(chǔ)知識較薄弱常微分方程作為數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)及解析幾何的后續(xù)課程,要求學(xué)生對大學(xué)一年級的主要課程數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的知識掌握較好我校的常微分方程課程在大學(xué)三年級的第一學(xué)期開設(shè),相當(dāng)一部分學(xué)生要么本身對兩門主課知識掌握不牢固，要么就是基礎(chǔ)理論知識有遺忘，給他們接下來的常微分方程的學(xué)習(xí)帶來不利影響二是由常微分方程課程本身的特性所決定的該課程基礎(chǔ)理論性較強(qiáng)，比如課程的核心定理——解的存在唯一性定理為了證明該定理，教材將其拆解為五個命題來證明，其中所涉及的無窮級數(shù)和函數(shù)列的一致收斂性知識點本身也是數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)難點這足以體現(xiàn)常微分方程具有一定的理論深度和邏輯性又如解對初值的連續(xù)依賴性和可微性問題，要想將抽象的定理講解得簡潔、清晰、有趣而又不失理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，這需要教師自身具有一定的科研基礎(chǔ)和知識儲備此外，廣州大學(xué)作為地方性高校，學(xué)生普遍存在基礎(chǔ)理論功底較弱的問題因此，常微分方程課程的教學(xué)往往陷入 “教師難教，學(xué)生難學(xué)”的困局如何破解這種困局是該課程教學(xué)改革需要認(rèn)真思考和解決的問題

事實上，常微分方程是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相互交叉、滲透與融合的課程，其應(yīng)用領(lǐng)域涉及自動控制系統(tǒng)、金融與經(jīng)濟(jì)、社會管理等典型的模型，如動力系統(tǒng)中的傳染病模型、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的多智能體系統(tǒng)等，都可以用常微分方程來描述與刻畫在教學(xué)中教師若能適時恰當(dāng)?shù)匾氲湫偷哪Ｐ桶咐焉钪械膶嶋H案例作為教學(xué)素材，結(jié)合對案例的研究、分析、推導(dǎo)過程將抽象的數(shù)學(xué)理論知識巧妙引出，就會使學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識時不被枯燥的概念、定理和煩瑣的計算所困擾，讓學(xué)生體驗到抽象的數(shù)學(xué)理論其實是可以被應(yīng)用到具體的模型案例中的，這將極大地提高常微分方程理論的直觀性與實用性，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣我們所做的教學(xué)調(diào)研反饋顯示，學(xué)生也普遍希望課堂理論教學(xué)中能夠更多地結(jié)合工程實踐的應(yīng)用背景知識因此，在不改變現(xiàn)有教學(xué)體系的前提下，要想優(yōu)化常微分方程課程的教學(xué)模式和教學(xué)手段，在課堂教學(xué)中融入實際案例分析，借此提升常微分方程課程教學(xué)的效果與魅力，需要教師提高自身教學(xué)的科研能力和革新教學(xué)理念常微分方程具有廣泛的自然科學(xué)與社會科學(xué)的應(yīng)用背景，本文主要探討案例教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的實踐問題案例教學(xué)起源于哈佛大學(xué)開設(shè)的情景案例教學(xué)課，是指在教學(xué)中以案例為中心展開分析和討論，以案例為導(dǎo)向和驅(qū)動力的教學(xué)方法案例的驅(qū)動作用要求在常微分方程教學(xué)中，案例的選擇一定要有針對性、典型性、生動性，它必須是現(xiàn)實生活能夠接觸到的動態(tài)系統(tǒng)模型，這樣的模型案例才有說服力和吸引力而且，建模的過程不能過于煩瑣，難易程度要適應(yīng)學(xué)生理解知識的進(jìn)度和認(rèn)知的深度，選擇和設(shè)計出大部分學(xué)生都可理解接受的常微分方程模型，利用常微分方程知識求解模型并對得到的結(jié)果對實際問題進(jìn)行解釋、預(yù)測和驗證等，讓學(xué)生認(rèn)識到常微分方程在解決具體問題中的作用，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性

二、常微分方程典型案例分析

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生需要掌握的常微分方程主要包括一階方程、高階線性方程以及線性方程組2015年以前教學(xué)時長為72學(xué)時，之后壓縮為64學(xué)時由于課時比較緊張，教學(xué)中涉及的教學(xué)案例不能保證面面俱到，對案例的選擇尤為關(guān)鍵案例服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容，甄選應(yīng)遵循真實性、典型性和可延展性原則以下針對教學(xué)內(nèi)容，對所選的具體案例進(jìn)行解讀和分析

1Malthus人口模型及其拓展模型案例分析

Malthus基于人口出生率為常數(shù)于1798年提出的人口模型為：

(1)

(2)

其中表示自然資源和環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)，其解為

且有

顯然Logistic模型比Malthus人口模型更符合實際，但方程(分離變量方程或非線性方程)變得更復(fù)雜了，這也反映了在建模的時候需要考慮實際情況和方程的可解性之間的平衡關(guān)系除此之外，課堂上還可以提及更一般的隨機(jī)人口模型

(3)

其中()是時刻的人口相對增長率若()受到周圍隨機(jī)環(huán)境噪聲的影響，即有

()=()+，

若為高斯白噪聲高斯白噪聲可以表示為

其中{(),≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動這樣，式(3)可以表示為

(4)

式(4)是簡單的人口增長模型在環(huán)境噪聲干擾下的隨機(jī)模型隨機(jī)常微分方程是常微分方程的延伸，在金融數(shù)學(xué)和隨機(jī)控制中應(yīng)用廣泛，教學(xué)中結(jié)合這些模型，能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和提高學(xué)習(xí)的原動力，也能讓學(xué)生更直觀立體地感知抽象理論與具體應(yīng)用的銜接，借此顯示數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的具體過程，在潛移默化中提升學(xué)生解決問題的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生感覺常微分方程不再是枯燥、煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而是很有趣的

三、線性微分方程組(運(yùn)動軌跡)模型案例

該章節(jié)教學(xué)的難點是方程的維數(shù)由一維擴(kuò)展到高維，這也給課堂教學(xué)帶來一定的壓力因此在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡x擇高維的實用性案例就顯得十分關(guān)鍵二維空間的例子很好感知，教師可以用昆蟲爬行為例展開教學(xué)一只甲殼蟲在二維空間平面內(nèi)爬行，初始位置為(1,0)點，蟲子在點(,)沿軸正向的速率為4-3，環(huán)境擾動為()=sin，沿軸正向的速率為2-，環(huán)境擾動()=-2cossin，試確定甲殼蟲爬行軌跡的參數(shù)方程

圖1 蟲子爬行的軌跡

這是一個非常貼近實際的教學(xué)素材，有基本的建模知識就可以知道，假設(shè)時刻甲殼蟲所處的位置為((),())，由已知條件和上述假設(shè)可建立如下的常微分方程組

(5)

從而得到蟲子的運(yùn)動軌跡為

此案例的分析和求解過程將代數(shù)知識和常微分方程求解完美地串聯(lián)起來，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)課程之間的交叉和融合

四、電路系統(tǒng)模型案例

本學(xué)期有一節(jié)課所用的教室的前一節(jié)課剛好是機(jī)械與電氣工程學(xué)院的電路課，課件做得非常精美，下課后很多學(xué)生圍著教師提出疑問，我想這樣的課堂一定是生動而有趣的但任課教師卻很無奈地告訴我，學(xué)生問的其實都是數(shù)學(xué)方面的問題,他們這方面的基礎(chǔ)太薄弱由于我以前沒有接觸過電路課程，便饒有興趣地翻看了這節(jié)電路課的課件，發(fā)現(xiàn)電路系統(tǒng)在時域中就是用常微分方程或常微分方程組來描述的而課程設(shè)置上，機(jī)械與電氣工程學(xué)院并未開設(shè)此課程，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中雖包含常微分方程內(nèi)容，但課時非常有限，教科書給出的實際問題的素材也少因此在這部分的教學(xué)中，本人根據(jù)自己的專業(yè)知識，將自動控制理論中的定常線性系統(tǒng)模型引入教學(xué)中，課堂反饋顯示，無論是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，還是機(jī)械與電氣工程學(xué)院的學(xué)生，對常微分方程能在應(yīng)用性學(xué)科中得到運(yùn)用都表現(xiàn)出很高的興趣和學(xué)習(xí)熱情，這也促進(jìn)了常微分方程與其他學(xué)科的深入融合下面將通過具體模型案例來解讀數(shù)學(xué)意義上的通解和特解在實際工程中的含義線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

即

五、結(jié)束語

基于案例教學(xué)的直觀性、現(xiàn)實性和趣味性，本文以人口預(yù)測模型、質(zhì)點運(yùn)動軌跡模型和電路系統(tǒng)作為典型案例,闡述案例教學(xué)在提升常微分方程課堂教學(xué)效果的重要意義在教學(xué)實踐中，教師要善于利用與所學(xué)方程相匹配的案例，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的生動性、實用性，拉近課堂與實際生活的距離，將抽象的數(shù)學(xué)理論知識具體化、形象化，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)理論知識與現(xiàn)實的聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性和主動性