數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎劉亞軍

(甘肅省天水石馬坪中學(xué)，甘肅 天水 741000)

數(shù)學(xué)是一門實用性非常強的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識可以解決實際生活中的一些問題同時，數(shù)學(xué)知識也是難度較大的學(xué)科，尤其是步入初中之后，作為小學(xué)與高中的銜接，初中數(shù)學(xué)知識在難度上有一個較大的跨越，很多學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還會比較輕松，但隨著時間推移就會越發(fā)的力不從心到了這個時候，正確的解題方式就顯得尤為重要數(shù)形結(jié)合本就屬于一個高效解題思維，它可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化通過圖表形式表達(dá)問題含義，可以加強學(xué)生的邏輯能力，深化對問題的思考

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的作用

(一)促進學(xué)生發(fā)展思維能力

學(xué)生步入初中后，整個數(shù)學(xué)知識的難度加深，問題也變得越來越復(fù)雜，學(xué)生在解題時會出現(xiàn)力不從心的現(xiàn)象在初中數(shù)學(xué)解題中使用數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生簡化難度較大的數(shù)學(xué)問題數(shù)形結(jié)合思想簡化問題主要表現(xiàn)在數(shù)量之間的關(guān)系，以及圖形之間能夠互相補充和轉(zhuǎn)化

將數(shù)形結(jié)合思想運用在解題中，可以提升學(xué)生的審題能力以及答題思維，并在一定程度上增強學(xué)生的觀察力和注意力對此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該持續(xù)向?qū)W生傳輸數(shù)形結(jié)合思想，不斷發(fā)展其數(shù)學(xué)思維

(二)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)問題難度大是影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的主要因素之一為了改變這一現(xiàn)象，教師在教學(xué)數(shù)學(xué)知識時應(yīng)該主動使用數(shù)形結(jié)合思想，利用該思想引起學(xué)生注意力，讓學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尋找樂趣，同時降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，讓學(xué)生主動接受數(shù)學(xué)知識，進而提升整體學(xué)習(xí)質(zhì)量

解決數(shù)學(xué)問題時，在解題思路中加入數(shù)形結(jié)合思想，能夠讓學(xué)生感受不一樣的體驗，同時也會促使學(xué)生主動與教師和同學(xué)探究相關(guān)問題，激發(fā)自身學(xué)習(xí)欲望，提高學(xué)習(xí)激情，強化學(xué)習(xí)質(zhì)量，完成教學(xué)目標(biāo)

二、數(shù)形結(jié)合解題思想在初中數(shù)學(xué)中的初步應(yīng)用

(一)有理數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有理數(shù)是其中相對來說比較重要的一部分內(nèi)容在進行有理數(shù)教學(xué)時，教師可以結(jié)合數(shù)形思想，利用數(shù)軸的形式進行表達(dá)，使其在數(shù)與形之間進行有效轉(zhuǎn)換，以此幫助學(xué)生更好了解與數(shù)軸相關(guān)的知識另外，數(shù)軸不僅可以幫助學(xué)生掌握有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念，還能在數(shù)軸上進行數(shù)字的大小比較在學(xué)習(xí)有理數(shù)時，數(shù)軸還可以使用在解題方面實際上，數(shù)軸已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要輔助工具，靈活使用數(shù)形結(jié)合思想，能夠使數(shù)學(xué)問題變得更加簡單化

(二)問題分析中的應(yīng)用

初中階段的學(xué)生不管是在思維上還是認(rèn)知能力上都遠(yuǎn)超小學(xué)階段，并且有了較大進步，他們可以憑借自己的思維模式獨立面對并解決一些數(shù)學(xué)問題，對問題進行分析，并抓住其中的重點內(nèi)容進行解答在圖形認(rèn)知上，他們有一定的把握，小學(xué)時期的學(xué)習(xí)也為其奠定了基礎(chǔ)在這樣的情況下，當(dāng)初中教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，就可以全面發(fā)揮這種教學(xué)優(yōu)勢，并合理應(yīng)用他們已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)的圖形意識，實現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的圖形轉(zhuǎn)化，同時與數(shù)學(xué)知識建立相關(guān)聯(lián)系，這非常有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力尤其是在教學(xué)一元一次函數(shù)的圖形以及平面直角坐標(biāo)系中，使用數(shù)形結(jié)合思想能夠起到非常大的作用

(三)應(yīng)用題的應(yīng)用

除了上述兩點之外，應(yīng)用題在初中教學(xué)中的占比也相對較大在分析應(yīng)用題時能夠發(fā)現(xiàn)初中學(xué)生學(xué)習(xí)中的漏洞，還能了解學(xué)生是否缺失應(yīng)用能力為了解決學(xué)生應(yīng)用題解決能力較弱的現(xiàn)象，教師可以在教學(xué)過程中引入數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生學(xué)會使用數(shù)形結(jié)合思想真正解決數(shù)學(xué)問題，從而提升自己的應(yīng)用題解決能力

三、利用數(shù)形結(jié)合思想強化學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

(一)數(shù)形結(jié)合思想——利用數(shù)軸解決問題

不等式問題可以通過數(shù)軸的形式加以解決在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式也是一個相對較為重要的知識內(nèi)容，主要教學(xué)目的是使學(xué)生獨立解決一元一次不等式，并使用數(shù)軸形式表達(dá)出不等式的集，這是典型的數(shù)形結(jié)合問題在解答一元一次不等式的問題時，首先要注意未知數(shù)的前面為負(fù)系數(shù)時，要改變不等式符號的方向；其次，帶等于符號的不等式用實心點表示，反之用空心點表示

比如：不等式-2≤<1的解集可以通過哪個數(shù)軸表示？( )

如上圖，在解答不等式解集時，為了更加清楚的在數(shù)軸上找到不等式的解集，主要觀察后面的式子為空心，以前面式子方向為準(zhǔn)，此題選擇A

除了使用數(shù)軸解決這一問題，還能通過數(shù)軸的形式解決中位數(shù)和眾數(shù)的問題按照從小到大的次序依次將變量排好，處于該數(shù)軸正中間的數(shù)就是中位數(shù)，而出現(xiàn)次數(shù)最多的變量就是所謂的眾數(shù)這也是數(shù)學(xué)中較為多見的概念中數(shù)只需要排列數(shù)據(jù)，而眾數(shù)則要進行統(tǒng)計，學(xué)生通過數(shù)軸理解兩個數(shù)的含義更明了

(二)數(shù)形結(jié)合思想——通過直角坐標(biāo)系解決問題

函數(shù)貫穿了整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，其中包括一次函數(shù)、二次函數(shù)等一系列函數(shù)內(nèi)容同時，函數(shù)也是一個較為復(fù)雜的知識，解題時需要學(xué)生具備較強的邏輯性思維，使用的解題方式多數(shù)是數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)問題時要繪制出相關(guān)的函數(shù)圖像，從而使原本較為復(fù)雜的問題簡單化、形象化，同時還要了解函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的作用，另外教師在教學(xué)過程中還要引導(dǎo)學(xué)生了解什么是函數(shù)關(guān)系以及函數(shù)的類型，要求學(xué)生一看到題目就能了解該題型是什么類型的函數(shù)問題，即使問題中沒有自帶函數(shù)圖形，學(xué)生也可以根據(jù)函數(shù)類型繪制出相關(guān)的函數(shù)圖像，解決數(shù)學(xué)難題

圖1

在解答相關(guān)類型的問題時，有4個關(guān)鍵點，其一，觀察開口方向；其二，觀察對稱軸；其三，觀察定點坐標(biāo)；其四，觀察特殊點本題雖然沒有告知的系數(shù)，但通過題干了解到=+3與軸相交，那就可以知道為(0,3)，過點且平行于軸的直線為=3；另外，=3上三個點的縱坐標(biāo)相同，以此推算出和分別為(-3,3)、(3,3)，從而計算出最終答案為6

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是非常重要的內(nèi)容，不僅是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，更是其中的難點函數(shù)自身就是一個純代數(shù)意義的概念，有很多可以用來表示函數(shù)的方法，比如，列表法、解析法等，但這些表示方法很難為學(xué)生帶來直觀的感受，更無法幫助學(xué)生理解知識在這樣的形式下，只會加大函數(shù)的學(xué)習(xí)難度但將圖形結(jié)合運用其中，必然會取得事半功倍的效果

如，求方程--1=0的解

方法一：利用一元二次方程的求根公式進行解答

方法二：變形題目中給予的方程式=+1，之后繪制出函數(shù)圖像(圖2)：=+1與=，需要求出的方程的解就是兩個函數(shù)圖像的交點

圖2

(三)數(shù)形結(jié)合思想——使用圖形解決實際問題

圖形可以解決以上問題，還可以解決概率問題，可以利用繪制樹形圖的形式簡化數(shù)學(xué)問題

圖3

另外，通過數(shù)形結(jié)合還能解決與三角形相關(guān)的問題，在使用數(shù)形結(jié)合解答三角形問題時，最關(guān)鍵的是將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題

比如，一個晾衣架的支架長度都為108厘米，∠為59°，請問晾衣架兩個支架點的距離為多少？(保留一位小數(shù))

結(jié)合圖4，可以知道△是一個等腰三角形，過點，做的垂直交于，因此為三角形的中線，在直角△中，解出，則=2=2sin∠=1123厘米最后需要注意的是要作答，因為該題是應(yīng)用題

圖4

初中階段的數(shù)學(xué)題相對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)題來說，難度更大，題目給出的條件相對復(fù)雜為了能夠有效解決數(shù)學(xué)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的方式尋找問題的突破口

比如，如圖5所示，一名安裝工人站在梯子上準(zhǔn)備為房子的天花板安燈，已知天花板與地面之間的高度為29米，梯子的兩個矩形面的長由六條踏板將其分成了七分，兩個梯腳之間的長度為1米(固定)，矩形面與地面之間的夾角為78°假如安裝師傅的身高為178厘米，要想保證整個安裝過程師傅的狀態(tài)最舒服，天花板與師傅頭頂之間的距離要保持在005～020米此刻安裝師傅站在第三個安裝梯的踏板上，是否符合安裝方便的條件？

圖5

教師可以使用數(shù)形結(jié)合的方式，將應(yīng)用題的意思進行展示，如圖6所示，這樣學(xué)生就可以在短時間確定解題思路數(shù)形結(jié)合思想要結(jié)合不同的問題，進行合理運用，才能有效提高解題的效率和質(zhì)量另外，教師在引導(dǎo)學(xué)生解題時，還要嘗試將數(shù)學(xué)題與實際生活結(jié)合，鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力

圖6

(四)數(shù)形結(jié)合思想——解決比較字母大小的問題

一般來說，可以使用函數(shù)圖像或者是數(shù)軸的方式比較字母之間的大小關(guān)系，但這樣的方式相對來說比較麻煩有些字母大小的問題可以通過函數(shù)與方程之間的關(guān)系，使用數(shù)形結(jié)合的方式進行解決

比如：,是方程(-)(-)=1(<)的兩個根，且<，請問實數(shù),,,之間的大小關(guān)系：________

解析：已知與是方程(-)(-)=0的兩個根，那么可以將其看作拋物線=(-)(-)和軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，而(-)(-)=1的根可以看作是=(-)(-)-1這一拋物線和橫軸兩個交點的橫坐標(biāo)將=(-)(-)向下平移1個單位，則可以得到=(-)(-)-1，如圖7所示，最終得出<<<

圖7

結(jié)束語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中占據(jù)非常重要的位置，因此，教師在傳授數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容時，也要注意引導(dǎo)學(xué)生對一些可以使用數(shù)形結(jié)合思想的問題進行探究，讓學(xué)生在問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的價值，從而轉(zhuǎn)化成自己的解題價值觀，主動使用數(shù)形結(jié)合思想解決更多的數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)習(xí)效率，進一步提升數(shù)學(xué)成績