一維晶格中全同任意子的量子動力學與關聯*

王利 賈麗芳 張云波

1) (山西大學，理論物理研究所，量子光學與光量子器件國家重點實驗室，極端光學協同創新中心，太原 030006)

2) (浙江理工大學理學院物理系，光場操控省重點實驗室，杭州 310018)

1 引言

量子行走[1，2，3]是經典隨機行走的量子力學拓展，是當前物理學前沿重要的研究課題.目前，物理學家已經在許多重要的實驗平臺中實現和觀測了量子行走[4]，如超冷原子系統[5、6]、單光子系統[7，8]、超導量子比特系統[9-11]、耦合光波導系統[12]、核磁共振系統[13]、囚禁離子系統[14]等.量子行走以其系統的簡潔性與物理的深刻性，吸引了當今物理學家廣泛的研究興趣，現在已經逐漸成長為極為重要的研究和模擬少體量子動力學的理論框架和實驗平臺.除了在量子搜索算法設計[15]、量子計算[16]、量子信息[17，18]等方面具有巨大的應用潛力之外，它已經在方方面面展示了自己的獨特物理價值，如可以用來探測拓撲態[19，20]，可以用來實驗觀測非布洛赫拓撲不變量[21]，還可以用于精密測量[22，23]等.此外，國內外研究人員還考察了無序[24，25]、缺陷[26]、量子統計[27、28]，相互作用[29-32]以及躍遷調制[33-35]等基本物理因素在量子行走動力學中的新奇效應.

目前，有關量子行走的研究工作大多專注于單粒子或兩粒子系統.最近有工作基于量子行走框架分別研究了三個玻色子和三個費米子的非平衡動力學[36].相比于兩體系統，三體系統有望展示出量子多體效應，因此該工作將量子行走相關研究推進到了真正的量子多體范疇.在此基礎上，本文進一步基于三粒子量子行走來研究全同任意子的量子動力學性質.任意子是玻色子、費米子的統計學推廣[37-39].眾所周知，當交換兩個費米子時，量子多體波函數會出現一個負號，而交換兩個玻色子時，波函數則不變號.任意子則對應更一般的情形，當兩個任意子交換時，量子多體波函數會產生一個分數相位因子 e xp(iχπ) .容易看出:當χ=0 時，對應玻色統計;當χ=1 時，對應費米統計;當 0＜χ ＜1時，則對應奇特的任意子分數統計.任意子不是憑空想象，它具有真實的物理對應，如分數量子霍爾態表面激發的準粒子就是一種任意子[40]，最近也有新的實驗對任意子進行了觀測[41，42].分數統計還是拓撲量子計算的決定性基礎[43].然而分數統計的深刻物理內涵仍待廣泛和深入的挖掘研究.本文基于量子行走框架，研究了分數統計對任意子少體量子動力學的影響，并進一步研究了分數統計與相互作用的競爭合作導致的綜合物理效應.最后，計算并分析了三任意子量子態演化過程中的密度密度關聯性質.

2 理論模型與研究方法

處于一維晶格中的全同任意子，在緊束縛近似下可由如下Anyon-Hubbard 模型哈密頓量描述:

其中J是最近鄰格點間躍遷振幅，在進行數值模擬時通常取為能量單位;U是同一格點上粒子間的相互作用強度;是任意子在l格點上的產生(湮滅)算符;是任意子的粒子數算符.

對一維系統，不同格點l，k上的任意子產生湮滅算符滿足如下廣義對易關系:

式中χ是表征全同粒子統計性質的統計參數;ε(x)表示符號函數，根據x是正數、負數還是零三種情況分別給出值1，—1，0.由(2)式的廣義對易關系可知，當χ=0 時，產生湮滅算符就是玻色子算符，當χ=1 時，產生湮滅算符就是費米子算符.在這二者之間，當 0＜χ ＜1 時，則對應滿足分數統計的粒子.對于同一格點上的對易關系，存在兩種定義方式[44-46]，這里采用與文獻[44，45]一致的做法，即.這表明，當粒子在同一個格點上時，粒子的行為等同于玻色子.在此定義下，當χ減少到零時，任意子可以平順地回到玻色子極限.而當χ增加至1 時，任意子過渡到贗費米子極限[47，48]:不同格點間滿足反對易關系，但同一格點上為玻色對易關系.

進一步，借助于fractional Jordan-Wigner 變換，Anyon-Hubbard 模型(1)式可以嚴格映射為一個玻色型的哈密頓量:

此外，研究了三任意子量子態在時間演化過程中的關聯性質，數值計算了任意子的兩體關聯函數，也即密度密度關聯函數，其具體表達式為

本文著重圍繞三粒子量子初態|ψ(t=0)〉=展開具體研究和分析.該量子初態中，三個任意子彼此緊挨，粒子間彼此影響最強[6，36]，因而上述密度依賴的躍遷過程的物理效應最明顯，能夠更好地觀測全同粒子分數統計因子在少體量子動力學過程中的物理效應.此外，本文針對一些不同的量子初態進行了數值模擬.研究發現，數值結果中展示的關鍵物理與上述初態一致，只是相應物理效應在局域密度分布演化圖中不如正文所示明顯.附錄A 展示了其他量子初態中的一個例子.

3 三任意子量子行走及其量子關聯

考慮長度L=101 的一維晶格系統，標記其中心格點為0，則左右邊界格點分別為—50 和50.此外，在以下TEBD 計算過程中均采用開邊界條件.

首先，研究統計參數χ取不同值和在不同的在位相互作用強度U下，三個全同任意子從上述量子初態出發在一維晶格中的時間演化過程.對應此動力學過程，任意子局域密度分布的TEBD 計算結果如圖1 所示.從左到右各列，統計參數的取值分別為0，0.25，0.5，0.75，1.從上到下各行，相互作用強度取值為0，—1，—4，—80.第一列對應玻色子極限，中間三列對應具有分數統計的粒子，最后一列則對應贗費米子極限.對于無相互作用玻色系統，三個粒子的動力學過程具有大家熟知的量子行走行為.如圖1(a)所示，粒子作線性傳輸，波前的速度接近2.而當統計參數χ的取值逐漸增大時，在原有錐形結構內部會出現新的錐形結構.最外層的錐形結構一直存在，速度不變，內部的錐形結構會隨χ值增加而逐漸收緊，這表明內部錐形對應的粒子傳輸速度越來越慢，如圖1(b)—(e)所示.可見，單純的量子統計性質就可以明顯影響粒子的動力學行為，粒子統計具有明顯的量子動力學效應.粒子間的在位相互作用同樣可以使得最初的錐形結構內部出現新的錐形結構，如圖1(f)和圖1(k)所示.而當在位相互作用強度非常大以至趨于硬核極限時，相互作用效應會覆蓋掉統計參數的影響.

粒子的統計性質除了可以對三任意子的量子動力學施加上述細節的漸進的影響外，觀察圖1 中的各圖，仔細對照可以看到一個非常有趣的現象.在分數統計區域，即 0＜χ ＜1 的參數區間，當存在有限大小的在位相互作用時，可以看到任意子的局域密度分布在隨時間演化過程中出現了一種明顯的不對稱性，這是任意子分數統計的一種量子動力學效應，見圖1(g)—(i)和圖1(l)—(n).而在無相互作用時(圖1 第一行)、在玻色極限(圖1 第一列)以及贗費米子極限(圖1 最后一列)下，則沒有上述動力學不對稱性，粒子的局域密度分布在動力學過程中始終保持對稱.進一步可以看到，強的在位相互作用也會抑制這種分數統計效應，使粒子的局域密度分布動力學演化過程恢復對稱，如圖1(p)—(t)所示.

圖1 三任意子在一維晶格中局域粒子密度分布的時間演化過程.晶格尺寸為 L=101 .從左至右各列對應的統計參數χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應的相互作用強度U 的取值為0，—1，—4，—80Fig.1.Dynamical evolution of the local density distribution of three identical anyons among one-dimensional lattices of L=101 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

為了更清晰地揭示這種有趣的不對稱性，圖2給出了系統動力學演化過程中在時刻tc=22 的任意子的局域密度分布曲線.觀察圖1 各圖可以看到，在tc=22 時刻，任意子量子態的波前距離晶格邊界仍然有足夠距離，故而可以不計邊界的影響，主要關注晶格體內的部分.同時，在此時刻，三任意子的量子初態的動力學演化也已經足夠充分，其在一維晶格中的分布范圍已經比較大.圖2第一行對應無相互作用的自由粒子系統，可以看到，隨著統計參數χ的增加，任意子局域密度分布中兩側的峰值會壓低，內部區域的粒子局域密度逐漸抬高.不過，在統計參數χ的整個變化過程中，任意子的局域密度分布一直保持對稱.圖2 中第二行，對應的任意子系統中存有在位相互作用，相互作用的強度U為—1.圖2(g)—(i)對應粒子具有分數量子統計的情形，容易看出，任意子的局域密度分布呈現出清晰的不對稱性;吸引相互作用時，粒子局域密度分布總體偏向左側一方.而圖2(f)和圖2(j)分別對應玻色子極限以及贗費米子極限，它們的局域密度分布仍然與初態一樣保持對稱.進一步計算了排斥相互作用的情形，見圖2(k)—(o)，圖中給出了在位相互作用強度為1 的TEBD 計算結果.可以看到，排斥相互作用下，具有分數量子統計的粒子在動力學演化過程中其局域密度分布也是不對稱的.更為有意思的是，任意子在一維晶格中的局域密度分布的這種不對稱性對在位相互作用的性質是敏感的.在排斥相互作用和吸引相互作用這兩種情形下，任意子在晶格中的局域密度分布在總體上的偏向是相反的.與其他研究工作[47，48，50]給出的動量空間中的不對稱性不同，這里展示的是任意子在動力學過程中表現出的實空間的不對稱性，而且這種實空間中分數統計導致的動力學不對稱效應敏感地依賴于相互作用性質，排斥相互作用下與吸引相互作用下的結果不同.對比觀察圖2(f)—(j)與圖2(k)—(o)可見，如果將排斥相互作用下的任意子局域密度分布空間反演一下，可以得到吸引相互作用下的任意子局域密度分布.鑒于此特點，在圖1 和圖3 中只給出了吸引相互作用，即U≤0 下的結果.

圖2 不同量子統計及不同在位相互作用下，任意子于時刻 t=tc=22 在一維晶格中的局域密度分布.從左到右，統計參數χ 取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應的相互作用強度U 的取值為0，—1，1Fig.2.Local density profiles of anyons among the whole lattice at time t=tc=22 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes values 0，—1，1，respectively.

現在分析三任意子量子行走過程中量子關聯性質.基于(6)式利用TEBD 方法計算任意子的兩體關聯函數，即密度密度關聯函數.密度密度關聯函數是刻畫粒子間關聯性質的重要物理量，它可以非常直觀地反映多個粒子在晶格中運動時的聚束(bunching)或反聚束(anti-bunching)的統計行為.粒子共同行走(co-walking)與獨自行走(individual walking)對應的密度密度關聯函數具有顯著不同的特征，因而可以方便地分析粒子的共同性(togetherness).

圖3 給出了tc=22 時刻，在不同的量子統計以及不同的在位相互作用強度下任意子的密度密度關聯函數計算結果，圖3 中每個子圖都用各子圖相應的最大值進行了重新標度.圖3 中各子圖的物理參數與圖1 各子圖對應相同.圖3(a)對應熟悉的無相互作用玻色子系統，可以看到，關聯函數的峰值(色值最大區域)出現在對角線上，兩個最大峰值分處中心格點0 的兩側.這是玻色統計的典型特征，玻色子間存在等效的統計吸引，粒子傾向于聚集在一塊，共同運動，表現為聚束效應.圖3(b)對應統計參數χ=0.25，對比圖3(a)可以看出，粒子的統計性明顯改變了粒子的關聯函數的結構.全同粒子關聯函數的峰值仍然出現在對角線上，但是峰值位置與中心格點0 的距離明顯變小.關聯函數的值主要分布在對角線及對角線兩側的次對角線以及次次對角線上，這是粒子共同行走的標志.以圖3(b)和圖3(d)為例，各自的內插圖展示了密度密度關聯函數在對角線及對角線兩側次對角線上的分布.通過時間點的對照，可知圖3(b)關聯函數對角線的部分對應圖1(b)中的內部錐形結構，這說明圖1(b)中內錐形結構是量子行走中共同行走的成份.由此可知，統計參數χ增大主要影響的是量子行走中共同行走的那部分粒子，使之速度變慢.依據密度密度關聯函數結構可知圖1(c)—(e)中外層錐形結構對應的是單粒子量子行走，它們的運動過程不受統計參數χ的影響，速度保持不變.圖3(c)—(e)與圖3(b)的行為類似，隨著統計參數χ增加，共同行走的部分速度越來越慢，體現在密度密度關聯函數上就是 對角線上的峰值越來越向中心格點0 靠攏.當在系統中引入相互作用時，由圖3(g)—(i)和圖3(l)—(n)可以看到具有分數統計的任意子在實空間中的密度密度關聯函數的結構呈現出了奇特的不對稱性.當U＞0，粒子間為排斥相互作用時，關聯函數同樣會出現這種不對稱性，且不對稱性的偏向與吸引相互作用相反，進一步印證了圖2 中給出的任意子動力學不對稱性.當在位相互作用強度非常大時，系統接近硬核極限，玻色系統成為硬核玻色系統，此時密度密度關聯函數呈現出反聚束效應，見圖3(p).進一步，極強的相互作用會抑制掉分數統計的效應，此時不同統計參數下的密度密度關聯都展示出與硬核玻色子類似的反聚束現象且關聯函數結構恢復了對稱性，如圖3(q)—(t)所示.

圖3 三任意子量子行走過程中的密度密度關聯Fig.3.The density-density correlations ，圖中對應時刻為 t=tc=22 .從左至右各列對應的統計參數χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應的相互作用強度U 的取值為0，—1，—4，—80 of the three identical anyons at time t=tc=22 .From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

4 結論

本文基于三粒子量子行走的理論框架研究了全同任意子在一維晶格中的少體量子動力學行為和量子關聯性質，著重分析了任意子的分數量子統計與粒子間在位相互作用在實空間中的動力學效應.借助于嚴格數值計算TEBD 方法，計算了任意子系統從三粒子量子初態出發隨時間演化過程中的局域密度分布特點.研究發現，對于無相互作用的自由粒子情形，粒子的統計性質可以顯著地影響粒子的動力學行為，任意子共同行走的部分會隨統計參數變大而變慢，而非共同行走部分速度不受統計參數影響.特別地，當存在有限大小的相互作用時，粒子分數統計會導致粒子的局域密度分布在隨時間演化過程中出現明顯的動力學不對稱性，而且這種有趣的不對稱性對相互作用是敏感的.排斥相互作用與吸引相互作用下，粒子密度分布的演化過程都會出現不對稱性，但具有相反的偏向.最后，計算了三任意子在動力學演化過程中密度密度關聯，分析了分數統計對粒子關聯性質的影響.量子關聯函數的結構分析進一步證實了上述不對稱性及其對相互作用性質的敏感性.

附錄A

正文中研究了任意子的少體量子動力學，著重分析了任意子的分數統計性質對三體任意子量子初態的動力學演化結構的影響.主要基于三體量子初態|ψ(t=0)〉=對物理效應進行展示和分析.上述量子初態中，三個任意子相互鄰近.此種情形下，依賴于鄰近格點上粒子占據數的躍遷過程具有明顯的物理效應.此外，在研究過程中，對其他的一些量子初態也進行了相應的TEBD 數值模擬.如研究了一系列粒子間具有不同間隔的三任意子量子初態的動力學演化過程，分析了分數統計與相互作用的競爭合作關系.在本附錄中，給出其中一個例子，見圖A1.圖中相應的量子初態為，即任意子之間存在一個格點的間隔.

圖 A1 三任意子態在一維晶格中動力學演化過程.晶格尺寸為 L=101 .從左至右各列對應的統計參數χ 的取值為0，0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應的相互作用強度U 的取值為0，—1，—4，—80Fig.A1.(Color online) Dynamical evolution of the three-anyon state among one-dimensional lattices of L=101.From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes value 0，—1，—4，—80，respectively.

圖 A2 不同量子統計及不同在位相互作用下，任意子于時刻 t=tc=9 在一維晶格中的局域密度分布.任意子的量子初態為.從左到右統計參數χ 取值為0 0.25，0.5，0.75，1.從上至下各行對應的相互作用強度U 的取值為0，—1，1Fig.A2.Local density profiles of anyons among the whole lattice at time t=tc=9.The initial state is chosen as.From left to right，the statistical parameter χ is set to be 0，0.25，0.5，0.75，1.From top to bottom，the on-site interaction strength U takes values 0，—1，1，respectively.