設(shè)而不求，速解二次函數(shù)壓軸題

郭鴻金 江書婉

【摘要】 以二次函數(shù)為背景的壓軸題是全國各地中考常考的題目.而在二次函數(shù)的背景中，經(jīng)常需要求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式和聯(lián)立一次函數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式，這三個(gè)求法對(duì)于學(xué)生而言計(jì)算量都很大.本文利用“設(shè)而不求”的技巧和韋達(dá)定理例析三道中考二次函數(shù)壓軸題，讓學(xué)生體會(huì)“設(shè)而不求”與韋達(dá)定理相配合的簡便性.

【關(guān)鍵詞】 設(shè)而不求;二次函數(shù);壓軸題

例1 如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=-12x+2經(jīng)過B，C兩點(diǎn).

（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式;

（2）平移直線BC，當(dāng)直線BC與拋物線有唯一公共點(diǎn)Q時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解 （1）y=12x2-52x+2.

（2）設(shè)直線BC平移之后的直線為l.

因?yàn)橹本€l是由直線BC平移得到的，直線BC的解析式：y=-12x+2，

所以設(shè)直線l為y=-12x+b，

聯(lián)立：y=12x2-52x+2，y=-12x+b， 得

12x2-2x+2-b=0，

因?yàn)橹本€BC與拋物線有唯一公共點(diǎn)，

所以Δ=0.

所以x=-b±Δ2a=2±01，

所以x1=x2=2，

所以Q（2，-1）.

注 常規(guī)解法是利用Δ=0，求出b=0.

再次聯(lián)立解析式：y=12x2-52x+2，y=-12x，

解出x1=x2=2，最后求出Q（2，-1）.若是采用上面“設(shè)而不求”的技巧，計(jì)算量可以減少一個(gè)一元一次方程和一個(gè)二元二次方程組.

例2 如圖2，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）.連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB=2∠ACO，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

解 拋物線交y軸于點(diǎn)C（0，-3），

所以y=x2+bx-3.

將A（1，0）代入y=x2+bx-3，得b=2.

所以y=x2+2x-3.

在x軸上取A′（0-，1），連接A′C，過點(diǎn)A作AH⊥A′C，交A′C于點(diǎn)H，

因?yàn)锳′O=AO，∠A′OC=∠AOC，OC=OC，

所以△A′OC≌△AOC，

所以∠ACO=∠A′CO，

所以∠PAB=2∠ACO=∠A′CA，

因?yàn)锳′O=AO=1，OC=3，

所以A′C=10，

因?yàn)锳′A·OC=AH·A′C，

所以AH=3510.

所以HC=4510.

所以tan∠PAB=tan∠A′CA=AHCH=34.

所以設(shè)直線AP1的解析式為y=-34x+b1，

直線AP2的解析式y(tǒng)=34x+b2.

所以y=x2+2x-3，y=-34x+b1，

y=x2+2x-3，y=34x+b2，

得x2+114x-（3+b1）=0，①

x2+54x-（3+b2）=0，②

由①得x1+x2=-ba=-114，

又因?yàn)閤1=1，

所以x2=-154.

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-154.

由②得x1+x2=-ba=-54，

又因?yàn)閤1=1，

所以x2=-94.

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-94.

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-154或-94.

注 常規(guī)解法是先求出直線AP1，直線AP2的解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)方程組，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).若是采用上面“設(shè)而不求”的技巧，計(jì)算量可以減少兩個(gè)一元一次方程和兩個(gè)二元二次方程組.

例3 如圖3，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0）.在拋物線上

是否存在點(diǎn)P，使∠ABP=∠BCO，如果存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由.

解 因?yàn)閽佄锞€交y軸于點(diǎn)C（0，4），

所以y=-12x2+bx+4，

因?yàn)椤螦BP=∠BCO，

所以tan∠ABP=tan∠BCO=BOCO=12，

所以在y軸上取點(diǎn)D（0，1）和點(diǎn)D′（0，-1），連接BD和BD′，交拋物線于點(diǎn)P1與點(diǎn)P2.

所以設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+1，

設(shè)直線BD′的解析式為y=k2x-1，

所以y=-12x2+bx+4，y=k1x+1，

y=-12x2+bx+4，y=k2x-1，

得-12x2+（b-k1）x+3=0，①

-12x2+（b-k2）x+5=0，②

由①得x1·x2=ca=-6，

又因?yàn)閤1=2，

所以x2=-3.

所以點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為-3.

由②得x1·x2=ca=-10，

又因?yàn)閤1=2，

所以x2=-5.

所以點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為-5.

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3或-5.

注 常規(guī)解法是求出拋物線、直線BD、直線BD′的解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)方程組，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).若是采用上面“設(shè)而不求”的技巧，計(jì)算量可以減少三個(gè)一元一次方程和兩個(gè)二元二次方程組.

通過例析以上三道中考二次函數(shù)壓軸題，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)有時(shí)候可以“設(shè)而不求”，通過求根公式、韋達(dá)定理求出一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).達(dá)到減少計(jì)算量，快速解題的目的.