APOS理論下的高三立體幾何復習建議

王娜

【摘 要】 APOS理論最早是由杜賓斯基提出的，是一種科學的建構主義理論，這種理論強調了個人的重要性，個人想要得到結果，需要以旁觀者的角色參與到活動中，能總結和反思活動的方法、內容、過程.在參與的過程中，能充分發揮自身的創造力，還能展現主觀能動性.這可看出，APOS理論充分體現了學生在學習過程中的主體性，說明學習過程是在經歷充分的總結和反思之后的結果.數學學習的重要方式和途徑是個體能夠在活動中有所經歷，通過圖式階段、對象階段來建構概念，在這其中，個體會產生抽象的思維，能夠主動反思該階段學習的過程、方法，會意識到反思的重要性. 本文以高三立體幾何復習為例，分析APOS理論在數學教學中的應用.

【關鍵詞】 APOS理論;立體幾何;高三數學

1 立體幾何復習背景分析

高三的學生已經在高二完成了立體幾何的學習，根據北京高考的實際情況，所有學生都學習了空間幾何體、空間點線面的位置關系以及利用空間向量解決立體幾何的問題.到了高三，師生們更多地關注了利用空間向量解決問題，而忽略了對學生空間想象能力的進一步培養.但是很多研究表明，學習立體幾何應重在培養學生的空間想象能力，所以，在高三立體幾何的復習過程中，還是要關注學生對于圖形的再認識，對于點線面關系的綜合認識，而后再利用空間向量作為工具來驗證結論，通過“實踐—反思—提煉—再實踐”的學習方式，利用APOS引導學生進行有效的學習，提高學生的直觀想象和邏輯推理能力.

2 “活動（Action）階段”一一建構直觀想象能力的起點

APOS理論的活動階段是指教師根據學生已有的知識經驗，合理地為學生提供感性素材，刺激他們的視覺和聽覺，并對其進行感知和轉換，在這里，“活動”不僅包括可看見的行為，還包括一些隱性的、能激發學生思維的活動.

在高三立體幾何的復習過程中，讓學生再一次重現認識的基本圖形，在圖形中發現并應用空間幾何體點線面的位置關系或者空間向量來驗證結論，這個過程就是抽象思維的操作過程.

問題1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，從棱或者面對角線、體對角線中你能得到哪些線線、線面、面面平行的關系？你能得到哪些線線、線面、面面垂直的關系？

要求學生獨立完成猜想，利用線線，線面，面面平行和垂直的判定定理、性質定理，進行完整的證明.驗證學生結論是否正確，采取了學生板演和小組討論、組間互相交換結論的方式.學生得到的結論從基本的對面的平行，側面與底面的中線線線面的平行和垂直之外，還包含著如圖2，AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面B1CD1，且線段AC1被兩個平面三等分.如圖3，AC1⊥平面EFGHIJ且平分線段AC1.

問題的設計，使學生在“活動”階段感知到了線線線面的平行和垂直，從而將學過的定理定義再現，并且進行互相轉化證明直觀感知到的結論.通過感知和證明的過程使學生把接觸到的數學對象通過一步步的外顯性操作指令進行轉換，這樣有助于學生加深對立體幾何整體性的把握.

3 “過程（Process）階段”一一對于直觀感知的反思和總結

APOS理論的“過程階段”指的是同學們在真實的操作中會初步、直觀地感知概念，這能讓他們燃起學習的熱情，他們會有強烈的學習動機.過程階段也是整理、分析、處理感性材料的階段，在這個階段中，學生會經歷聯想、想象、觀察等過程，會對所學的知識進行思考、總結、分析，將知識內化.這需要學生展示思考的過程，才能實現對問題的總體認識和反思.

問題2 如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱CC1上的一個動點，平面BED1交棱AA1于點F.則下列命題中假命題是（? ）

（A）存在點E，使得A1C1//平面BED1F.

（B）存在點E，使得B1D⊥平面BED1F.

（C）對于任意的點E，平面A1C1D⊥平面BED1F.

（D）對于任意的點E，四棱錐B1-BED1F的體積均不變.

對于問題2，利用問題1的結論，可以很快判斷出A，C，D是正確的，但是要求學生寫出嚴格的證明.尤其對于選項B，可以利用反證法，假設B1D⊥平面BED1F，從而推導出B1D⊥BD1而與題目的條件產生了矛盾.

問題3 如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點P（異于點B）是棱上一點，則滿足BP與AC1所成的角為45°的點P的個數為

對于問題3，方法1：利用問題1結論構造各棱頂點與直線AC1所成的角與450相比較，可以發現只有B1C1，C1C，C1D1上存在點P.方法2：應用空間向量設出點P在各個棱上的點坐標，利用兩條直線所成角，確定點P的位置.方法3：延長D1A1到點E，使得

D1A1=A1E，由此BE//CA1，所以，點P的軌跡在以點B為頂點，BE為軸頂角為π2的圓錐底面上.通過觀察圖形，可以發現圓錐只與B1C1，C1C，C1D1相交，故存在點P.

類似利用問題1的一些結論，可以快速的解決正方體中的一些結論，解決問題的“過程階段”是學生對問題1的操作活動進行反思和總結，通過觀察圖形、遷移到相似圖形、進行判斷，證明和總結等過程，對于立體幾何的知識內容不斷內化和壓縮，抽象解決立體幾何的基本方法.

4 “對象（Object）階段”一一學習的整合階段

APOS理論的“對象階段”是經過上面兩個階段的學習后，學生能夠在學習中形成整體思維，會獨立思考問題，成為相對獨立的個性，會運用整合、歸納、分析等思維讓兩個概念之間產生聯系但又相互獨立.[4]在學習立體幾何時，學生要對研究的立體幾何對象進行直觀感知之后的自然語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉換.

問題4 如圖6，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E為PB的中點.

求證：CE//平面PAD

問題4的解決是在前兩個階段的學習之上，讓學生熟練靈活應用立體幾何的知識來解決問題.但是在這個過程中要揭示線面平行本質，是要找尋平面PAD內的一條直線與CE平行，這條直線是過CE的平面與平面PAD的交線.這就涉及到了平面確定的問題，不共線的三點確定一個平面，兩條平行線確定一個平面.在圖6上我們可以發現直線DF與直線CE構成了一個平行四邊形，確定了一個平面，DF就是我們所尋找的交線.同理，在直線AB上任取一點G，點G在平面PAB和平面ABCD的交線上，由此EG與AP交于點K，CG與AD交于點H，HK是平面ECG與平面PAD的交線.通過引導學生確定平面，可以在平面PAD找到很多條符合條件的直線.在這個分析，總結，歸納過程中，既讓學生應用了立體幾何的基本知識，也給學生建立了如何解決問題的基本思路，培養了學生邏輯推理素養.在這基礎之上，繼續追問學生平面PAB與平面PCD的交線在哪里？與直線AD是什么位置關系？學生既可以利用剛剛應用的線線平行，線面平行的定理，也可以發現點P可以看成正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1上任意一點，如圖7，會很快找到交線的位置.當然還可以繼續在正方體中進行割補找尋更多的位置關系.

以問題4為例，對象階段學生已經不需要進行對具體問題過程的步驟進行具體分析了，而是將研究問題的整個“過程”看作一個整體，把在“過程階段”得出的立體幾何的線線、線面、面面平行結論進行分析和抽象，從而幫助學生體會立體幾何平行問題的本質，和學生共同討論和總結平行問題的解決方法，給出具體的明確的解決方案，才能形成完整的對象階段.所以，對象階段強調的是學生對一類問題的理解和總結并形成具體方案.從“過程階段”過渡到“對象階段”是需要學生從對具體的每一個問題的反思，總結，將這類問題進行歸納，建構系統的過程由過程，需要在教師的指導下，學生需要進行不斷地反思、總結，抽象，的過程.對于立體幾何中垂直關系的教學也可以這樣完成.

5 結語

總之，數學的學習是需要經歷“實踐—反思—提煉—再實踐”的過程的，這個過程與APOS理論的四個過程相吻合，所以在數學教學上應用APOS理論，使學生在學習中經歷螺旋式的建構過程，對于學生的數學素養的形成有一定的幫助.在今后的實踐中，筆者會繼續反思和優化APOS理論的四個過程，使教學過程取得更好的效果.

參考文獻：

[1]Dubinsky，E.Teaching Mathematical Inductio I[J].Journal of Mathematical? Behavior，1997（16）：187-239.

[2]喬連全.APOS理論是一種建構主義[J].全球教育展望，2001 （3）：16-20.

[3]褚艷春.如何在立體幾何中用好空間向量[J].學周刊，2011（11）.

[4]唐毽香.基于APOS理論的高中立體幾何概念教學研究[D].湖南師范大學.2016

[5]郭芳APOS理論下立體幾何線面位置關系的教學研究[D].河南大學. 2019