借數學建模之風 提升核心素養

◎吳龍澤

(華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510631)

一、問題的提出

“數學建模”雖是老話重提，但是在新課標中的地位越發顯著.它是數學學科核心素養之一，是應用數學知識解決實際問題的基本手段，是推動數學發展的外部驅動力.從現實性來看，華羅庚先生在《大哉，數學之為用》一文中說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”數學來源于生活，又服務于生活.從文化性來看，南開大學顧沛教授曾指出數學不僅包含數學思想、方法等，還包含數學史，數學與社會、各種文化等的聯系.從選拔性考試來看，近幾年高考數學建模試題比重增大，難度增加，綜合性增強，能力要求更高，突出實際應用，在高考中舉足輕重.

基于較長時間的個人觀察和感悟，通過與一線教師、教研員的交流，筆者發現學生在數學建模這一模塊的學習效果與教師的期望值有著一定的偏差，所以筆者以此為出發點，致力于研究學生在數學建模方面所表現出的特點和不足.

二、數據收集

選取2019年人教A版高中數學必修第一冊第4章的數學建模——建立函數模型解決實際問題這節課，研究內容是建立高一學生身高與體重的函數模型.在高一10個班級里隨機抽取3個班，以不記名的方式記錄每位學生的性別、身高和體重，身高單位是cm，體重單位是kg，研究對象有131人.

三、結果與分析

在分析過程中，只考慮體重與身高的關系，忽略地域、年齡等其他因素的影響.運用MATLAB數學軟件對數據進行分析.其結果如下：全部研究對象的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是184和86，最小值分別是148和36，算術平均值分別是165.2748和56.6870，幾何平均值分別是165.0828和55.8430，和諧平均值分別是164.8920和55.0474，調整平均值分別是165.2636和56.6202，回歸系數的最小二乘估計是0.3440，其95%置信度的置信區間是[0.3350，0.3531]，其散點圖如圖1所示.

圖1

根據高一學生所學函數和散點圖特點對其函數模型進行擬合，擬合結果如下：

擬合結果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，正弦型函數的擬合效果最好.

General model Fourier1:f(x)=a0+a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)

Coefficients(with 95% confidence bounds):

a0=60.57(55.05，66.09)

a1=8.642(-53.08，70.36)

b1=-6.715(-93.84，80.41)

w=0.09762(0.03779，0.1574)

其擬合后的圖像如圖2所示.

圖2

因為男生和女生的生長速度和機能有所不同，所以把研究對象131名學生按性別區分，其中男學生66名，女同學65人.分析結果如下：男同學的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是184和86，最小值分別是158和45，算術平均值分別是171.5303和62.7121，幾何平均值分別是171.4378和61.9145，和諧平均值分別是171.3451和61.1229，調整平均值分別是171.5469和62.6250，回歸系數的最小二乘估計是0.3660，其95%置信度的置信區間是[0.3524，0.3795]，其散點圖如圖3所示.

圖3

對其函數模型進行擬合，擬合結果如下：

modelGoodnessof fit f(x)=p1?x+p2f(x)=p1?x^2+p2?x+p3f(x)=p1?x^3+p2?x^2+p3?x+p4f(x)=a?exp(b?x)f(x)=a0+ a1?cos(x?w)+w)+b1?sin(x?w)f(x)=a?x^bf(x)= a?x^b+cSSE5574557055185571551355725571R-square0.15720.15770.16570.15760.16650.15750.1577AdjustedR-square0.14410.1310.12530.14440.12610.14440.1309RMSE9.3329.4039.4349.339.4299.339.404

擬合結果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，比上面全部同學的數學模型擬合效果更好，其中正弦型函數的擬合效果最好.

General model Fourier1:f(x)=a0+a1*cos(x*w)+ b1*sin(x*w)

Coefficients(with 95% confidence bounds):

a0=63.35(57.93，68.77)

a1=0.347(-186.5，187.2)

b1=6.82(-0.4588，14.1)

w=0.1455(-0.01495，0.3059)

其擬合后的圖像如圖4所示.

圖4

女同學的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是167和61，最小值分別是148和36，算術平均值分別是158.9231和50.5692，幾何平均值分別是158.8710和50.2869，和諧平均值分別是158.8186和50.0009，調整平均值分別是158.9683和50.6349，回歸系數的最小二乘估計是0.3180，其95%置信度的置信區間是[0.3095，0.3265]，其散點圖如圖5所示.

圖5

對其函數模型進行擬合，擬合結果如下：

modelGoodnessof fit f(x)=p1?x+p2f(x)=p1?x^2+p2?x+p3f(x)=p1?x^3+p2?x^2+p3?x+p4f(x)=a?exp(b?x)f(x)=a0+ a1?cos(x?w)+w)+b1?sin(x?w)f(x)=a?x^bf(x)=a?x^b+cSSE1834180217421834180818331831R-square0.0012180.01870.051220.0011950.015450.0013690.002826AdjustedR-square-0.01464-0.012960.004554-0.01466-0.03297-0.01448-0.02934RMSE5.3955.3915.3445.3955.4445.3955.434

擬合結果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，三次函數的擬合效果最好.

Linear model Poly3:f(x)= p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

Coefficients(with 95% confidence bounds):

p1=0.008315(-0.003185，0.01982)

p2=-3.968(-9.414，1.478)

p3=630.7(-228.5，1490)

p4 = -3.335e+04(-7.851e+04，1.181e+04)

其擬合后的圖像如圖6所示.

圖6

類似于BMI的計算方式，根據學生身高與體重的正弦型擬合函數，計算出每位同學擬合后的體重，接著算出每位同學實際體重與擬合后體重的比值，這個比值如果大于1.2，則表示這位同學偏胖，如果低于0.8，則表示這位同學偏瘦，其他為正常.其分析結果如下：最大比值是1.333，最小比值是0.7128，其中比值為0.7—0.8的有6人，0.8—0.9的有28人，0.9—1.0的有35人，1.0—1.1的有29人，1.1—1.2的有27人，1.2—1.3的有4人，1.3—1.4的有2人，即偏瘦的有6人，其中2名女生、4名男生，偏胖的有6人，全部是男生，其他119人均在正常范圍內.

四、研究結果的討論

在數學建模活動的整個過程中，學生興趣高漲，有新鮮感，分工明確，計劃周詳，結果較理想，但是也暴露了一些不足.

1.數學建模思想薄弱，甚至為零

從小學到初中再到高中，考試分數一直都是學生學習的指揮棒.學生雖然接觸過數學模型，但是很少有人系統地學習此模塊，甚至有的學生連什么是數學建模都不知道.在對50名學生的訪談中，只有3名學生了解數學建模思想，明確分工合作、活動流程等，有10名學生僅限于聽說過，甚至有5名學生對此認識為零.

2.動手操作能力不強，學習能力不足，分析能力不高

從組建團隊、開展研究活動到撰寫研究報告、交流展示，大多數學生處于懵懵懂懂的狀態，他們對數據分析僅限于平均值的計算，而對于如何對函數模型進行擬合完全不懂.在學習MATLAB數學軟件時，學生的自學能力不足，更缺乏鉆研精神.

3.興趣泛泛，參與度不夠

學生對學習數學的目標還停留在學習課堂知識，掌握基礎知識，考出好成績.學生對于這種研究活動缺乏興趣，其參與度自然不夠，全班參加的人數只有8人，只占六分之一.

五、啟示與建議

數學建模不僅對實際生活有重大影響，而且在選拔性考試中，數學建模的占分比重越來越大，因此針對以上不足，提出以下幾點建議.

1.教師方面

在課堂教學中，教師是學生的引導者，因此在教學建模時，學生想要更好地接受其思想，教師的作用至關重要.對此，教師要在日常的教學過程中，多灌輸數學建模思想，關注數學實際應用，開闊數學建模眼界，優化課堂教學過程，提高數學建模能力，同時，完善和補充自身的知識儲備，對知識、建模等爛熟于心.再者，建立良好的師生關系，激發學生的積極性，提高學生的參與度，促進學生個人發展.

2.學生方面

首先，在繁重的學習壓力下，學生要安排一定時間學習數學建模知識，探究問題的本源和實際應用場景，通過數學建模，洞察現實生活案例，解決生活問題.其次，教師要加強學生之間的團隊合作精神.數學建模活動是一個多人合作的項目，由于個人的差異，問題看法角度不同，往往會有不同的答案，這就需要團隊的溝通，求同存異.最后，學生要提高信息處理能力.在收集資料過程中，數據龐大，雜亂無章，這就需要學生具有一定的信息處理能力，并且處理數據的過程難免會涉及陌生學科領域，這也就要求學生具有一定的自學能力和綜合處理問題的能力.

3.其他方面

在學生學習的過程中，學校能為學生提供一些基礎條件，如聘請專家學者開展座談會，提高學生的學習欲望，定期進行數學建模比賽.同時，家庭和社會也應該給予更多的關注.社會需要的是擁有出色實踐能力的復合型人才，這也要求家長和社會對學生的培養更偏重于綜合發展.