基于數學史視角的教學設計
——以等差數列概念及通項公式為例

◎陳美賢 黃在堂 許雅楠 閆 雪

(南寧師范大學，廣西 南寧 530000)

數學是一門歷史悠久的學科.了解數學史可以激發學生的學習興趣，使他們熱愛數學、理解數學，進而能透徹掌握數學知識，提高學習效率.另外，在教學中融入數學史，學生可以學習數學家們的偉大精神，有利于培養他們的愛國主義精神、理性精神、科學態度等，這對于學生優秀品格的培養有重要意義，數學史的德育價值在這一過程中也得到了很好的體現.本文以人教A版選擇性必修第二冊中“等差數列”的教學設計為例進行分析.

一、教材分析

本節課是人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”第二節“等差數列”第一課時的內容.數列是高中數學的重要內容之一，有著廣泛的應用.而等差數列是在學生學習了數列的概念以及給出數列的兩種方法——通項公式與遞推公式的基礎上，對數列知識的進一步延伸，也是等比數列的對比依據.

二、學情分析

1.學生已具備的認知基礎：學生已經學習了數列的概念以及給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式，經歷了歸納推理的過程，初步具備了歸納總結的能力.同時，學生參與課堂的積極性很高，有較強的團隊意識，能通過小組合作得出等差數列的通項公式.教師可以根據這一特點，適當設置小組合作，讓學生通過自己的努力，得出等差數列的通項公式.

2.學生達成教學目標所需要具備的認知基礎：學生的嚴謹性還不夠，對于通項公式中n的取值范圍會有所忽略，需要教師在授課時加以引導.另外，學生對于推導通項公式所用到的歸納法和累加法理解得不透徹，需要教師詳細講解.

基于以上分析，本節課的教學難點是等差數列通項公式的推導過程.

三、設計理念

本節課遵循“學生為主體，教師為主導”的理念進行教學，注重知識的形成過程，以問題為主導，讓學生自己推導出通項公式.另外，本節課注重學生數學素養的形成和發展，也注重在不同環節上提高學生的數學素養.

四、育人價值

1.數學抽象素養

從生活中的三個實例抽象出三個數列，再從這三個數列中抽象出等差數列的概念.在這個過程中，學生需要自己觀察并抽象出相應的知識，培養了數學抽象素養.

2.邏輯推理素養

在推導通項公式的過程中，學生利用通項公式的定義，觀察等差數列定義的符號表示，推導出通項公式，從而更好地理解歸納法和累加法，培養了邏輯推理素養.

3.數學運算素養

在求等差中項、通項公式的過程中，學生一直在進行計算，培養了數學運算素養.

4.數學建模素養

用數學符號表示數列，得到數列的一般形式，基于對這個一般形式的分析，揭示出數列的序號與項之間的對應關系的本質是函數關系，得到了“數列是一種函數的結論”，培養了數學建模素養.

五、教學目標

1.理解等差數列的定義，會用定義判斷一個數列是否為等差數列，掌握等差數列的通項公式，并能夠運用等差數列的通項公式解決實際問題，發展數學運算、邏輯推理、數學建模等核心素養.

2.通過數學史，經歷等差數列通項公式的推導過程，體會累加法、歸納法以及從特殊到一般的思想、方程思想，發展數學抽象、邏輯推理等核心素養.

3.通過數學史，體會等差數列在生活中的廣泛應用，感受數學的魅力；通過探索等差數列的通項公式，激發學習動機，培養探究能力；通過展示數學家推導等差數列通項公式的方法，感受古人的智慧，增強民族自豪感.

六、教學重難點

教學重點：等差數列的定義，等差數列的通項公式.

教學難點：等差數列的通項公式的推導過程.

七、教學過程

(一)創設情境，引入新知

師：我們上節課學習了數列，那么數列的概念是什么呢？大家一起說.

(學生一起回答)

師：對，按照一定順序排列的數叫做數列.我們今天繼續來學習數列，接下來讓我們看這三個情境.

設計意圖：復習數列的概念，加深學生對數列概念的理解，同時為分析情境做鋪墊.

1.情境一

師：我們首先來看第一個情境.這是我們熟悉的日歷，大家來看2020年11月星期日的日期分別是幾號呢？

生：1，8，15，22，29.

師：這一組日期構成了數列，這個數列有什么特點呢？

2.情境二

師：我們再來看第二個情境.我們經常買鞋，大家在買鞋的過程中，有沒有注意到鞋的尺碼是怎么樣的？

(學生回答)

師：好！按照國家統一規定，成年女鞋的尺碼是25，24.5，24，23.5，23……這一組數同樣構成了數列，這個數列有什么特點呢？

3.情境三

師：我們再來看第三個情境.這是北京天壇圜丘壇，它的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為9，18，27，36，45，…，81，它們同樣構成了數列，這個數列又有什么特點呢？

師：觀察這三組數列，每一個數列各有什么特點呢？它們又有什么共同點呢？給大家三分鐘時間，以小組為單位進行討論.

學生對于情境中提出的數列的特點這一問題的回答可能不太一樣，但是總體來說，學生可以看出某個數列的數是逐漸減少或逐漸增加的，教師在這一過程中可以引導學生說出后一項與前一項的差為多少，從而歸納出三個數列的共同特點，即后一項與前一項的差是一個常數，進而引出一個特殊的數列——等差數列，這有利于學生自主形成等差數列的概念.

設計意圖：首先，以學生熟悉的生活中的例子引入新知，這更加貼近學生的生活.同時，對數列實例的分析以及對實例共同特征的歸納，是從直觀的一列數過渡到數列的數學定義的關鍵步驟.與直接給出三個數列讓學生來觀察每個數列的特點以及共同特點相比，這更能吸引學生的注意力，激發他們的學習興趣.其次，讓學生體會到生活中處處存在數學，感受數學的魅力.最后，通過小組合作，學生各抒己見、積極思考、主動反思，培養了解決問題和語言表達的能力.

(二)歸納總結，形成概念

1.師：根據剛才的分析，同學們能說出等差數列的定義嗎？

(預設學生會落下定義中的“從第二項起”)

教師進行補充強調.

師：這是等差數列定義的語言敘述，大家可以用數學符號來表示嗎？

學生回答.

師：對，符號表示就是an-an-1=d(n∈N*,n≥2).我們今天所學的等差數列是數列的一種.一個數列具有什么樣的特性才是等差數列呢？

學生回答.

設計意圖：先讓學生對實例進行充分感知，再引導學生給數列下定義.學生通過自己總結等差數列的定義，加深對定義的理解.學生通過用符號來表示等差數列的定義，可以感受數學符號的簡潔性，同時也為通項公式的推導打下基礎.教師用等差數列的特性來幫助學生認識等差數列，更有利于學生理解等差數列，完成教學目標1.

學生舉例.

設計意圖：結合數學史幫助學生認識等差數列，理解等差數列的定義，這不僅可以幫助學生加深對數列知識的理解，而且可以開闊學生的視野.另外，讓學生列舉出生活中的等差數列的例子，有利于培養學生的觀察能力，讓學生感受到等差數列的應用價值，明白數學與生活是緊緊聯系在一起的，感受數學的魅力，完成教學目標3.

2.(1)給出一些數列，讓學生判斷其是否為等差數列.如果是，寫出首項與公差.(具體題目略)

(2)說出判斷依據，并總結出公差可以為正、負、0，分別對應遞增、遞減、常數列.

設計意圖：通過練習總結判斷等差數列的依據，對等差數列的定義加以鞏固.同時，讓學生觀察公差的符號，將新知與舊知聯系在一起，這有利于豐富學生原有的知識圖式，完成教學目標1.

3.師：通過上一節課的學習，我們知道數列有通項公式，那么等差數列是否也有通項公式呢？我們再來看三個情境中的數列，它們是否存在通項公式呢？對于首項為a1，公差為d的一般數列{an}，a2,a3,a4分別是多少呢？an又是多少呢？可以用a1和d表示出來嗎？接下來給大家五分鐘時間，以小組為單位進行討論.

學生總結展示兩種方法：

(1)方法一(歸納法)

a2-a1=d?a2=a1+d

a3-a2=d?a3=a2+d?a3=a1+2d

a4-a3=d?a4=a3+d?a4=a1+3d

…

an-an-1=d?an=an-1+d?an=a1+(n-1)d(n∈N*,n≥2)

(2)方法二(累加法)

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

…

an-1-an-2=d

an-an-1=d

兩邊分別相加得：

an-a1=(n-1)d?an=a1+(n-1)d(n∈N*,n≥2)

學生展示探究過程，教師補充完善.在用歸納法證明時，要強調先看到規律，再得到(n-1)d；在用累加法證明時，要強調之所以將所有式子相加是因為如果相加，正負可以相互約掉.不管是哪種方法，都要強調n的取值范圍.

設計意圖：學生通過小組合作，自主探究等差數列的通項公式，體會歸納法、累加法以及從特殊到一般的數學思想方法，培養了數學運算、邏輯推理等核心素養，突破教學難點，完成教學目標2.

師：當n=1時，左邊=a1，右邊=a1，左邊等于右邊，則當n=1時，式子仍然成立，所以我們就得到了等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*).

教師對公式加以強調：

(1)公式中一定是(n-1)d；

(2)等差數列中除首項外的每一項由首項和公差來確定；

(3)一共有四個量an,a1,n,d，如果知道其中三個量，就可以求出另一個量，即知三求一.

4.設置例題：課本P14例1

設計意圖：通過對公式的強調以及對例題的講解，加深學生對公式中各個字母以及對整個公式的理解.同時，通過講解，學生能體會方程思想，培養數學建模等核心素養，完成教學目標2.

a3=a1+2d,a4=a1+3d，…，a7=a1+6d.

這些式子和剛剛我們列出的式子是一致的，所以古人早就給出了求通項公式的方法.

設計意圖：這樣的題目背景豐富、有趣、畫面感強，容易把學生帶入其中，有利于激發學生的感性體驗與理性體驗.通過滲透數學史，學生再一次復習了通項公式的證明方法，加深了對推導過程的印象，理解了歸納法與累加法的含義，獲得了“再創造”的機會，有利于突破教學難點.同時，學生可以看到今天的推導方法與我國古人的推導方法大體相同，這既可以讓他們感受到古人的智慧，激發學生的愛國熱情，又可以增強學生學習數學的信心，完成教學目標3.

(三)鞏固練習，加深理解

1.若等差數列{an}中,a3=3,a6=9，求a1和d.

2.已知等差數列{an}中，a4=8,a9=3，求a10.

3.判斷100是不是等差數列2，11，20……中的項.

設計意圖：練習題的設置由淺入深，符合學生的認知結構，有利于學生掌握知識，完成教學目標1.

(四)課堂小結

1.這節課我們學習了哪些知識？

2.這節課我們經歷了哪些過程？

(五)布置作業

必做題：1.課本P15練習第1—5題；

2.觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？

選做題：求1+2+3+…+100的和.

設計意圖：一、必做題中的第2題考查的是學生能否將新舊知識聯系在一起；選做題是為下一節學習等差數列的前n項和作鋪墊；二、分層布置作業可以有針對性地提高學生解決問題的能力，對于中等生和優等生來說，可以在學習基礎知識的基礎上為接下來的知識作準備；對于學困生來說，可以增強他們學習數學的信心.總之，分層布置作業符合學生的個性差異，避免出現兩極分化的情況.

八、教學反思

第一，本節課的難點是等差數列通項公式的推導，教師在教學過程中發現學生的邏輯推導能力不夠，對于歸納法和累加法的理解不透徹.教師傳授的不僅僅是知識，更重要的是讓學生學會方法，因此，教師在教學中應適當調整知識點的分配時間，保證有足夠的時間去講解推導過程，使學生能夠更好地理解這兩種方法.第二，在設置習題時，教師可以引用數學史上的數列原題作為習題，或將數學史上有關數列的結論改編為習題.第三，教師可以按照函數的思想方法指導學生進行數列的學習，該節課的學習可以沿用前一節一般數列的研究路徑，即事實—概念—性質—應用，這一教學方式能幫助學生建立知識體系，有利于學生對一類知識的學習.

九、結束語

本文兩次將數學史融入等差數列的教學，第一次是在學生掌握了等差數列的概念之后，試圖讓學生明白數學與生活的聯系，體會數學的實用價值；第二次是在學生掌握了等差數列的通項公式之后，學生經歷等差數列通項公式的推導過程，與古人產生共鳴，調動了學習的積極性.數學史的兩次融入都有利于學生加深對知識的理解，從而掌握知識.

數學史融入教學可以激發學生的學習興趣，有利于落實四基，培養四能，提高學生的數學素養，進而提升學生的綜合素質.同時，數學史融入教學也可以將學生從課內導向課外，使學生形成對文化的認同感，培養學生的愛國主義精神，將“立德樹人”這一根本任務落到實處.