新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索

吳振英

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

隨著以互聯(lián)網(wǎng)和工業(yè)智能為核心的新工科建設(shè)的推進，眾多高校在探索和研究創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式的過程中，逐步認識到強化理工科基礎(chǔ)教育是培養(yǎng)新工科人才的重要舉措。目前，工科專業(yè)學(xué)習的高等數(shù)學(xué)主要是由微積分、空間解析幾何、微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)等內(nèi)容組成。作為應(yīng)用型本科院校各工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)課程的重要性不言而喻。但研究表明，包括高等數(shù)學(xué)課程在內(nèi)的傳統(tǒng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已不能滿足新工科人才培養(yǎng)的需要。

為了充分發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程在工科專業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)與服務(wù)功能，促進工科生在更高層次和境界上進行創(chuàng)造性工作，提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果便尤為重要和急迫。課堂是教學(xué)活動的主要場所，課堂質(zhì)量是教學(xué)質(zhì)量的決定性因素。本文旨在結(jié)合作者多年來從事高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)經(jīng)驗，探索新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革，以提升其教學(xué)的有效性。

一、結(jié)合學(xué)生實際和專業(yè)特點、整合和加工教學(xué)內(nèi)容

基于當前大部分工科高校高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、學(xué)時緊的現(xiàn)實情況，如果按部就班地遵從教材安排，只要是教材里有的內(nèi)容全部都教，往往會陷入匆忙趕進度、疲于教學(xué)的境地，難以取得理想的教學(xué)效果。為了保障學(xué)生在可接受的基礎(chǔ)上，學(xué)習到相對完整的高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，順利達成預(yù)期教學(xué)目標。教師不僅要考慮課程各部分知識內(nèi)容的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及彼此之間的關(guān)聯(lián)性，更需要考慮學(xué)生學(xué)習高等數(shù)學(xué)時的知識儲備、現(xiàn)實需求以及后續(xù)專業(yè)發(fā)展特點，并以此為依據(jù)來整合加工教材內(nèi)容。

首先，高等數(shù)學(xué)課程要做好與高中數(shù)學(xué)課程的銜接。高等數(shù)學(xué)是不少工科生在進入大學(xué)階段后接觸的第一門數(shù)學(xué)課程，因此教師有必要了解學(xué)生在高中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容及新課標對這些內(nèi)容的相關(guān)要求。例如，包括導(dǎo)數(shù)、積分在內(nèi)的微積分內(nèi)容被納入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系，大學(xué)生已具備了一定的微積分知識和利用所學(xué)知識解決問題的能力。因此教師在高數(shù)課程的教學(xué)上要利用學(xué)生已有的微積分基礎(chǔ)，對于現(xiàn)行高中和高數(shù)教材中重合的知識點如初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)、積分的性質(zhì)等進行簡單概述，重點讓學(xué)生理解微積分背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想以及追溯微積分產(chǎn)生的過程。學(xué)生在高中階段僅對正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)有較深入的學(xué)習，教師在教學(xué)上要側(cè)重于補充余切、正割、余割函數(shù)，并適當介紹和差化積公式、積化和差公式及半角公式、理解這些函數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系并能夠進行函數(shù)間的靈活變形，為后續(xù)求導(dǎo)數(shù)、求積分奠定基礎(chǔ)。

其次，高等數(shù)學(xué)課程要做好與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的銜接。大學(xué)生學(xué)習的動機主要是學(xué)以致用，在于落實與行動。基于不少學(xué)生在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習過程中常常會產(chǎn)生諸如“為何而學(xué)”“學(xué)有何用”的疑問，因此高等數(shù)學(xué)教學(xué)不能拘泥于數(shù)學(xué)，就數(shù)學(xué)而教數(shù)學(xué)，而需要邀請工科專業(yè)的相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)與老師共同參與教學(xué)大綱的修訂和課程的建設(shè)，把高等數(shù)學(xué)作為推動學(xué)生專業(yè)發(fā)展的杠桿，通過學(xué)科之間的交叉與融合，探究高等數(shù)學(xué)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)之間的關(guān)聯(lián)性、應(yīng)用以及在學(xué)生后繼學(xué)習和生活中的價值，以更好地支撐相應(yīng)專業(yè)人才的培養(yǎng)目標。只有學(xué)生認識到這門學(xué)科的價值與應(yīng)用后，才有學(xué)習的動力。目前不少工科專業(yè)采用的教材——《高等數(shù)學(xué)》（同濟版），雖然很好地突出了數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與嚴密性，但仍難以顧及到工科不同專業(yè)的具體需求，使得工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了盡管存在專業(yè)差異，但課程內(nèi)容幾乎完全一致的問題。因此在教學(xué)中需要結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點，對教學(xué)內(nèi)容進行有針對性的再處理和設(shè)計，突出這些知識點在學(xué)生專業(yè)發(fā)展過程中的作用。例如，利用微分方程模型來描述細菌的繁殖、疾病的發(fā)生規(guī)律，借助直線的投影、曲面立體（圓錐體）三視圖等更好地進行工業(yè)制圖、利用微分方程及傅里葉級數(shù)來學(xué)習信號系統(tǒng)課程等，盡可能體現(xiàn)新工科、新產(chǎn)業(yè)對高數(shù)內(nèi)容及相應(yīng)知識的需求變化。

二、強化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，深化對知識的理解與應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)課程之所以成為眾多工科專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程，不僅在于高等數(shù)學(xué)知識是工科生學(xué)習后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且數(shù)學(xué)知識背后所蘊含的定量化、模型化思想都是精準解釋和刻畫所屬專業(yè)中相關(guān)現(xiàn)象的工具，對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習和發(fā)展具有重要作用。因此在教學(xué)中不能把重心全部著眼于現(xiàn)成結(jié)論的傳授和訓(xùn)練，也要重視知識的發(fā)生過程和思維過程。例如，高等數(shù)學(xué)的精髓——微積分和解析幾何的建立標志著數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)時期過渡到了變量數(shù)學(xué)時期，從此變量進入了數(shù)學(xué)、辯證法進入了數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上里程碑式的大事件。其中，貫穿于微積分和解析幾何中的變量思想、極限思想以及數(shù)形結(jié)合思想都有助于學(xué)生更好地理解充斥著變化的現(xiàn)實世界，而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，則在形成學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維和數(shù)學(xué)建模能力方面具有重要作用。

例如學(xué)習完某一章節(jié)的內(nèi)容后，讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖軟件X-mind 將孤立的、非結(jié)構(gòu)化的零散知識點進行總結(jié)和梳理，能夠避免學(xué)生在學(xué)習中只見樹木不見森林的不足，有助于學(xué)生用整體的、聯(lián)系的觀點看待所學(xué)知識。如通過提煉極限、不定積分、定積分的求解方法，加深和鞏固學(xué)生對所學(xué)知識的理解和掌握；通過導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用與相關(guān)知識構(gòu)建的張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)（如圖1 所示）勾勒導(dǎo)數(shù)以及定積分產(chǎn)生的背景、相關(guān)應(yīng)用以及彼此之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的思想和內(nèi)涵、感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中的作用。

圖1 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用與相關(guān)知識構(gòu)建的張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)

三、重視人文情感的滲透，凸顯數(shù)學(xué)的育人功能

新工科的內(nèi)涵是以立德樹人為引領(lǐng)，以應(yīng)對變化、塑造未來為建設(shè)理念，以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑，培養(yǎng)未來多元化、創(chuàng)新型卓越人才。作為工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課程，高等數(shù)學(xué)課程責無旁貸地承載著立德樹人的根本任務(wù)，它在大學(xué)生形成正確人生觀、價值觀等方面具有獨特作用。數(shù)學(xué)思想、精神、方法的運用反映出深蘊其中的文化價值，影響著人們的思維方式、智力發(fā)展、審美情趣、倫理道德。因此，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要注重知識的傳授和習題的演練，還需要重視人文情感的滲透，凸顯數(shù)學(xué)的育人功能。

（一）融入數(shù)學(xué)史內(nèi)容，加深學(xué)生對課程內(nèi)容的理解

在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史內(nèi)容，能夠加深學(xué)生對相關(guān)概念和思想的起源及發(fā)展的理解。例如學(xué)生剛開始接觸極限的ε-δ 語言時難以理解和掌握，教師可適當介紹其相關(guān)歷史。微積分誕生之初，雖在生產(chǎn)和實踐中有廣泛應(yīng)用，但它的理論基礎(chǔ)不夠嚴密，表達不夠嚴謹，因此英國的大主教貝克萊提出了所謂的貝克萊悖論。他認為“無窮小量”既等于0 又不等于0，召之即來，揮之即去，這是荒謬的。究竟無窮小量是不是0，無窮小及其分析是否合理，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機。此后，很多大數(shù)學(xué)家如阿貝爾、柯西、維爾斯特拉斯致力于分析的嚴格化。ε-δ 語言讓極限概念能用非常精確嚴格的數(shù)學(xué)語言給出描述，也為其他重要概念的嚴格化定義打下基礎(chǔ)。比如，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，定積分是一個特殊和式的極限，廣義積分是普通定積分的極限，無窮級數(shù)是部分和數(shù)列的極限，這樣學(xué)生就會對極限概念有了更深入的理解。

（二）強化審美教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美鑒賞力

發(fā)現(xiàn)美、認識美以及對美的運用是人類生存的要求，而數(shù)學(xué)美則是發(fā)現(xiàn)美和塑造美的重要方法。英國哲學(xué)家羅素（Bertrand Russell）曾說：“數(shù)學(xué)擁有的不僅是真理，還有最極致的美。”因此，在抽象的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中洞察數(shù)學(xué)的美，在教學(xué)中強化審美教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美鑒賞力是提升教學(xué)有效性的重要措施。

除黃金分割比例、對稱外，高等數(shù)學(xué)中很多立體圖形因其獨特而靈動的線條成為藝術(shù)家設(shè)計建筑物、藝術(shù)品時汲取靈感的重要來源之一。例如廣州市重要的地標性建筑——廣州塔因獨特的螺旋曲線，被形象地稱為“小蠻腰”，這一建筑運用的正是數(shù)學(xué)中的“單葉雙曲面幾何結(jié)構(gòu)”。北京奧運會國家游泳中心“水立方”則是根據(jù)細胞排列形式和肥皂泡天然結(jié)構(gòu)設(shè)計而成的，它的膜結(jié)構(gòu)是世界之最，膜結(jié)構(gòu)物則與微分幾何中的極小曲面關(guān)系密切。因此，教師在教學(xué)過程中可以結(jié)合生活中熟悉的建筑物和藝術(shù)品來欣賞圖形的美，并結(jié)合圖形性質(zhì)思考一些更深入的問題，這有助于工科大學(xué)生真正貼近現(xiàn)實生活，更好地學(xué)以致用。

同時，數(shù)學(xué)從混沌中找出秩序，將復(fù)雜還原為簡單，追求簡潔的表達方式本身就是一種獨特的美學(xué)詮釋方式。例如極限概念特別是現(xiàn)代的極限語言，很好地體現(xiàn)了有限與無限，近似和精確的辯證關(guān)系。牛頓-萊布尼茲公式不僅是溝通定積分和不定積分的橋梁，也簡明扼要地描述了微分和積分這兩種運算方式的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化過程，在簡約中隱含著深刻和含蓄。這些簡潔和諧的數(shù)學(xué)公式和邏輯嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)推理對培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)眼光欣賞美和發(fā)現(xiàn)美具有重要作用。

（三）突出數(shù)學(xué)精神，重視高數(shù)在塑造學(xué)生性格中的作用

數(shù)學(xué)精神有助于個體品質(zhì)和價值觀念的形成，能夠促進其精神成長。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入挖掘隱含在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)精神，讓它能夠鼓舞、激勵大學(xué)生的成長。如在界定極限定義、微積分定義以及對數(shù)學(xué)問題進行求解和證明過程中有助于形成重證據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)。而從1665 年牛頓創(chuàng)造了“流數(shù)術(shù)”到1855 年維爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義，整個極限概念逐步嚴格化的過程以及微積分的發(fā)現(xiàn)過程都可以感受到對事物的認識是需要一個過程的，不可能一步到位，有助于培養(yǎng)學(xué)生執(zhí)著、堅韌、不懼怕困難、不屈服于挫折的勇氣。

四、優(yōu)化教學(xué)方式，拓寬學(xué)生參與度

大學(xué)生求知欲旺盛，具備較完備的知識結(jié)構(gòu)和較強的學(xué)習能力，因此教師在教學(xué)中要回歸學(xué)習的“引導(dǎo)者”和“幫助者”角色，提升學(xué)生的自主性和參與度，給學(xué)生更多的探索空間，力求改變“老師講、學(xué)生聽”的被動式教學(xué)。

（一）利用信息技術(shù)手段，加深學(xué)生對知識的理解

首先，信息技術(shù)手段能夠?qū)⒊橄髢?nèi)容形象化，有助于學(xué)生對知識內(nèi)容的理解。相比高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容高度的抽象性和理論化使得不少學(xué)生望而卻步。而信息技術(shù)則可以較好地彌補學(xué)生抽象思維、想象能力的不足，能夠加深學(xué)生對知識內(nèi)容的理解。例如定積分和重積分的概念本身非常抽象，如果不借助信息技術(shù)手段，教師無論將圖像畫得多細，都無法畫出無限細分這一過程，學(xué)生理解起來很困難，而信息技術(shù)則能夠直觀地呈現(xiàn)這一動態(tài)過程，讓學(xué)生清楚地看到每增加若干個點，小矩形的面積之和與曲線下的曲邊梯形就更接近一些；每增加若干個小區(qū)域，平頂柱體的體積之和與曲面下面的整個曲頂柱體的體積就更接近一些，從而有助于學(xué)生對定積分和重積分概念的理解。

其次，信息技術(shù)手段還可以讓學(xué)生的學(xué)習方式更加多元化，有助于學(xué)生進行探索。“上課認真聽講，課后就是解題，而且是解比較純粹的題”是不少學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習的認識。然而，學(xué)數(shù)學(xué)也是做數(shù)學(xué)的活動和解決數(shù)學(xué)問題的過程。在教學(xué)中將數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實驗的方法融入教學(xué)中，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下用數(shù)學(xué)軟件Mathematic、Matlab、幾何畫板等進行實驗，利用其提供的數(shù)據(jù)、圖像及動態(tài)表現(xiàn)，有更多的觀察、探索的機會，對激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣、意識有重要作用。

此外，在正常的課內(nèi)教學(xué)之余，高等數(shù)學(xué)教學(xué)可以依托“騰訊課堂”“釘釘”等網(wǎng)絡(luò)平臺與學(xué)生進行線上交流、即時互動。這樣可以跨越距離和時空的阻隔，便于師生間開展深層次的研討交流與答疑，使得教學(xué)形式更為豐富。同時，還可以借助大學(xué)MOOC、精品課程平臺實現(xiàn)先進教育資源的共享，使之成為課內(nèi)教學(xué)的有效補充和拓展，更好地進行個別化教學(xué)和使學(xué)生達到對知識的深度理解。

（二）實施分層教學(xué)，滿足學(xué)生多元化需求

高等數(shù)學(xué)課程作為工科專業(yè)的基礎(chǔ)課，在教學(xué)編排上往往是若干個班一起上課。由于大學(xué)生對自己未來的規(guī)劃日益多元化，對高等數(shù)學(xué)課程的期望和需求也有所不同，并且學(xué)生之間的基礎(chǔ)、理解能力也存在一定差別，因此，尊重學(xué)生個人意愿，實施有彈性、有差異的分層教學(xué)已成為提升高數(shù)課程教學(xué)有效性、滿足學(xué)生多樣化需求的重要舉措。在努力達成高等數(shù)學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)上，按照學(xué)習基礎(chǔ)和個人需求對班上學(xué)生進行分組，通過個別性輔導(dǎo)、網(wǎng)絡(luò)視頻資源、作業(yè)任務(wù)單等多樣化方式給予針對性指導(dǎo)，如對有深入學(xué)習需求或持續(xù)興趣的學(xué)有余力型學(xué)生給予內(nèi)容與方法上的拓展與提升，注重知識的靈活應(yīng)用；對基礎(chǔ)一般型學(xué)生注重基礎(chǔ)知識的鞏固和應(yīng)用，對基礎(chǔ)薄弱型學(xué)生給予幫助與鼓勵，幫助他們解決學(xué)習過程中的困難，加深對知識和方法的理解，這樣才能滿足工科學(xué)生多元化需求，使每個學(xué)生都能夠在原有基礎(chǔ)上得到最大程度的發(fā)展。

總之，新工科背景下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革需要數(shù)學(xué)教育工作者在實踐中不斷探索和思考，能夠更好地適應(yīng)人才培養(yǎng)過程的新要求，取得更好的教學(xué)效果。