合理運用多元表征，有效實現深度學習

北京市石景山區先鋒小學 李小紅

在平時的數學教學過程中，常用的表征方式主要有以下幾種：圖形表征、文字表征、語言表征和符號表征。實踐研究表明，使用多種不同的表征方式可以幫助學生拓展思路，有利于學生構建良好的知識結構，便于加深學生對數學知識的理解。多元表征注重數學學習對象多樣化呈現，教學中，教師應指導學生深入研究問題，關注問題的多元表征，以促進數學知識的多元建構，從而讓學生的數學學習深度發生。

一、注重數學學習對象多樣化呈現，促進數學知識多元建構

數學學習對象包括空間與圖形、數學概念、數量關系、數量間運算和問題解決等。在平時的教學中，學習對象呈現方式應多樣化，既要有言語和文字的，也要有數字符號的，還要有直觀圖形的，這樣方能凸顯數學學習對象多元屬性，便于學生將數學信息進行多通道輸入，從而實現數學知識的多元表征、數學意義的多元建構。

在小學數學教學中，如果教師僅提供符號化、形式化的抽象表征，對于基礎薄弱的學生而言，在理解抽象的數學知識方面存在一定困難，因此會導致這部分學生抵觸對數學的學習，甚至失去學好數學的信心。如果教師在教學中巧用數學多元表征，并利用不同表征可以轉換和互相補充的作用，就可以讓學生從不同的角度認識數學對象，使學生對數學原理和數學概念的理解更為深刻，有助于學生由具體思維向抽象思維的發展，促進數學知識間的多元建構。

筆者在教學“推理”一課時，有這樣一道題：有語文、數學和品德與生活三本書，小紅、小剛、小麗各拿一本，小紅拿的是語文書，小麗沒拿數學書。小剛拿的是什么書？小麗呢？學生通過思考，用多種方式表示出了對于這道題的理解，學生想到了如下幾種表達方式。

文字表征：已經知道小紅拿的是語文書，又知道小麗沒拿數學書，肯定小麗拿了品德與生活書，那么，小剛拿的一定是數學書。

連線表征，如圖1。

圖1

圖表表征，如圖2。

圖2

教學中，通過這樣的多元表征形式，既可以幫助學生加深對數學知識的認識與理解，又不增加學生認知負荷，讓學生的經驗充分展現，從而激活思維，實現了數學知識的多元表征、數學意義的多元建構。

二、尋找知識間關聯，實現學生數學思維可視可感

借助數學多元表征，建構數學各種表征的聯系，讓學生的數學思維可視可感，有效幫助學生準確理解和把握數學知識的本質內涵和外延，滲透模型思想。

“乘法分配律”是人教版小學數學四年級下冊的內容，因為定律的結構特征相對復雜，因此乘法分配律是數學教學中一個較難掌握的知識。乘法分配律將乘法與加法聯系了起來，兩種運算均有，用語言描述，講法拗口；用字母表達，結構復雜，學生記憶時自然就增加了難度。學生如果記不住（或容易忘記）定律結構就難以做到靈活運用，遇到變式，當然更難以應對。可見，如何使學生清晰地建構乘法分配律的結構（數學模型），而且將其有效地儲存于大腦中不遺忘，這是一個關鍵點。在教學中，筆者利用數學多元表征幫助學生建立模型，溝通理解知識間的關聯，適當提升以拓寬學生思維，促進學生對于知識的深度理解。

（一）溝通知識間關聯

1.借助面積模型理解乘法分配律

圖形表征，如圖3。

圖3

文字表征：大長方形面積等于兩個小長方形面積和。

算式表征：（5+4）×6=5×6+4×6。

通過讓學生觀察和對比，建立起三種表征間的聯系，使學生思維可視可感。

2.多角度觀察構建知識間聯系

通過算式（5+4）×6=5×6+4×6，既能發現（5+4）個6等于5個6加4個6，等式兩邊都表示9個，還可以從不同角度找到不一樣的幾個幾，如圖4。

圖4

觀察上圖的圖形表征，通過分析可以得出：從左往右觀察是6個（5+4），從上往下看是6個5和6個4之和。不管怎樣看，都可以和乘法分配律建立起聯系。

（二）猜想引發深度思考

為了拓展提升學生思維能力，教師可以嘗試詢問學生：如果把括號里面兩個數的和變成兩個數的差或三個數的和，你將有什么發現？從而引出更深層次的思考與想象，讓學生發揮自己的能力，展開新的自主猜想，舉例說明并驗證……在學生表征過程中，進一步豐富學生對于乘法分配律的認識與理解，從而實現數學中的深度思考。

將多元表征滲透到數學教學課堂中，可以促進數學知識的理解與溝通，培養學生數學思維，引發學生深度思考，促進學生數學智慧生長。

三、幫助學生理解概念，促進數學知識多元建構

小學數學基礎知識的一項重要內容是數學概念，學生理解數學知識的首要條件就是掌握數學概念，計算和解題的重要前提是理解數學概念，它是整個數學知識結構的基礎，是基礎知識的起點及邏輯推理的依據、數學方法的載體，是正確、合理、迅速進行數學運算的保證。在數學課堂中運用多元表征，能幫助學生從多角度深入理解數學概念的本質，使數學概念變得可視可感，有利于學生把握概念的理解，有利于建構知識體系。

小學低年級學生正處于具體形象思維水平階段，因此在概念建構時，學生不僅要清楚相關概念的文字描述，更要體現在思維發展和認知完善的過程中。在概念教學中，學生理解概念時應該從具體出發，讓學生多角度、多感官體驗，然后再從具體表象中抽象概念內涵，這時的抽象是理解后的，這也是學生對于概念建模的過程。借助數學多元表征可以幫助學生從多角度深入理解數學概念的本質，提升概念教學的實效性，發展學生的數學深度思維能力。

“倍的認識”是人教版三年級上冊第五單元的內容，“倍”是小學數學中比較抽象的概念，又是很重要的概念，“倍”的含義對于學生來說比較抽象，不容易理解。“倍”的概念的建構，不僅需要將“幾倍”和“幾個幾”建立聯系，更需要借助多元表征方式之間的轉換，幫助學生逐層建構“倍”的概念。

課上，教師為學生提供學具，創設一個開放的探究空間，讓學生通過擺一擺、圈一圈、畫一畫、算一算等多種表征方式，借助多元表征方式自主探究兩種蘿卜之間的倍數關系。把抽象的新知識“倍”與學生掌握的“幾個幾”建立聯系，從而幫助學生理解“倍”的含義。下面是學生課上的作品。

實物表征，如圖5。

圖5

圖形表征，如圖6。

圖6

語言表征：如果把2個胡蘿卜看成1份，紅蘿卜有這樣的3份，是3個2，紅蘿卜的個數是胡蘿卜的3倍。

算式表征：6÷2=3。

課上通過展示學生的擺法，幫助學生理解“倍”的含義，接著在展示學生圈畫的方式時，加深對“倍”的理解，突出“倍”的本質。通過展示學生線段圖的表達方式，抽象出“倍”的線段圖模型，最后通過對學生除法算式的展示，溝通“倍”與除法的聯系。學生在觀察、交流、操作的過程中，經歷了“倍”概念的形成過程，符合兒童“直觀—半直觀半抽象—抽象”的認知過程，理解“倍”的含義。建立了“幾倍”與“幾個幾”的聯系，發展了學生的概括能力。使學生對“倍”的理解不斷深入，讓學生在多樣化的活動中理解“倍”，在對比與抽象中深化對“倍”的認識。同樣的問題，不同的學生表征出來的形式是不同的，可以看出學生不同的認知風格和思維水平。

四、凸顯認知風格與水平，促進深度思維與實踐綜合應用能力發展

如果說數學理解是數學知識不斷建構聯系的過程，那么數學表達就是實踐應用和思維提升的過程。借助數學多元表征，建構數學各種表征的聯系，讓學生的數學思維可視可感，有利于發展學生數學實踐綜合應用的能力。

有的學生用具體直觀形象的模擬圖表征，有的學生則用線段圖表征，其思維抽象水平高于模擬圖表征的學生。有的學生用分數思想列式解答，有的學生用比的思想列式解答，還有的學生用方程思想列式解答。

圖7

圖8

小杯：840÷（4+8）=70ml 大杯：70×4=280ml

圖9

答：大杯容量為280ml，那么小杯容量為70ml。