合理運用多元表征，有效實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

北京市石景山區(qū)先鋒小學(xué) 李小紅

在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，常用的表征方式主要有以下幾種：圖形表征、文字表征、語言表征和符號表征。實踐研究表明，使用多種不同的表征方式可以幫助學(xué)生拓展思路，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，便于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。多元表征注重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn)，教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生深入研究問題，關(guān)注問題的多元表征，以促進數(shù)學(xué)知識的多元建構(gòu)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、注重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn)，促進數(shù)學(xué)知識多元建構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象包括空間與圖形、數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、數(shù)量間運算和問題解決等。在平時的教學(xué)中，學(xué)習(xí)對象呈現(xiàn)方式應(yīng)多樣化，既要有言語和文字的，也要有數(shù)字符號的，還要有直觀圖形的，這樣方能凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多元屬性，便于學(xué)生將數(shù)學(xué)信息進行多通道輸入，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多元表征、數(shù)學(xué)意義的多元建構(gòu)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師僅提供符號化、形式化的抽象表征，對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生而言，在理解抽象的數(shù)學(xué)知識方面存在一定困難，因此會導(dǎo)致這部分學(xué)生抵觸對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，甚至失去學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。如果教師在教學(xué)中巧用數(shù)學(xué)多元表征，并利用不同表征可以轉(zhuǎn)換和互相補充的作用，就可以讓學(xué)生從不同的角度認識數(shù)學(xué)對象，使學(xué)生對數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)概念的理解更為深刻，有助于學(xué)生由具體思維向抽象思維的發(fā)展，促進數(shù)學(xué)知識間的多元建構(gòu)。

筆者在教學(xué)“推理”一課時，有這樣一道題：有語文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書，小紅、小剛、小麗各拿一本，小紅拿的是語文書，小麗沒拿數(shù)學(xué)書。小剛拿的是什么書？小麗呢？學(xué)生通過思考，用多種方式表示出了對于這道題的理解，學(xué)生想到了如下幾種表達方式。

文字表征：已經(jīng)知道小紅拿的是語文書，又知道小麗沒拿數(shù)學(xué)書，肯定小麗拿了品德與生活書，那么，小剛拿的一定是數(shù)學(xué)書。

連線表征，如圖1。

圖1

圖表表征，如圖2。

圖2

教學(xué)中，通過這樣的多元表征形式，既可以幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的認識與理解，又不增加學(xué)生認知負荷，讓學(xué)生的經(jīng)驗充分展現(xiàn)，從而激活思維，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的多元表征、數(shù)學(xué)意義的多元建構(gòu)。

二、尋找知識間關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維可視可感

借助數(shù)學(xué)多元表征，建構(gòu)數(shù)學(xué)各種表征的聯(lián)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視可感，有效幫助學(xué)生準確理解和把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵和外延，滲透模型思想。

“乘法分配律”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊的內(nèi)容，因為定律的結(jié)構(gòu)特征相對復(fù)雜，因此乘法分配律是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個較難掌握的知識。乘法分配律將乘法與加法聯(lián)系了起來，兩種運算均有，用語言描述，講法拗口；用字母表達，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生記憶時自然就增加了難度。學(xué)生如果記不住（或容易忘記）定律結(jié)構(gòu)就難以做到靈活運用，遇到變式，當然更難以應(yīng)對。可見，如何使學(xué)生清晰地建構(gòu)乘法分配律的結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)模型），而且將其有效地儲存于大腦中不遺忘，這是一個關(guān)鍵點。在教學(xué)中，筆者利用數(shù)學(xué)多元表征幫助學(xué)生建立模型，溝通理解知識間的關(guān)聯(lián)，適當提升以拓寬學(xué)生思維，促進學(xué)生對于知識的深度理解。

（一）溝通知識間關(guān)聯(lián)

1.借助面積模型理解乘法分配律

圖形表征，如圖3。

圖3

文字表征：大長方形面積等于兩個小長方形面積和。

算式表征：（5+4）×6=5×6+4×6。

通過讓學(xué)生觀察和對比，建立起三種表征間的聯(lián)系，使學(xué)生思維可視可感。

2.多角度觀察構(gòu)建知識間聯(lián)系

通過算式（5+4）×6=5×6+4×6，既能發(fā)現(xiàn)（5+4）個6等于5個6加4個6，等式兩邊都表示9個，還可以從不同角度找到不一樣的幾個幾，如圖4。

圖4

觀察上圖的圖形表征，通過分析可以得出：從左往右觀察是6個（5+4），從上往下看是6個5和6個4之和。不管怎樣看，都可以和乘法分配律建立起聯(lián)系。

（二）猜想引發(fā)深度思考

為了拓展提升學(xué)生思維能力，教師可以嘗試詢問學(xué)生：如果把括號里面兩個數(shù)的和變成兩個數(shù)的差或三個數(shù)的和，你將有什么發(fā)現(xiàn)？從而引出更深層次的思考與想象，讓學(xué)生發(fā)揮自己的能力，展開新的自主猜想，舉例說明并驗證……在學(xué)生表征過程中，進一步豐富學(xué)生對于乘法分配律的認識與理解，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)中的深度思考。

將多元表征滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，可以促進數(shù)學(xué)知識的理解與溝通，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，引發(fā)學(xué)生深度思考，促進學(xué)生數(shù)學(xué)智慧生長。

三、幫助學(xué)生理解概念，促進數(shù)學(xué)知識多元建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一項重要內(nèi)容是數(shù)學(xué)概念，學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的首要條件就是掌握數(shù)學(xué)概念，計算和解題的重要前提是理解數(shù)學(xué)概念，它是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)知識的起點及邏輯推理的依據(jù)、數(shù)學(xué)方法的載體，是正確、合理、迅速進行數(shù)學(xué)運算的保證。在數(shù)學(xué)課堂中運用多元表征，能幫助學(xué)生從多角度深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)概念變得可視可感，有利于學(xué)生把握概念的理解，有利于建構(gòu)知識體系。

小學(xué)低年級學(xué)生正處于具體形象思維水平階段，因此在概念建構(gòu)時，學(xué)生不僅要清楚相關(guān)概念的文字描述，更要體現(xiàn)在思維發(fā)展和認知完善的過程中。在概念教學(xué)中，學(xué)生理解概念時應(yīng)該從具體出發(fā)，讓學(xué)生多角度、多感官體驗，然后再從具體表象中抽象概念內(nèi)涵，這時的抽象是理解后的，這也是學(xué)生對于概念建模的過程。借助數(shù)學(xué)多元表征可以幫助學(xué)生從多角度深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提升概念教學(xué)的實效性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思維能力。

“倍的認識”是人教版三年級上冊第五單元的內(nèi)容，“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較抽象的概念，又是很重要的概念，“倍”的含義對于學(xué)生來說比較抽象，不容易理解。“倍”的概念的建構(gòu)，不僅需要將“幾倍”和“幾個幾”建立聯(lián)系，更需要借助多元表征方式之間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生逐層建構(gòu)“倍”的概念。

課上，教師為學(xué)生提供學(xué)具，創(chuàng)設(shè)一個開放的探究空間，讓學(xué)生通過擺一擺、圈一圈、畫一畫、算一算等多種表征方式，借助多元表征方式自主探究兩種蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系。把抽象的新知識“倍”與學(xué)生掌握的“幾個幾”建立聯(lián)系，從而幫助學(xué)生理解“倍”的含義。下面是學(xué)生課上的作品。

實物表征，如圖5。

圖5

圖形表征，如圖6。

圖6

語言表征：如果把2個胡蘿卜看成1份，紅蘿卜有這樣的3份，是3個2，紅蘿卜的個數(shù)是胡蘿卜的3倍。

算式表征：6÷2=3。

課上通過展示學(xué)生的擺法，幫助學(xué)生理解“倍”的含義，接著在展示學(xué)生圈畫的方式時，加深對“倍”的理解，突出“倍”的本質(zhì)。通過展示學(xué)生線段圖的表達方式，抽象出“倍”的線段圖模型，最后通過對學(xué)生除法算式的展示，溝通“倍”與除法的聯(lián)系。學(xué)生在觀察、交流、操作的過程中，經(jīng)歷了“倍”概念的形成過程，符合兒童“直觀—半直觀半抽象—抽象”的認知過程，理解“倍”的含義。建立了“幾倍”與“幾個幾”的聯(lián)系，發(fā)展了學(xué)生的概括能力。使學(xué)生對“倍”的理解不斷深入，讓學(xué)生在多樣化的活動中理解“倍”，在對比與抽象中深化對“倍”的認識。同樣的問題，不同的學(xué)生表征出來的形式是不同的，可以看出學(xué)生不同的認知風格和思維水平。

四、凸顯認知風格與水平，促進深度思維與實踐綜合應(yīng)用能力發(fā)展

如果說數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)知識不斷建構(gòu)聯(lián)系的過程，那么數(shù)學(xué)表達就是實踐應(yīng)用和思維提升的過程。借助數(shù)學(xué)多元表征，建構(gòu)數(shù)學(xué)各種表征的聯(lián)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視可感，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)實踐綜合應(yīng)用的能力。

有的學(xué)生用具體直觀形象的模擬圖表征，有的學(xué)生則用線段圖表征，其思維抽象水平高于模擬圖表征的學(xué)生。有的學(xué)生用分數(shù)思想列式解答，有的學(xué)生用比的思想列式解答，還有的學(xué)生用方程思想列式解答。

圖7

圖8

小杯：840÷（4+8）=70ml 大杯：70×4=280ml

圖9

答：大杯容量為280ml，那么小杯容量為70ml。