“審美價值”在數學教學中的應用研究
——以全等三角形為案例

盧 雪 (吉林師范大學，吉林 四平 136000)

一、緒 論

(一)研究背景和意義

1.研究背景

“數學美”來源于人類的生產與生活中,是自然美的客觀反映形式.即人類的日常生活中體現著“數學美”，體現著數學思維領域的美,體現著數學存在形式的美.《普通高中數學課程標準》修訂以來,明確指出高中數學課程的“三維目標”,即知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀;也明確指出學生應認識數學的“四大價值”，即科學價值、應用價值、文化價值與審美價值.因此,在數學教學過程中,教師應充分利用教學資源,理性組織教學內容，有效運用教學媒體，重視學生善于發現美的眼睛，培養學生創新美、創造美的能力，提高學生對數學知識鑒賞美的認知和激勵學生豐富自我的審美情趣.在學習過程中，學生發現數學美、感受心靈美、激勵靈魂美.現代數學教育，教育者更多在意的是學生的學習成績，家長更多在意的是學生在校的成績排名，很少注意數學文化素養的滲透，對于數學美在學習中的滲透更是容易被忽略的，作為未來的教師，重視數學審美價值在學科里的滲透，是至關重要的任務.羅素曾經說過：“數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面,至少可與其他任何一種文化門類媲美.”[1]因此,著重研究審美價值在數學教學過程中的應用價值，以全等三角形為教學研究案例.

2.研究意義

哪里有數,哪里就有美,在整個數學知識體系中,在整個數學方法之中,在整個數學思想之中,無可否認,數學的美都是客觀存在的,比如簡潔美，阿拉伯數字的簡便表示，數學符號、式子的簡潔記法；對稱美，數學圖形中的對稱軸、旋轉等知識，中心對稱、鏡像對稱、軸對稱等；和諧美，黃金比例與圓錐曲線方程等都體現了數學中的“美”.因此,本論文的研究不僅有利于在數學教學中,提高縝密的邏輯思維能力，培養提高學生對數學知識探索的興趣，認知水平和欣賞美的能力,并對學生進行辯證唯物主義思想教育，進而提升學生的綜合素質.國家教育重點培養全面發展綜合素質的人才，學生不僅要把書本上的知識點掌握，更應該體會數學知識中的審美價值、文化價值等；教師不僅注重培養學生的數學成績，更應該注重養成學生的學習習慣與數學意識等；家長不僅在乎學生的考試成績與成績排名，更應該注重學生綜合素質的培養與學習態度.

(二)國內外研究現狀

1.國外研究現狀

國外關于數學審美價值的研究，時間較早且成果顯著,主要在數學美的理論研究和數學美的教學應用兩大方面.早期,古希臘數學家畢達哥拉斯的《美在形式》中指出,“宇宙的美就在于數及蘊含其中的數學美,認識到數學美的存在并揭示了數學美的特征”;20世紀法國學家龐加萊的《科學的價值》中指出,“數學美對數學直覺的重要作用,及其數學直覺對數學的創造發明的價值”;美國數學家克萊因的《西方文化中的數學》中指出,“音樂能激發情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科技可以創造生活,但數學卻能提供上述全部”[1].這無疑肯定了數學審美價值重要的地位及作用.總之,國外的理論研究從不同角度揭示了數學美的客觀存在,側重于通過審美體驗進而增進學生創造、直覺、思維能力.

2.國內研究現狀

我國數學家徐利治在《數學方法論選講》中,首次提出數學美問題,引起國內數學界的廣泛關注;國內學者肖柏榮在《數學教學藝術概論》中,從多個角度對數學教學藝術進行深入研究,既有理論價值,也有應用于數學教學實踐的可操作性[3].因此,數學課堂教學中,教師應落實數學美學思想方法,讓學生深入體會到數學美的價值及意義.

劉云章認為數學美是客觀存在的，不僅從哲學觀點出發，論證了數學美在學習與培養學生素質中的價值，而且從數學的簡潔美、邏輯美與和諧美三個層面表達總結數學美的價值與特點.研究總結得出，提升學生的數學審美能力，培養學生的審美意識，有益于學生創造能力的提升與發現歸納等邏輯思維的提升.

新出版的數學課程標準中，尤其重視發展全面素質教育，提升學生的數學素養，將數學文化滲透到教學中，讓學生更深層次體會與感受數學美，培養學生用數學的眼光去發現問題與解決問題的能力，融合環境與審美主體意向.數學不僅僅是學習數學課上的概念、法則、定理與公式，更是促進學生數學的思想、精神和方法的養成.

二、數學審美教育的概念和特征

(一)數學審美教育的概念

科學社會主義的創始人,偉大的革命大師馬克思指出社會的進步就是人類對美的追求的結晶,審美教育又稱為美育.美育即審美價值在教育活動中不斷滲透,21世紀是科技時代、信息時代，學生要用自己的審美能力,主動接受審美教育,教師通過學生對審美教育的反饋，教師通過運用現代媒介積極影響學生審美價值.因此,數學審美價值,是在數學課堂教學中,教師在數學審美對象上,滿足學生在數學學習中的審美需要,引起學生審美感受的體驗.數學學科具有多種價值和特點，是一門不可或略的自然學科，學習數學的人多數認為數學的美極其特別與精致.數學課堂上，教育者應該將數學美滲透在教學知識的方方面面，貫穿教學的各個環節，引領學生善于發現蘊含在數學知識點中的美學，感受數學的簡潔美、對稱美、和諧美等帶來的數學思想，進而提升每名學生的審美能力，提升每名學生的數學情趣，提升每名學生的創造能力等.因此，數學教學中，教育者應將數學美貫穿在教學的各個環節，引領學生發現并感受數學的內在美，提升學生的數學思維品質，培養學生的綜合素質.

(二)數學審美價值的特征

1.數學的簡潔美

數學的簡潔美,是指數學的表達形式和數學理論體系的結構簡潔,是數學結構美的重要標志.例如以往其他記數符號都很煩瑣,而阿拉伯數字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)因其簡潔性而成為國際上的通用符號;又如函數y=f(x),數學家笛卡爾用這一簡潔的表達式,就使兩個變量x和y通過對應法則聯系在一起.這些都深刻地、靈活地表現了數學的簡潔美.數學中的簡潔美，更多展現的是數學思想與數學方法的“化繁為簡”.

數學歸納法的巧妙運用，在數學問題中試圖進行數學猜想，并進行一般性驗證時，不僅減少了運算量，也設計出了簡潔的計算推理步驟，進而得出數學問題的答案，既節省學生的寶貴時間，也免得讓學生感受復雜冗長重復的核驗而感到枯燥乏味；笛卡爾，坐標系的發明人，大膽提出設想，當遇到幾何問題時，利用數形結合思想，將幾何圖形看成是由無數個點組成或由具有某種特點的點的運動軌跡構成，并以方程的形式體現這個特定的點的運動軌跡，而方程的解就是圖像上每一個點的坐標，進而不管多么繁雜且困難的幾何問題，都可轉化成代數問題進行解決，簡潔且有效；數學中的轉化與化歸思想，將未知轉變為已知，將復雜問題轉化為簡單問題，也體現了數學的簡潔美.

2.數學的對稱美

數學的對稱美在幾何學部分得到了完美的詮釋,中心對稱、鏡像對稱、軸對稱都給人一種舒適的、均衡的、美觀的感受.畢達哥拉斯派曾提出：“一切平面圖形中最美的是圓形,而一切立體圖形中最美的是球體.”對稱是一種形式的、勻稱的、圓滿的美感[2].

數學美中最常見、最普遍的就是對稱美，最容易發現的就是數學知識點中的對稱性，是最常見的一種形式，即數學內容與知識結構間的協調所表現出來的對稱.比如在學生學習數學概念、數學法則、數學定理和數學公式中也存在著對稱關系，函數與減函數及二項式定理體現出的統一、對稱都展現了其美的價值；指數與對數體現出的統一、對稱使人感到對稱美的奇妙；在數學圖形幾何知識點中平移對稱、旋轉對稱、鏡像對稱，使得枯燥乏味的數學知識處處充滿美感，給人以視覺享受，時時刻刻都體現數學美.在數學教學中，讓學生多觀察幾何圖形、定理等蘊含的對稱性，發現其對稱美，提高學生的審美能力，培養學生的數學學習興趣，提高學生在解題中構造對稱并尋求解題策略與解答方法的意識.

3.數學的和諧美

學生學習的數學概念、法則、定理和公式，在滿足一定的條件后，即使在各種各樣的數學分支下，也能將知識統一，融合到一起，將雜亂無章轉化成有序和諧的整體.在教學中，教育者將數學的和諧美體現在數學概念、數學法則、數學定理和數學公式中，將數學知識與自然融合，將數學思想與生活問題融合，將數學習慣與人生哲理融合，數學的和諧美至關重要.

三、“審美價值”在數學教學案例中的應用研究

(一)全等三角形的審美教學設計

1.審美因素分析

從字面來看,全等三角形就是兩個或多個圖形之間完全重合,通過平移、旋轉、翻折等幾何操作過程體現數學的簡潔美、對稱美、和諧美等美學意義.教師利用多媒體展示全等的圖片,引起學生對全等圖形的好奇,有助于創設美的教學情境[4].

2.教學目標

(1)情境與問題：通過全等形圖片的引入創設美的教學情境,在情境中發現圖形中的全等；聯系生活實際，學生動手、動腦、動用感官來發現圖形中的全等.

(2)知識與技能：掌握全等三角形的判定條件，并會準確判斷兩個圖形或多個圖形是否全等；理解全等圖形、全等三角形的概念.

(3)思維與表達：分析全等圖形之間的特征，類比出全等三角形之間的特征；鍛煉數學思維與方法，學會用類比等思想來學習新知識，建立新舊知識之間的聯系.

(4)交流與反思：通過平移、旋轉、翻折變換兩個重合三角形的位置,培養學生動態研究幾何圖形的意識,讓學生體驗數學的變換美、統一美；多與同學間交流討論，培養團隊意識，對自己解決出的問題，感受到成就感與滿足感.

3.教學重、難點

(1)重點：理解全等三角形的概念、性質;掌握全等三角形的判定條件.

(2)難點：掌握全等三角形的判定條件,并完成有關計算題.

4.教學過程

(1)創設情境：教師展示圖片,學生小組討論,創設教學審美的教學情境.

(2)引入新課：教師引導學生得出全等圖形、全等三角形的概念;引入平移、翻折、旋轉等幾何變換.教師引導學生得出全等三角形的判定條件，學生在推導過程中體會數學的統一美；判定條件由字母表示為邊角邊SAS、邊邊邊SSS、角邊角ASA、角角邊AAS，在歸納判定條件中感受數學的簡潔美.

(3)鞏固訓練：設置證明題,在數學觀察與解題中感受數學的美.

問題：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，過點A作GE∥BC，角平分線BD，CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E，G.

圖1

①在圖中找出三對全等三角形；

解：圖中的三對全等三角形分別為

△BCF≌△CBD、△BHF≌△CHD、△BDA≌△CFA.

②在你找出的三對全等三角形中，選一對給出證明過程.

證明：因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

又因為BD，CF是∠ABC=∠ACB的角平分線，

所以∠BCF=∠CBD.

所以，在△BCF和△CBD中，

所以△BCF≌△CBD(ASA).

在解題過程中，應用到所學的新知識，即證明全等三角形的判定條件.學生通過習題，對新知識掌握更加牢固，在第①題中，學生對題目進行分析，迅速抓到解題的關鍵信息，準確判斷出全等條件，進而得△BCF≌△CBD,△BHF≌△CHD，△BDA≌△CFA三對全等三角形.在第②題中，需要證明過程，在證明過程中，重要的是，寫清楚邏輯關系，即因為、所以，數學符號的正確書寫、運用，讓學生充分感受到數學中的簡潔美、和諧美.

(4)布置作業：在生活中找到全等的例子，從生活中感受數學知識的色彩，從數學知識中發現生活的影子,體會數學中圖形的對稱美、和諧美.

四、結語與展望

數學審美教學是新型的數學教學方式,其核心就是重視數學的審美價值并充分挖掘數學內容中的美育因素并將其恰當地融入課堂教學中,以此來優化傳統數學教學枯燥無味的弊端[4].教育者應該有效合理地創設教學情境，在各個教學環節中滲透數學美的元素，培養學生善于發現數學美的眼睛，在學習知識中體會數學帶給我們的審美價值與樂趣，使學生不再覺得數學是枯燥乏味的，而是喜歡上數學，體現其價值.

隨著教育教學改革，新課標的修訂，數學審美價值更受重視，數學審美價值教學也不斷發展,望有更多的人從更多的方面對此進行深入細致的研究.