淺談構造法解圓錐曲線中離心率范圍問題

沈 濤

(陜西省寶雞市石油中學 721015)

一般來說，求解范圍問題多構造不等式求解或者構造函數求值域、離心率的范圍問題，還要結合相應的圓錐曲線的定義和性質，構造基本量a,b,c的不等式湊出離心率從而求解，或者構造離心率e關于某個變量的函數求值域，近年來，離心率范圍問題主要有以下幾種類型.

1 構造一元二次方程，利用韋達定理

轉化為方程即(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0有三個不相等的正實根.

解得3b2

2 結合圓錐曲線定義及焦半徑性質

3 構造不等式(組)求解

利用題意結合圖形(如點在曲線內等)列出所討論的基本量(a,b,c)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出離心率的變化范圍.

分析由題意設B(x0,y0)(-a

本題是最常見的求離心率范圍的問題，其方法就是根據已知條件，直接列出關于a，b，c間的不等量關系，然后利用a，b，c間的平方關系化為關于a，c的齊次不等式，除以a2即為關于離心率e的一元二次不等式.

4 構造函數求值域求解

把所討論的離心率作為一個函數的自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求離心率的變化范圍.

分析由橢圓的定義及對稱性求得|AF|+|BF|=2a.

在Rt△ABF中利用直角三角形的性質求得

|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα.

所以2csinα+2ccosα=2a.

分析由已知a2=m2+4,b2=3，

則c2=a2-b2=m2+4-3=m2+1.

5 利用余弦定理構造均值不等式

分析設|PF1|=m，|PF2|=n，根據余弦定理得出mn，則m+n=2a.

由余弦定理,得

6 利用三角函數的有界性構造不等式

所以a2cos2θ+b2(sinθ-1)2≤4b2.

在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，一定要認真分析題設條件，合理構造a,b,c的不等關系或e關于某個變量的函數，把握好圓錐曲線的相關性質，靈活運用構造法，從而達到快速解題的目的.