一類新高考數學開放題的命制設計
——以一道解三角形題為例

丁亞茹 劉小輝

(福建省集美大學 361021)

1 問題提出

為突出對學生綜合能力和學科素養的考查，新高考新增了多項選擇題、邏輯題、數據分析題、舉例題及開放題等新題型.任子朝在高考新題型測試研究中提出，開放題作為新增題型，能夠很好地考查學生的邏輯思維能力與應用意識，也更加契合高考作為選拔性考試對區分度的要求.

實際上，數學開放題早在20世紀70年代便引起了國內外學者的關注，數學開放性試題突破固有的解題模式，側重考查學生綜合運用知識的能力和“執果索因”的思維方式.新高考試題的命制要增強開放性和靈活度，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用，減少識記類題型的命制，增加開放探究類題型的比重.

2 封閉數學題的命制結構

以“解三角形”為例，在試題命制中通常會結合三角函數、三角恒等變換的知識，目的在于考查學生對知識的綜合應用及學科核心素養，本題型常以兩小問的形式出現，試題的設置具有層次性.

題目(2018年全國卷第17題)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(1)求cos∠ADB；

傳統題目的結構一般是由條件、策略和結論三方面構成，其特征是條件完備，策略清晰，結論確定.由封閉題的結構及特征出發，將其改造為開放題，可以有效地改變學生解題的思維定勢，培養學生的創造性思維.

3開放題命制設計——從封閉走向開放

我國的戴再平先生根據未知的要素將開放題劃分為四種類型：條件開放型、策略開放型、結論開放型以及綜合開放型；美國的Silver教授將開放題分為條件開放、最終結果開放、解題過程開放以及三種類型的綜合情況.結合封閉題的結構特征，命題者還可以從單一開放型和綜合開放型兩大類出發進行改造.本文以2018年全國卷第17題解三角形為例，研究單一開放型和綜合開放型兩種命題模式.

3.1 單一開放型

3.1.1 條件開放型

3.1.2 策略開放型

命制題目時可與新定義題型相結合，如將題目第二問改為：以點D為圓心，DC為半徑畫圓，交DB于點E，DF=kDC，給出定義：若從三角形一個角出發向對邊作一條線段，該線段剛好平分此角，則稱該線段為三角形的“吉祥線”.問：當DF為△BCD的“吉祥線”時，求k的取值范圍.題目將角平分線定義改為 “吉祥線”定義，知識點簡單，主要考查學生的轉化思想.在解題策略上，一般采用常規解三角形的方法求解，而擅長幾何的學生又可以運用幾何法求解，這樣不同水平的學生可以從不同的維度去揣摩問題，獲得不同的見解.

3.1.3 結論開放型

3.2 綜合開放型

綜合型開放題將從條件與策略雙開放型以及條件與結論雙開放型兩種情況入手進行改造，有助于考查學生思維的延展性及全局性.

3.2.1 條件與策略雙開放型

條件與策略雙開放型可進行兩種設計，一種是選擇條件，策略不同，結論固定，另一種是補充條件，策略不定，結論固定.

第一種設計可依據2020年北京卷第17題進行改造：以∠ADC=90°為前提條件，將其他條件分類并組合供學生選擇，

條件①：AB=2，BD=5，AD=8；

條件②：∠A=45°，AB=2，BD=5；

學生解答時若不進行篩選和判斷信息而直接選擇條件①，則未考慮到三角形的存在與否.進行篩選后的學生若選擇條件②，運用正弦定理即可求解，此時要注意角的范圍.若選擇條件③，可以運用余弦定理，但計算量較大且易出錯.題目考查的知識點較簡單，但每一個設計都有所不同，有助于區分不同層次的學生.

第二種設計可將題中條件進行挖空處理，讓學生自行補充，提升學生發散性思維能力，解題過程也不再是千篇一律.如將本題中的條件∠A=45°隱去，此時可給定策略，如要求學生運用正弦定理求解，這樣能更精確地考查學生對知識點的掌握情況，或在結論固定的前提下要求學生補充，這樣設計更加靈活，策略也更加多樣.

3.2.2 條件與結論雙開放型

條件與結論雙開放型在設計時可提供多個條件供學生選擇，選擇條件不同，結論不同，如2020年新高考卷第17題，以此為參照將封閉題進行改造：

學生選擇條件②時，可采用余弦定理求解，條件①則為干擾項，選擇條件③時，學生可通過正弦定理求解.

4 結論與建議

4.1 從封閉到開放題的命制路徑

一道題目由條件、策略以及結論三方面構成，通過對這三方面的不同開放方法，設計一種由封閉題轉變為開放題的命制路徑.上述改造方式可以總結為圖1.

4.2 開放題設計建議

4.2.1 強化開放題在教學過程中的應用性

數學教師應該注重對開放題的命制研究，在命制試題的實踐中提升自身的專業能力.在教學過程中，要注重開放題與學科知識的整合，有效改進教與學的方式，如課堂導入環節可以以開放題為背景，快速抓住學生注意力，引出新課題；在新知傳授環節，要有意識地向學生展現多樣化的開放型試題，豐富課堂教學的素材，滿足不同學生在數學上的不同需求，真正做到因材施教.因此，教師應該在教學中潛移默化地滲透開放題思維，促使學生由接受到熟悉再到靈活求解開放題，發展學生學科核心素養.

4.2.2 發揮學生在開放題設計過程中的主體性

教師可帶領學生共同設計開放性試題，學生不再是被動的解題者，而是參與到試題命制的設計者，共同命制的過程既發揮了教師的主導作用，又體現了學生在學習中的主體地位.針對基礎薄弱的學生，教師可以引導他們命制自己認知領域內較簡單的題目，及時給予肯定，使學生樂意并積極投入到試題的命制中，幫助他們重拾學習數學的信心，提高學習數學的興趣；對于數學興趣濃厚的學生，教師則可以鼓勵他們命制豐富多樣的題目，解決了優等生“吃不飽”的現象.試題中蘊含著豐富的知識，教師要引導學生在命制中思考，在思考中命制，實現對知識的意義建構，拓寬探索空間.不同層次的學生設計出多樣化的試題，共同參與探討和交流，這一過程將會給學生帶來全新的學習體驗，讓學生在參與中深度理解、有效創新.

4.2.3 注重開放題改造在高考中的可操作性

為保證高考閱卷的高效準確，開放題需要在題目開放性和閱卷工作量上尋求平衡.開放性過強往往會導致閱卷困難，也不利于分層，這就無法保證閱卷的高效性；開放性不宜過低，否則無法保證開放題發揮應有的功能.其次，開放題的評分標準要具有科學性，處理好區分性和統一性的關系.具有區分性的評分標準體現開放題的區分功能，具有統一性的評分標準保證開放題在高考中的公平性和實施性.再者，受學生認知發展和已有經驗的限制，高考試題應以傳統封閉題為主，開放題為輔，逐步過渡.開放題的創新性特點也要求其起點要放低，注重考查學生對知識的靈活應用.故開放的形式以及程度需要把握好度，這是今后研究需要進一步改進的方向.