巧建坐標系探討高考數學題中空間角的求解技巧

石 巧 陳國華

(湖南人文科技學院數學與金融學院 417000)

1 求異面直線所形成的角

在求異面直線所成角θ時(θ∈(0°，90°])，首先建立空間直角坐標系，然后求出兩直線的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因為θ為銳角，所以選正值即可.

例1(2015年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖1，四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°，E,F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD，BE=2DF,AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

圖1 圖2

解析由∠ABC=120°，四邊形ABCD為菱形，

所以AC⊥BD.

如圖2，以G為坐標原點，分別以BG，CG為x軸，y軸.設|BG|=1,建立空間直角坐標系G-xyz.

小結向量法是純代數運算，避免了繁瑣的推理論證，已成為求解立體幾何問題的主要方法.但是特別要注意的是直線與直線所成角為銳角，所以最后結果要取正值.

2 求直線與平面所成的角

求直線與平面所成角θ(θ∈[0°，90°])與求直線與直線所成角大抵相同，在建立空間直角坐標系后，求出直線的方向向量與平面的法向量，再代入公式求出題目中的相關問題.

例2(2020年全國Ⅱ卷理科第20題)如圖3，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上的一點，過B1C1和P的平面交AB于點E，交AC于點F.設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

圖3 圖4

連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形.

3 求平面與平面所成角即二面角

求二面角時先建立空間直角坐標系，再求出題目里需要用到的點的坐標，進而求得兩個所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

例3(2017年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

圖5 圖6

分析首先找到垂直于底面的一條線作為z軸，我們可以找到等腰△PAD,所以可以以三角形的高作為z軸，從而建立空間直角坐標系，然后求出平面與平面的法向量，將二面角的平面角轉化為向量的夾角,向量法求二面角的大小,是當前解這類題型的主要方法.

解析在平面PAD內作PF⊥AD,垂足為點F.

由題知，AB⊥平面PAD.故AB⊥PF.

可得PF⊥平面ABCD.

設n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量，

設m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量，

可取m=(1,0,1)，則

小結建立空間直角坐標系求解二面角時要將二面角的大小轉化成兩個半平面的法向量的夾角.如果兩個半平面的法向量所指的方向當中，一個指向了二面角的外部，另一個指向二面角的內部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內部或者外部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補角,最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小時要先確定兩個半平面的法向量,然后再根據法向量的方向確定二面角的大小.

本文通過對空間角常考的三個方面進行了分析，主要介紹了如何建立空間直角坐標系來求解這些問題，以及求解這類問題時的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應該如何思考，在建立空間直角坐標系時三維坐標應該如何選取才能使計算得到最簡單化，計算出來的結果應該注意哪些方面尤其是二面角，要注意觀察.