對高中物理沿繩方向加速度關系的探討

鄧 偉

(重慶市開州中學 405499)

1 一道高三復習題的思考

在高中物理教學過程中，筆者遇到一個很有爭議的題目，題目如下：

例1如圖1所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.現將環從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當環沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處)，下列說法正確的是(重力加速度為g)( ).

圖1

A.環剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

D.環減少的機械能大于重物增加的機械能

原參考答案：B.

解析環剛開始釋放后，重物由靜止開始加速上升，故重物有向上的加速度，根據牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg，得，故A項錯誤；

通過與老師的研討中也發現有的認為A為正確答案，解答如下：環剛開始釋放時，環的加速度為g，通過沿繩子方向加速度相等，得到重物在瞬間加速度為0，則繩子的張力F=2mg，故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢？

2 沿繩子方向加速度關系與速度關系是否相同

假設我們認為兩者關系是一致的，以例1為例，設環到B點的加速度向下為aB，此時繩子與桿的夾角為θ，如果我們類比速度之間的關系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.我們用特例進行反證：如果環在外力作用下保持勻速下落，則aB=0，從加速度關系可得，重物上升加速度a物=aB=0，說明重物也是勻速上升.但從速度關聯的角度，當環勻速下落時，因為兩者速度滿足v物=vBcosθ，當環下落過程中，角度θ越來越小，利用余弦函數單調遞減得出重物上升速度是越來越大的，說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結論產生了矛盾，說明假設是錯誤的：沿著繩子方向加速度關系與沿繩子方向速度關系不一定相同.

3 沿繩子方向加速度關系的推導

同樣借助例1，我們用數學方法來推導：

圖2

[f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得：

①

②

③

(其中r為此時環到滑輪與繩的接觸點(后面簡稱接觸點)之間的繩長、v2是環沿著接觸點轉動的線速度，角度θ隨時間增加而減小，所以有負號).

④

將②式、③式和④式代入①式得：

⑤

⑥

綜上分析，我們可以得出結論：環的加速度沿繩子的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環繞點轉動的向心加速度矢量和.

4 高中范圍內，哪些情況物體沿繩子方向加速度相等？

4.1 繩子兩側的物體速度方向與連接的繩子平行，都做直線運動，不存在繞點轉動.

例2如圖3所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上.現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行.已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面.求：斜面的傾角α；

圖3

解析由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，C的加速度為0；AB加速度時刻相等，此時為零.將ABC作為一個整體：

由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0，

4.2 物體做圓周運動等存在繞點轉動的情況，但速度為0

物體即使存在繞點轉動的情況，如果速度為0，向心加速度也為0，所以沿繩子方向的加速度仍然相同，這些情況一般出現在開始運動時或運動結束時.在2018年江蘇卷中，直接涉及到沿繩子方向加速度相等結論的應用.

例3(2018江蘇卷14題)如圖4所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度.細線的一端系有質量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B.質量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l.用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動.忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：

圖4

(1)小球受到手的拉力大小F；

(2)物塊和小球的質量之比M∶m；

(3)小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T.

5 綜述

通過對本問題的探討，筆者獲得如下結論：連接體沿繩方向加速度的關系與速度間的關系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度，也要考慮轉動時的向心加速度.在高中物理學習中，下列情況的加速度之間的關系和速度關系是相同的：1.繩子兩側的物體速度方向與連接的繩子平行，都做直線運動，不存在繞點轉動的情況.2.物體做圓周運動存在繞點轉動時，但速度為0的情況.