利用“對(duì)稱性”巧解碰撞問題

李維富

(云南省昭通市第一中學(xué) 657000)

碰撞問題是有關(guān)動(dòng)量守恒定律的經(jīng)典問題.在求解碰撞后的速度時(shí)，如果是完全非彈性碰撞，很好計(jì)算，但如果是彈性碰撞，涉及到二元二次方程組的求解，計(jì)算難度大.當(dāng)然，這個(gè)方程組的解有特定的公式，可以直接代公式計(jì)算，但是公式不好記.通過分析，可以看出彈性碰撞中有個(gè)“等差數(shù)列”的思想，彈性碰撞是關(guān)于共速時(shí)刻“對(duì)稱”的，利用這種“對(duì)稱性”便很容易進(jìn)行求解，對(duì)這種“對(duì)稱性”進(jìn)行拓展運(yùn)用，還可以快速分析一些其他碰撞類問題.

1 問題的引出

例1如圖1所示，在光滑水平地面上，質(zhì)量分別為m1=3kg、m2=1kg的A、B兩小球分別以速度v1=10m/s、v2=2m/s開始同向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生彈性碰撞(本文所說的碰撞都默認(rèn)為正碰)，求碰后的速度v1′和v2′.

圖1

在彈性碰撞過程中，遵循動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，所以有：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

①

②

聯(lián)立上面兩式求解方程組可以得到：

③

④

將數(shù)據(jù)帶入上面③、④兩式可以算得v1′=6m/s,v2′=14m/s.

解決上述例題需要學(xué)生求解二元二次方程組，比較困難，所以經(jīng)常要求學(xué)生記住③、④兩式，然而在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生記不住，記住了也很容易忘記.能不能找到一種既不需要記公式又能快速地求解的方法呢？答案是可以的.

2 對(duì)于彈性碰撞問題的巧妙解答

在圖1的碰撞情景中，根據(jù)碰撞條件可知，兩小球碰撞之前有v1>v2，碰撞之后有v1′

m1v1+m2v2=(m1+m2)v共

⑤

由⑤式可以算得v共=8m/s,再由v1、v共、v1′構(gòu)成等差數(shù)列可算得v1′=6m/s,同理可算得v2′=14m/s.

⑤式相比③、④兩式要好記得多，也可以不用記憶，直接根據(jù)動(dòng)量守恒定律快速求解出v共，然后再利用等差數(shù)列的思想便可快速的求解碰后速度v1′和v2′.

3 關(guān)于“等差數(shù)列”的思考

對(duì)于“等差數(shù)列”的思想，還可以換個(gè)角度來證明.在圖1的碰撞情景中，根據(jù)彈性碰撞的特點(diǎn)，我們得到了①、②兩式.

①式變形可以得到：

m1(v1-v1′)=m2(v2′-v2)

⑥

②式變形可以得到：

⑦

用⑦÷⑥得到v1+v1′=v2+v2′,或改寫成v1-v2=v2′-v1′

⑧

⑧式中v1-v2代表碰前A、B兩小球“接近”的相對(duì)速度，v2′-v1′代表碰后兩小球“分離”的相對(duì)速度，兩者相等.

在圖1的碰撞過程中，因?yàn)樾∏駻、B之間的相互作用，A會(huì)減速(也可能是減為0后反向加速)，B會(huì)加速，可將兩球碰撞過程的速度-時(shí)間(v-t)圖像畫出，如圖2所示(考慮到兩小球并不是做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故將之畫為虛線).

圖2

碰撞過程在0～t2這段時(shí)間完成.在這段時(shí)間內(nèi)小球A的速度從v1(C點(diǎn))減為v1′(G點(diǎn)),小球B的速度從v2(D點(diǎn))增為v2′(F點(diǎn))，在碰撞過程中的t1時(shí)刻兩小球共速(E點(diǎn)).CD段長(zhǎng)度代表兩小球碰前的相對(duì)速度v1-v2，F(xiàn)G段長(zhǎng)度代表兩小球碰后的相對(duì)速度v2′-v1′，前面已經(jīng)證明兩者相等，由此很容易看出△CDE?△GFE.因?yàn)椤鰿DE?△GFE，故C、G兩點(diǎn)關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱，所以v1、v共、v1′構(gòu)成等差數(shù)列；同理，v2、v共、v2′也構(gòu)成等差數(shù)列.

從圖2中還可以看出，兩小球碰撞過程中共速的時(shí)刻t1剛好是整個(gè)彈性碰撞全程0～t2時(shí)間的中間時(shí)刻，彈性碰撞碰前和碰后的速度是關(guān)于共速時(shí)刻對(duì)稱的.

4 關(guān)于“對(duì)稱性”的拓展應(yīng)用

借助上面的圖2，可以換個(gè)角度認(rèn)識(shí)碰撞類問題.從圖2可以看出，碰撞不會(huì)在t1時(shí)刻之前結(jié)束，因?yàn)樵谀侵癆球速度大于B球速度，與碰撞情景相悖，碰撞可能結(jié)束的時(shí)刻t應(yīng)滿足：t1≤t≤t2.

若碰撞在t1時(shí)刻就結(jié)束，那就是完全非彈性碰撞，碰后兩小球共速，相對(duì)速度為0；

若碰撞在t2時(shí)刻結(jié)束，那就是彈性碰撞，碰后兩小球的相對(duì)速度等于碰前的相對(duì)速度；

若碰撞在t1～t2之間的某個(gè)時(shí)刻結(jié)束，則是一般的非彈性碰撞，這時(shí)A球速度還未減到v1′，B球速度還未增到v2′，兩小球的相對(duì)速度小于v2′-v1′，也就小于碰前的相對(duì)速度.

綜上分析可知，無論什么碰撞，碰后的相對(duì)速度不會(huì)大于碰前的相對(duì)速度.

根據(jù)這一思路，可以快速地分析一些其他碰撞類問題.

例2如圖3所示，在光滑的水平地面上質(zhì)量為m的物體A以速度v0與靜止的質(zhì)量為2m的物體B發(fā)生碰撞，則碰撞后物體A的速度大小可能是( ).

圖3

圖4

例3如圖5所示，質(zhì)量相等的A、B兩個(gè)球，初始時(shí)在光滑水平面上沿同一直線相向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A球的速度為6m/s，B球的速度為-2m/s，不久A、B兩球發(fā)生碰撞，對(duì)于碰后A、B速度的可能值，一定無法實(shí)現(xiàn)的是( ).

圖5

A.vA′=-2m/s,vB′=6m/s

B.vA′=2m/s,vB′=2m/s

C.vA′=1m/s,vB′=3m/s

D.vA′=-3m/s,vB′=7m/s

解析因?yàn)榕龊蟮南鄬?duì)速度不會(huì)大于碰前的相對(duì)速度，所以選D.