對一道高中數學課本習題的多種證法探究

董 強

(陜西省西安市第八十五中學 710061)

北師大版高中數學必修5第二章《解三角形》章末復習題二B組有一道證明等邊三角形的試題(第65頁第2題)，題目是在正方形中有一點，使得其到正方形兩頂點連線與正方形一邊均成15°角，來證明該點與正方形其他兩頂點連線與正方形另一邊形成正三角形.

1 試題呈現

試題如圖1，P是正方形ABCD內的一點，且∠PBC=∠PCB=15°.

圖1 圖2

求證：△PAD是等邊三角形.

2 證法探究

分析考慮到正方形和正三角形的對稱性，可以建立平面直角坐標系通過兩點間距離相等證明，或用正余弦定理證明三邊相等，或通過作輔助線利用三角函數證明三個角均為60°，或通過再構造等邊三角形利用平面幾何知識證明原三角形三內角相等，或通過設點或構造圓找點構造等邊三角形，利用同一法證明等.

思路1證明三邊相等.

證法1(建系設點)如圖2所示，建立平面直角坐標系，設正方形邊長|AB|=2，則

C(2,0)，A(0,2)，D(2,2).

因為∠PBC=∠PCB=15°，

所以△PAD是等邊三角形.

證法2(正余弦定理)設|AB|=2，|PB|=x，|PA|=y，在△PBC中，由正弦定理，得

在△PAB中，∠PBA=75°，由余弦定理,得

y2=x2+4-4xcos75°

所以|PA|=2.同理|PD|=2.

所以|PA|=|PD|=|AD|=2.

所以△PAD是等邊三角形.

評析證法1和證法2的思路均為證明三角形的三邊相等，證法1通過建立適當的平面直角坐標系，將點坐標化，則三角形三邊長度相等問題轉化為兩點間的距離相等問題，利用兩點間的距離公式或者向量的模長即可以求解，證法2將邊長問題利用正余弦定理進行解決，從而證得了三角形的三邊相等.這兩種方法是學生最容易想到也是比較簡單的證法.

思路2證明三個角相等均為60°.

證法3 (利用三角函數)如圖3，設正方形的邊長BC=2，過點P作BC和AD的垂線，垂足分別為點G，H，因為∠PBC=∠PCB=15°，所以PB=PC，∠ABP=∠DCP=75°.

圖3

又BA=CD，所以△BPA≌△CPD.

所以PA=PD.

于是點G，H分別是BC，AD的中點，且BG=AH=1.

所以∠PAH=60°.

所以△PAD是等邊三角形.

評析證法3通過三角形中的邊角關系，先證明了兩個三角形的全等，得到了一組對應邊的相等，即證得了目標三角形是等腰三角形，接著通過正切值證明了三角形的一個角是60°，從而說明待證三角形是有一個內角為60°的等腰三角形——即等邊三角形.

思路3構造等邊三角形.

證法4(平面幾何知識)如圖4，在正方形ABCD外取一點F，使得△FBC為等邊三角形，連接PF，因為∠PBC=∠PCB=15°，所以BP=CP，∠ABP=75°，∠FBP=15°+60°=75°.

圖4

又BA=BC=BF，BP=BP，

所以△ABP≌△FBP.

所以∠BAP=∠BFP.

又BF=CF，PF為公共邊，

所以△BPF≌△CPF.

所以∠BAP=∠BFP=30°.

所以∠PAD=60°.

同理∠PDA=60°.所以∠APD=60°.

所以△PAD是等邊三角形.

證法5(平面幾何知識)如圖5，以PB為一邊在正方形ABCD內作等邊△BPQ，連接QD,QC.

圖5

因為∠PBC=∠PCB=15°，

所以∠QBC=60°+15°=75°，∠PBA=75°.

又BA=BC，所以△BPA≌△BQC(SAS).

所以PA=QC.

又∠BPC=150°，∠BPQ=60°，

所以∠QPC=150°.

所以△BPC≌△QPC(SAS).

所以QC=BC.

所以PA=BC=AD.

又△ABP≌△DCP(SAS)，

所以PA=PD.

所以PA=PD=AD.

所以△PAD是等邊三角形.

評析證法4和證法5都是通過構造等邊三角形，利用相關條件證明三角形的全等，證法4求得了目標三角形內角的余角，從而證得了三角形的三個內角都為60°，即說明三角形是等邊三角形，證法5利用三角形的全等證得了相應邊的相等，利用三角形三邊相等證明了目標三角形是等邊三角形.

思路4構造圓.

證法6(同一法)如圖6，分別以點A,D為圓心，以正方形的邊長為半徑作圓，兩圓相交于點R，則△ADR是等邊三角形.

圖6

所以∠RAD=60°，∠RAB=30°.

延長RA交圓A于點M，連接MB，MD，則由AB=AM，得∠BMA=15°.因為BC是圓A的切線，所以∠CBR=∠BMA=15°.

同理可證，∠BCR=15°.

又∠PBC=∠PCB=15°，所以點R與點P重合，故△PAD是等邊三角形.

證法7(同一法)設P0是正方形ABCD內使得△ADP0為等邊三角形的一點，則∠P0AD=∠P0DA=∠AP0D=60°，P0A=P0D=AD=AB=DC.

所以∠BAP0=∠CDP0=30°，∠ABP0=∠AP0B=∠DCP0=∠DP0C=75°.

故∠P0BC=∠P0CB=15°.

而∠PBC=∠PCB=15°，由點P的唯一性可知，點P0與點P是同一個點，所以△PAD是等邊三角形.

評析證法6利用圓的性質給出了找到正方形內使得目標三角形為等邊三角形的點，根據對稱性，正方形內有這樣的四個點，其中每兩個點與正方形四個頂點中距這兩點最近的一個頂點構成等邊三角形，這四個點形成的四邊形是一個小正方形.證法7對證法6的過程進行了簡化，將理論中存在的點設出來，利用同一性證明了等邊三角形.