電磁場作用下金屬凝固過程的建模方法

殷子豪 張 帆 仲紅剛

（上海大學先進凝固技術中心，上海 200444）

金屬的凝固是非常復雜的高溫動態過程，金屬在自然狀態下的凝固組織往往由于溫度梯度而存在凝固的先后次序，從而實現了固/液界面的推進。這一行為最終導致金屬件心部產生縮松縮孔以及成分不均勻等各種缺陷。

由于高效、非接觸的特點，施加電磁場改善金屬凝固組織已成為凝固領域研究的重點。早在1922年，Mcneil就提出了電磁攪拌的專利；20世紀50年代初，Junghaus和Schaaber等在德國Hückingen連鑄機上首次試驗了電磁攪拌[1]，以改善鑄坯質量。美國麻省理工學院Flemings等最早采用脈沖電流細化金屬凝固組織[2]，之后大量學者展開了脈沖電流[3-6]與脈沖磁場[7-13]對金屬凝固組織影響的一系列研究。上海大學翟啟杰團隊將脈沖磁致振蕩凝固均質化技術成功運用于工業實踐[14-17]。

電磁場的引入使凝固過程更加復雜，需要對熔體流動及組織演變行為進行更深入的研究。但由于受實際環境的限制，一般很難直接通過試驗得到結果。近幾年計算機模擬技術的飛速發展，使得數值模擬成為研究這一過程的重要手段之一。但數值模擬很難將所有的變量都考慮到模型中，因此合理的假設是建立數學模型的必要步驟。根據模型所求解的物理量，忽略一部分影響相對較小的變量，或者將其等效在其他物理量上，以便于方程的求解。通常，凝固過程數值模擬需要在建立幾何模型后對不同的幾何域定義不同的物理意義，并根據網格劃分進行離散化處理，最終歸結為多元代數方程組，求解后獲得數值解。通過調整網格劃分與求解方式的設置等可以提高數值解的可靠性，進一步通過實驗室或者工業生產的數據進行校正擬合與驗證，才能得到相對可靠的數值模型，進而從后續的參數化研究中得到接近真實的定量分析結論，以深刻理解金屬熔體凝固過程。

本文綜述了電磁場作用下金屬凝固過程的數值模擬方法及應用，闡述了電磁場作用下流場與溫度場的耦合模型，分析比較了不同模型的應用環境，并展望了未來的發展方向。

1 熔體內電磁場數值模擬

1.1 矢量勢法

Fujisaki等[23]將電磁場視為準穩態場，通過A-φ變量有限元法計算電磁場，對比了旋轉攪拌和平行攪拌的電磁效應，發現旋轉磁場下的電磁力存在渦流分布特征，這有利于提高鑄坯的表面質量及優化夾雜物。Kolesnichenko等[24]通過邊界元法計算了圓形立式連鑄機二冷區的二維電磁場分布，通過邊界元法求解空氣中的磁場分布，獲得的表達式作為求解金屬熔體內部電磁場的邊界條件，再利用A-φ法的有限差分方程求解熔體內部電磁場分布。

Zhang等[10]基于ANSYS中的磁場模塊通過磁矢量勢法得到空間電磁場分布。在模擬引入諧波磁場時，將體積力分為時間相關分量和時間無關分量。通過時均體積力，解決電磁場周期與熔體動量響應時間尺度相差較大的問題。對電磁場和流場采用不同大小的網格，利用線性插值法將電磁力精確插入不同的網格中：

式中：FFLUENT為插值點的時均電磁力密度，該點為FLUENT單元格的質點；FiANSYS為ANSYS中第i個點的時均電磁力密度；di為插值點和第i個點的距離，如圖1所示。

圖1 ANSYS（a）和FLUENT 網格（b）及插值流程示意圖（——ANSYS；···FLUENT）（c）Fig.1 Mesh in ANSYS（a）and FLUENT（b）and schematic diagram of interpolation procedure（——ANSYS；···FLUENT）（c）

1.2 直接求解法

通過直接法[25]也可求解空間磁場分布，即對磁場強度H直接求解，根據Biot-Savart定律，有：

式中：V為材料體積的積分；r為離源點的距離；r′為積分用虛擬變量。

Meyer等[25]利用直接求解法對連鑄方坯和板坯的電磁攪拌過程進行數值模擬，發現三維模型的模擬結果與二維模型的不同，即線圈上下邊緣處鑄坯橫截面上電磁力明顯衰減，縱截面上電磁力以軸向分量為主。

R?biger等[26]通過OPERA 3D 程序模擬了脈沖電極從頂部導入GaInSn共晶合金中的電磁場與流場分布規律。針對電荷守恒和不同電導率材料界面處的電流密度J連續性，即Jn＝－σ1n×▽φ1＝ －σ2n×▽φ2，求解電勢的Laplace方程▽2φ＝0。其中感應磁場利用Biot-Savart定律通過電流密度J＝σ（－▽φ）計算，即：

電勢的邊界條件通過電極末端的電流幅值定義：IDC＝∫Ads×J，其中A為電極橫截面積。模擬發現感應磁場主要集中在電極附近，且最大值出現在電極表面。感應焦耳熱主要分布在電極底部，電極底部的電流密度遠大于其他區域。電磁力同樣集中于電極底部，方向主要向下。Xu等[27]將電極從側面導入工業純鋁中，脈沖電流的表達式可表示為i（t）＝ I0e－αtsin（2πft），其中I0為電流幅值，α為衰減系數，f為電流頻率。為了研究電極位置對組織的影響，分別模擬了電極兩端位于一側和兩側的情況。

Zhang等[28]模擬了脈沖電流作用下定向凝固的鋁硅合金熔體流動情況，熔體中洛倫茲力分布如圖2所示。硅顆粒非對稱時，洛倫茲力的變化主要出現在糊狀區，且初生硅附近的糊狀區受到的洛倫茲力減少，其余區域均增大；V型界面上方，洛倫茲力明顯增強，洛倫茲力的總和將熔體從熔池邊緣推向中心。

圖2 脈沖電流作用下熔體中洛倫茲力分布Fig.2 Distributions of Lorentz force in melt under electric current pulse

式中：Ik和Φk分別為第k匝線圈多相電流的幅值與相移；dlk為線圈的單元長度；dV為熔體的單元體積；｜r－r′｜為熔體中某一點到各自積分單元的距離。

式（16）等號右邊第一項表示磁場的旋轉部分，第二和第三項則分別表示線圈與感應電流對磁場的影響，因此可以涵蓋任意形式感應線圈的電磁場計算，并且不涉及自由空間的電磁場計算，大大節省了計算機的運算時間與存儲空間。這是首次嘗試在三維坐標系下進行方坯和板坯內的電磁場與流場耦合計算，也為今后對方坯和板坯內電磁場、流場和溫度場的復雜建模提供了理論框架。

2 電磁場作用下流場與溫度場耦合模型

由于電磁場、流場與溫度場的時間尺度問題，往往先對電磁場單獨求解，再對流場和溫度場進行耦合求解。目前常用的流場數值法為雷諾平均納維-斯托克斯模型（Reynolds-averaged Navier-Stokes equations，RANS）[30]，由于RANS 采用了經驗壁面定律，可在粗大邊界層上捕捉大速度梯度，因此這種方法具有很高的計算效率，且可精確估計穩態流型[31]。

描述熔體流動的基本方程如下：

不可壓縮流體的質量守恒方程：

不可壓縮流體的動量守恒方程：

式中：Sm為電磁力、熱浮力、流動阻尼力等體積源項。

熔體流動過程中往往伴隨著熱交換，使得熔體溫度不斷變化。因此研究流場的同時，必須考慮熔體的傳熱。根據傅里葉傳熱與能量守恒定律，可得到流體傳熱的能量守恒方程。

描述傳熱過程的基本方程：

式中：Q為熱源項。

金屬凝固傳熱通常分為單個域與多個域兩種方法。焓-多孔介質模型[32-33]是一種能較好地模擬流動與凝固傳熱的單域模型，其考慮了糊狀區內潛熱釋放與流動，收斂性較快，并且與試驗結果[34]吻合較好。這與Bennon 的連續模型[35]和Beckermann的體積平均模型[36]內容基本一致，為后續電磁場作用下熔體內流場與溫度場的耦合模擬奠定了基礎。多域模型[37]由于復雜的界面域網格重構而使用較少。

金屬凝固過程中，糊狀區同時包含柱狀晶、等軸晶和液相，而柱狀晶和等軸晶會阻礙金屬液在糊狀區的流動，進而影響金屬的傳熱與凝固過程。一般采用變黏度法[38-40]和達西源項法[41]處理糊狀區的流動。

2.1 變黏度法

Roplekar等[42]基于體積平均模型，結合潛熱回升-混合長度模型研究了旋轉磁場下鋁合金半連鑄過程中的宏觀偏析現象，并進行了試驗驗證。將式（18）中的熔體黏度μ寫成渦流黏度μt與分子黏度μ0之和，其表達式分別為：

式中：lm表示湍流中液滴混合或碰撞的平均自由程，且lm＝ min（0.435ln，0.09lc），其中ln為距最近壁面的距離，lc為特征長度，本文取圓柱結晶器的半徑；fs為固相率。μ0曲線如圖3（a）所示。

Kumar等[38]在模擬電磁攪拌條件下鋁合金半連鑄凝固過程的相變時，采用Flemings[43]測定的黏度數據（圖3（b））代入方程。研究發現，半固態熔體在結晶器內受電磁力影響，壁面處熔體沿外壁向上運動，中心處熔體沿中軸線向下運動。由于電磁攪拌的作用，結晶器內溫度分布更加均勻。

圖3 黏度隨固相率的變化Fig.3 Variation of viscosity with solid fraction

2.2 達西源項法

然而，黏度變化曲線往往很難獲取，因此達西源項法的應用更為廣泛。但學者對達西源項的表達式存在不同的意見[41，44-46]。目前常用的有一次枝晶臂間距法、二次枝晶臂間距法和經驗值法。其中，大多數學者[36，47-49]依據Carman-Kozeny 方程通過枝晶臂間距確定多孔介質中的滲透率K，滲透率K與達西源項SD的關系為：

（1）一次枝晶臂間距法

Pfeiler等[50]根據Blake-Kozney 方程將達西源項寫成如式（23）所示的形式，其中λ1為一次枝晶臂間距。在此基礎上預測了結晶器內鋼液的流動狀況、凝固坯殼的生長和夾雜物在固/液界面的運動軌跡，并證明了直徑大于一次枝晶臂間距的夾雜物難以被糊狀區捕獲。

Ramirez等[47]分別對比了滲透率K兩種不同計算方法的適用條件，如式（24）、（25）所示。而Gu等[51]則通過式（24）模擬研究了大型鑄錠凝固過程中的流動、溫度及物質濃度分布規律：

Aboutalebi等[52]利用式（26）模擬了拉速、鋼種、水口結構對流型和凝固形態的影響，并與實測結果吻合較好。Willers等[49]根據該方法研究了旋轉磁場下Al-Si合金在模鑄條件下的凝固過程，發現提高變向頻率能消除低頻時熔體中磁場引起的溫度波動現象。

（2）二次枝晶臂間距法

Zhang等[10]基于體積平均模型將焦耳熱與凝固潛熱加入能量守恒方程，利用達西源項處理糊狀區流動問題。設為枝晶干涉臨界固相率，令初始滲透率K0＝（dSDAS）2/180（dSDAS為二次枝晶臂間距）。表1為凝固不同階段的黏度與滲透率。

表1 不同階段的黏度與滲透率Table 1 Viscosity and permeability in the different stages

表1中，χ是使能量守恒方程收斂的較小正數；X為需要求解的變量；Xs表示固相中的對應變量。研究發現[53]，隨著電磁場頻率的增加，熔體流動強度先增大后減小，而溫度場和熔池深度變化不大。

Jiang等[54]在多孔介質模型的基礎上結合表觀黏度模型，建立了電磁攪拌作用下連鑄二冷區凝固行為與溶質傳輸模型；并對柱狀晶區采用多孔介質模型，將等軸晶區視為漿體區，采用表觀黏度模型模擬熔體流場。糊狀區滲透系數K如式（27）所示。對等軸晶區內的鋼液流動情況，采用μm替代式（18）中的μ，如式（28）所示：

Sun 等[55]為了在式（27）的基礎上增加一個較小的正數ξ，給出了二次枝晶臂與局部凝固時間的關系，如式（29）、（30）所示，并利用該方法模擬研究了M-EMS和F-EMS對高碳鋼連鑄方坯凝固過程與元素偏析的影響。通過連鑄坯表面溫度、EMS中心磁通量密度、鑄坯形貌及溶質分布，驗證了電磁場下連鑄坯的凝固與偏析過程。

（3）經驗值法

采用經驗值處理達西源項時引入一個糊狀區系數Amush：

國內外學者[56-57]針對Amush對熔體流動的影響進行了探討。Hietanen等[56]模擬大方坯連鑄結晶器內鋼液流動時發現，較小的Amush會導致鋼液溫度下降較快，而較大的Amush會導致模型計算不易收斂。而李少翔等[57]模擬大方坯連鑄結晶器內的流動凝固行為時，發現隨著糊狀區系數的增大，糊狀區寬度變窄，并給出了合理的糊狀區范圍為（1～5）×108。

Zhang等[58]利用式（31）結合拉格朗日法求解了小方坯結晶器內夾雜物的運動規律，該方法的計算結果與實測值基本吻合。Wang等[59]研究了板坯連鑄中流動控制結晶器對坯殼生長的影響，并通過對比固液相線與實測坯殼厚度的變化曲線，驗證了模型的可靠性。Sun等[60]研究了不同水口類型與M-EMS組合對結晶器內鋼液流動及坯殼厚度的影響，其中Amush＝105。He等令Amush＝108，建立了3種類型的浸入式水口對結晶器內鋼液流動的影響，并通過物理水模型驗證了流場的可靠性。近幾年將Amush代入達西源項模擬研究熔體的凝固過程[44，61-65]已成為一種趨勢。

除了在連續鑄鋼中的模擬應用外，東北大學樂啟熾團隊利用該方法建立了脈沖磁場下鎂合金半連續鑄造的連續介質模型，其中Amush＝105。研究發現，差相脈沖磁場作用下的z向電磁力與z向流速均大于一般脈沖磁場下的，從而導致了更強的對流、更加均勻的溫度分布以及更加細化的組織[66]；同時也分析了電磁力、電流峰值、電壓占空比及頻率對熔體的影響，發現電流增大，熔體流動性增強，導致熔體熱量散失，熔體溫度和熔池深度均降低；頻率的增加則不會引起多大變化；占空比的增加僅對電磁力有所增益[67]。

3 總結與展望

本文介紹了電磁場數學模型、流場與溫度場耦合模型在電磁場處理金屬凝固過程中的建模與應用。總結了求解電磁場空間分布的部分算法模型，其中矢量勢求解法主要應用于時變感應電磁場，可直接用于解決脈沖、諧波等瞬變電磁參數問題；直接求解法一般采用Biot-Savart定律對電流產生的磁場求解，適用于解決直流電等恒定電磁參數的問題，或者先將瞬變信號轉化為等效的恒定信號再求解計算，具有一定的局限性。接著介紹了電磁場作用下流場與溫度場的耦合模型，以基于單域模型的體積平均模型為主，闡述了不同的糊狀區處理方法，其中添加達西源項的方法應用較為廣泛，但對達西源項系數的取值仍存在不同意見；此外，將糊狀區黏度處理為不同形式的函數也是解決方法之一。

目前已能夠相對準確地預測電磁場作用下的熔體演變過程、溫度分布、坯殼生長以及金屬液受電磁力驅動的強制對流流場分布等，但大多仍是基于試驗數據而展開的。將更多的物理場耦合在一起，建立不同空間尺度與時間尺度的數值模擬，并應用于實際工業環境，仍然是個巨大的挑戰。