初中數學命題缺陷分析模型的構建及缺陷規避對策

325600 浙江省樂清市樂成第一中學 陳江嵩

近年來，國家層面對有關命題工作的關注有了新變化，各級教育部門對命題工作越來越重視，涉及命題工作的各級研修越來越多.2019年6月23日，《中共中央 國務院關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》提到“穩步推進初中學業水平考試省級統一命題，堅持以課程標準為命題依據，不得制定考試大綱，不斷提高命題水平”.2019年11月22日，教育部專門為中考命題工作下發《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》，文件指出“考試命題對學校教育教學具有重要引導作用，是健全立德樹人落實機制、扭轉不科學教育評價導向的關鍵環節”，由此可見，國家越來越重視命題及其產生的導向作用.同時，做好命題工作也是精準教學的精準點，研究命題的常見缺陷是提高教師命題技能的精準點，也是精準教學深層次的挖掘點.

一、 相關研究闡述

大部分研究者認為提高命題技能水平需要教師掌握或理解各種技能，有很多書刊介紹各種命題技能，供教師學習，如原浙江省初中教研員許芬英等編著的《數學命題技術研究》[3]，潘小梅所著《初中數學教學研究入門36問》中有一章節提出命制各類數學問題的策略[4]等.也有部分研究者另辟一路，研究命題缺陷，主要針對命題缺陷進行分類并作簡單分析，對教師進行糾錯教育，就像教師在學生犯錯時讓學生從錯誤中得到感悟，如李春雷的《數學命題常見錯誤例析》[5]，王琪的《數學命題中常見的錯誤及其誘因分析》[6]等.綜觀有關命題缺陷研究的文獻資料，它們重分類而輕分析，有待深入，較少涉及規避命題缺陷的對策，尤其缺少可操作的命題缺陷分析模型；文獻資料中用“命題錯誤”來描述命題缺陷是有待商榷的.這些發現為筆者的研究提供了契機.

二、 構建命題缺陷分析模型的過程

在查閱文獻與命題研究分析的基礎上，筆者認為，根據產生命題常見缺陷的誘因和思維層次，可以將出現的各種命題缺陷分為知識性、邏輯性、心理性三大類，由此形成分類框架(如圖1所示).

圖1

考慮到進行命題分析的試題不局限于中考試題，對于“形式創新而缺乏內涵”的界定，筆者認為其界線模糊而難以定性，對于知識性缺陷中的“非適標性”“素材欠缺公平性”“形式創新而缺乏內涵”在模型中也不予設項.此外，對于心理性缺陷中的“順應心理”與“思維定勢負遷移”，這兩個角度過于接近，筆者考慮將其歸于一類：思維定勢負遷移.筆者通過教學實踐的檢驗，鑒定存在命題缺陷的各類試卷，并進行匯總，其中包括近幾年某縣市各校各年級的期末模擬試題、溫州市各縣市各年級的期末試題、近幾年各地部分高中自主招生試題及模擬試題，共56份試卷.筆者將命題缺陷以上述方案進行統計分類，再對統計的結果進行數據分析(如圖2所示).

圖2

以上分類反映了常見命題缺陷.當然，對于諸如“選項設置犯錯”“以偏概全”“概念不清”等命題缺陷的歸類問題，考慮類別設置太多、太雜會不利于研究問題，需要對類別進行精簡.英國數學家Bertrand Arthur William Russell認為數學推理依靠邏輯，數學為其證明所具有的邏輯性而驕傲，“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志，縝密周詳的推理以及對完美境界的追求”[1].邏輯是數學的基本要素之一，數學問題出現缺陷時總會出現邏輯問題，因此，知識性與心理性命題缺陷都可以歸入邏輯性命題缺陷，只是思維層次有所不同.同樣的，筆者將“選項設置犯錯”歸于條件冗缺類，“以偏概全”歸于存在性問題類，“考慮不周”“概念不清”歸于表述不當有歧義類.筆者還添設其他邏輯性缺陷這一類，將有關命題者心理作用引起的設計缺陷、“思維定勢負遷移”歸于此類.于是，筆者重新設計了常見命題缺陷的分類框架(如圖3所示).

圖3

命題常見缺陷分類確定后，筆者基于體現科學性原則、重視符合實際原則、形成良好導向原則等考慮，從背景與目標融合度、表述明晰度、條件精簡度、情境與實際相符度、存在性周全度、其他邏輯嚴密度這六個維度鑒定命題缺陷.參考《華人如何學習數學》一書中關于數學課程的綜合難度模型(如圖4所示)的構建過程[2]，形成命題常見缺陷分析模型(如圖5所示).

圖4

圖5

其中，背景與目標融合度屬于知識技能層面邏輯性，表述明晰度、條件精簡度、情境與實際相符度和存在性周全度屬于數理層面邏輯性，其他邏輯嚴密度主要考慮的是命題者因心理層面問題引起的邏輯性錯誤.因此，從層次上看，從背景與目標融合度到其他邏輯嚴密度呈逆時針方向逐步提升.討論命制問題是否存在缺陷，中間分線左側各個維度(即背景、表述和條件)是首先要考慮的，然后再考慮分線右側的各個維度(即實際、存在性、其他邏輯).基于以上分析，通過表1進行直觀說明.

表1 命題常見缺陷分析維度劃分

為了使模型具有可操作性，筆者制作了《命題常見缺陷指數分析表》(如表2所示)，成立命題審卷分析小組，對審查題目進行分析打分，一顆星為2分，五顆星為優.確定指數分析表中最后數據的方法為求小組成員打分的平均分，再參考進一法，最后集體商議獲得最終結果.

表2

三、 案例：存在性周全度不足與表述明晰度不高的命題缺陷分析

案例一

1.問題來源：某地中考適應性試題

如圖6-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，過點B作BD⊥AB，點C,D都在AB上方，AD交△BCD的外接圓⊙O于點E.

圖6-1

(1)求證：∠CAB=∠AEC.

(2)若BC=3.

①EC∥BD，求AE的長.

②若△BDC為直角三角形，求所有滿足條件BD的長.

2.命題缺陷指數分析

此案例的命題缺陷指數分析如表3所示.

表3

圖6-2圖6-3

3.命題缺陷評析

題目的小問(1)為證明題，命題者意在設置如圖6-1所示的點C和點E的位置，讓學生根據圓內接四邊形對角互補、平角互補，再結合已知條件推得結論∠CAB=∠AEC.但此處對條件的設置考慮不周，存在多種情況，例如當點C在點E上方時，易證得∠CAB+∠AEC=180°，而并非相等(如圖6-2所示)；當點D與點E重合時，∠CAB與∠AEC就沒有什么數量關系了(如圖6-3所示).

筆者認真分析后認為，這個疏漏問題的源頭是命題者在構思問題、設置條件時認為∠BCD為鈍角，則點E始終在點C的上方，形成了思維定勢，忽略了圖形相對位置的不確定性，而此處本需要分類討論.因此，針對小問(1)理應增設一個條件“當點E在點C的上方時”.根據點E與點C相對位置的不確定，小問(3)的求解自然也需要分兩種情況：當點E在點C上方或當點E在點C下方.通過作CM⊥AD，CN⊥BD，垂足分別為點M，N，易證△CME≌△CNB，通過運用勾股定理和方程思想求得BD，進而得面積比(如圖6-4、圖6-5所示).

圖6-4圖6-5

案例二

1.問題來源：某地中考適應性試題

某單位計劃購進A，B，C三種型號的禮品共2700件，其中C型號禮品500件，A型號禮品比B型號禮品多200件．三種型號禮品的單價如表4所示.

表4

(1)求計劃購進A和B兩種型號禮品分別多少件.

(2)實際購買時，廠家給予打折優惠銷售(如打8折指原價×0.8)，在計劃總價額不變的情況下，準備購進這批禮品．

①若只購進B，C兩種型號禮品，且B型號禮品件數不超過C型號禮品的2倍，求B型號禮品最多購進多少件.

②若只購進A，B兩種型號禮品，它們的單價分別打a折、b折，a

2.命題缺陷指數分析

此案例的命題缺陷指數分析如表5所示.

表5

3.命題缺陷評析

此題目中小問(2)的①表述不當，會產生歧義，命題者原意是小問(1)的情況下廠家沒有給予打折優惠銷售，但在小問(2)的題干中明確提出“實際購買時，廠家給予打折優惠銷售”，于是誤導部分學生認為小問(2)的①條件中應該有打折，但又發現題中沒有明確哪種型號打折和打幾折.命題者在題干中為了讓學生理解打折的意思添加了解釋“如打8折指原價×0.8”，被一部分學生誤認為是打8折，于是產生了多種情況的理解：B、C型禮品都打8折；B型禮品打8折，C型不打折；C型禮品打8折，B型不打折.這些困惑會造成學生的多解、計算困難等問題，對此題的評價起了消極作用.

四、 命題缺陷的規避對策

(一)背景與目標融合度不夠

從知識與技能層面思考命題考查目標，可以將背景與目標融合度具體細分為背景與知識目標融合度以及背景與方法技能目標融合度.這類命制缺陷，主要通過調整雙向細目表制作內容和設定制作時間兩方面進行規避.

1.雙向細目表中增設背景與考查目標欄目，認真核對考查目標與背景內容契合度，適當刪增背景材料使其與考查目標一致.

2.雙向細目表設在命制試題前、命制試題后兩次制作，進行前后比對，若發現有問題，根據考查目標改變問題方向，讓背景與目標盡量融合.

(二)表述明晰度不高

命題中的條件表述不明確會給解題者造成邏輯混亂的困擾，造成歧義，影響本題甚至整張試卷的評價效度和信度.數學命題組完成數學題目初稿后，可以邀請其他學科教師參與試題審查，通過學科交叉審查的方式進行評定，可能會產生更好的效果.職業特色帶來的邏輯思維習慣可能使數學教師不易察覺表述中出現的瑕疵，而其他學科教師的參與可以減少出現這方面缺陷的可能性.

(三)條件精簡度不夠

1.審卷人求解命制題目后，將命制題目中的條件與結論置換，再進行求解，這種正逆向解題更容易發現條件的多余與缺少.

2.積極運用信息技術手段，根據已知條件構建圖形查看條件冗缺.

(四)情境與實際相符度不足

近年的中考或其他類型的選拔試題中，出現大量與生活生產緊密聯系的PISA理念類試題，新穎別致，富有生活氣息.但在這些試題的情境中，也有部分情境主觀色彩過濃，與生活實際有著較大落差，缺乏真實性，對此提出一些規避對策.

1.命制題目涉及實際情境數據時，要積極查詢資料，在可能的情況下還需要實際測算，尤其要注意題設應滿足的一些隱含條件或合理范圍.

2.命制題目的情境要具備合情性和可操作性，數據的編制也應具備合理性.

(五)存在性周全度不足

1.“如圖”與“如圖所示”是命制問題繞不開的兩個詞，需要以慎重的態度去對待.圖形給人一種直觀感，讓人容易更快理解題意，但事物總是存在兩面性，有些存在性問題沒有被考慮到，就是因為圖形桎梏思維.有個別地方審查命制題目時采用無圖審查法，將試題中的圖形都去掉后，再讓審卷人根據題意自己構建圖形去解題.

2.積極采用信息技術構建圖形，根據題意改變圖形探討各種可能性.

(六)其他邏輯嚴密度不足

出現其他邏輯嚴密度不足的命題缺陷，是命題者的思維定勢所致.作為中考題能夠被眾多審題教師“漏過”，其原因顯然不僅僅是一句考慮不周所能解釋的，其中更多涉及心理因素，命題者作為個體必然存在思維的局限性，而且會相互影響.審查題目時如果找與命題者零溝通的組外人來進行，那么審題工作可能做得更好.

五、 總結與反思

命題是創造行為，而創造往往需要實踐檢驗，可能存在缺陷，需要不斷改進.規避和改進命題缺陷可以提高教師的命題技能，提高命題技能有利于提高教師教學設計創新能力，進而提高教師的教學水平.命題研究的特性決定研究主體適于有一定教學研究經驗的教師，而新教師由于缺乏必要的命題經驗，難以深入分析.如何構建一種讓新教師也能在命題研究中得到進步與發展的命題模式，也許是今后命題研究的一個方向.