雙指標弱鞅的一類極小值不等式*

馮德成， 賈瑞潔， 慕彩銀

西北師范大學 數學與統計學院， 蘭州 730070

文獻[1]于1982年提出了弱鞅的概念， 之后很多學者對這一概念進行了深入研究[2-6]． 后來， 文獻[7]給出了雙指標弱(下)鞅的概念．

文獻[8]提出了相協隨機變量序列的概念． 文獻[7]將相協的概念推廣到雙指標隨機變量序列中．

定義1[7]一個由雙指標隨機變量構成的集合{Xi，i≤n}被稱為是相協的， 如果對任意兩個分量不減的函數f和g， 有

Cov(f(Xi，i≤n)，g(Xi，i≤n))≥0

這里假設上述協方差存在． 如果一個無限序列的有限子集是相協的， 則稱這個無限序列也是相協的． 滿足上述條件的隨機變量構成的集合也被稱為一個相協隨機域．

定義2[7]{Xn，n∈N2}是一個雙指標隨機變量序列， 如果對?i，j∈N2， 當i≤j時， 有

E[(Xj-Xi)f(Xk，k≤i)]≥0

其中f是使上述期望存在且分量不減的任意函數， 那么稱{Xn，n∈N2}是一個雙指標弱鞅． 另外， 進一步假設f是非負的， 那么稱{Xn，n∈N2}是一個雙指標弱下鞅．

有關雙指標隨機變量序列以及雙指標弱(下)鞅， 很多學者進行了研究[9-13]． 本文主要將文獻[14-15]中關于弱鞅的極小值不等式分別推廣到雙指標弱鞅的情形， 給出了雙指標弱鞅的一類極小值不等式．．

1 主要結論及其證明

定理1設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱(下)鞅， 當k1k2=0時，Yn=0． 進一步假設{cn，n∈N2}是不減的正數序列，g(·)是R上的不減凸函數， 且g(0)=0． 則對任意ε>0， 有

證我們設

B1j={c1jg(Y1j)≤ε} 1≤j≤n2

并且

Bij={crjg(Yrj)>ε， 1≤r

因此

我們設

由于g(·)是不減凸函數， 則h(x)是一個非負不減函數， 并且有

g(y)-g(x)≥(y-x)h(x)

故有

g(Y2j)-g(Y1j)≥(Y2j-Y1j)h(Y1j)

(1)

由(1)式和{cij，i≥1，j≥1}的不減性可得

因此

因此

重復相同步驟， 可得

(2)

同理可得

(3)

結合(2)式和(3)式， 可證得結論

如果在定理1中取g(x)=x， 就可以得到以下推論．

推論1設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱(下)鞅， 假設{cn，n∈N2}是不減的正數序列． 則對任意ε>0， 有

進一步， 若令cn≡1， 則有下面的推論．

推論2設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱(下)鞅， 且g(0)=0， 則對任意ε>0， 有

定理2設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱鞅， 當k1k2=0時，Yn=0． 進一步假設{cn，n∈N2}是一個不增的正數序列，g(·)是R上的不減凸函數， 且g(0)=0． 則對任意ε>0， 有

證設

B1j={c1jg(Y1j)≤ε} 1≤j≤n2

并且

Bij={crjg(Yrj)>ε， 1≤r

由于I(B2j)=I(B1j∪B2j)-I(B1j)且{cij，i≥1，j≥1}為不增的正數序列， 所以

我們設

由于g(·)是不減凸函數， 則h(x)是一個非負不減函數， 并且

g(y)-g(x)≥(y-x)h(x)

所以

g(Y1j)-g(Y2j)≥(Y1j-Y2j)h(Y2j)

(4)

由于I(B1j)是關于Y1j的不增函數， 所以-I(B1)是關于Y1j的不減函數，h(Y2j)(-I(B1j))也是關于Y1j的不減函數， 因此由雙指標弱鞅的定義可知

c2jE[(g(Y1j)-g(Y2j))I(B1j)]≥c2jE[(Y2j-Y1j)h(Y2j)(-I(B1j))]≥0

因此

又因為I(B3j)=I(B1j∪B2j∪B3j)-I(B1j∪B2j)， {cij，i≥1，j≥1}是不增序列， 可得

由于-I(B1j∪B2j)是關于{Y1j，Y2j}的分量不減函數， 故h(Y3j)(-I(B1j∪B2j))也是關于{Y1j，Y2j}的分量不減函數， 由(4)式及雙指標弱鞅的定義可得

c3jE[(g(Y2j)-g(Y3j))I(B1j∪B2j)]≥c3jE[(Y3j-Y2j)h(Y3j)(-I(B1j∪B2j))]≥0

因此

重復相同步驟可得

(5)

同理有

(6)

結合(5)式和(6)式， 該定理得證．

若在定理2中取g(x)=x， 則有下面的推論．

推論3設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱鞅， 假設{cn，n∈N2}是不增的正數序列． 則對任意ε>0， 有

進一步， 若令cn≡1， 則有下面的推論．

推論4設{Yn，n∈N2}是一個非負的雙指標弱鞅， 則對任意ε>0， 有

注1由于EY1j=EYn1j，EYi1=EYin2， 所以推論2與推論4是等價的．

注2由于零均值的雙指標相協隨機變量序列的部分和序列是一個雙指標弱鞅， 故定理1與定理2及相關推論均適用于零均值的雙指標相協隨機序列的部分和序列．