一類趨化-Navier-Stokes系統的整體解的存在性*

劉曦， 劉夢琦， 侯智博

西華大學 理學院， 成都 610039

趨化性是指細菌(細胞)在一定程度上與某些化學物質之間發生的吸引或排斥現象． 文獻[1]提出了一類拋物-拋物型偏微分方程組用來研究基網柄菌的黏菌聚合現象， 其具體形式為

(1)

在實際生物現象中， 微生物的趨化運動與周圍的環境密切相關， 因此， 在研究這類細菌的趨化運動時， 除了考慮自身的運動外， 還要考慮流體對其產生的影響． 為了研究流體中細菌的動力學行為， 考慮下列趨化-流體耦合方程組：

(2)

為了模擬不同生物環境中的趨化機制， 許多學者開始關注經典Keller-Segel模型的各種變體． 文獻[17-18]研究了一類具有間接信號產生機制的趨化模型：

(3)

其中：τ1，τ2，χ>0，Ω?RN(N≤4)是一個光滑有界區域． 這種機制與方程組(1)或(2)中的直接信號產生機制有所不同， 在這種間接信號產生機制中， 細胞先產生第二種化學信號w，w再促進第一種化學信號v的產生， 這在實際生物學背景下也比較常見． 對于此類模型， 文獻[17-18]考慮了在空間維數N≤4時齊次Neumann和混合邊界條件下的情況． 對比之前的結果來看， 文獻[17-18]中具有間接信號產生機制的模型得到的結果和直接信號產生機制的結果具有一定的差異．

文獻[19-20]先后考慮了如下具有間接信號產生機制的趨化-Stokes方程組：

(4)

1 主要結果

與具有直接信號產生機制的趨化-流體方程組相比， 具有間接信號產生機制的趨化-Navier-Stokes方程組的研究才剛剛起步， 許多問題有待解決． 本文考慮如下具有間接信號產生機制的趨化-Navier-Stokes模型：

(5)

其中：Ω?R2是一個具有光滑邊界的有界凸區域，φ∈W2，∞(Ω)，χ∈C2([0， ∞))且存在χ0≥0，α>0使得

|χ(s)|≤χ0(1+s)-αs≥0

(6)

我們將考慮此系統經典解的整體存在性和有界性． 假設初始值滿足

(7)

并且

在上述假設條件下， 我們的主要結論如下：

(8)

‖n(·，t)‖L∞(Ω)+‖v(·，t)‖W1，p(Ω)+‖w(·，t)‖W1，q(Ω)+‖Aβu(·，t)‖L2(Ω)≤C

(9)

對任意t>0成立．

2 若干基本估計

在這一部分中， 我們將提供一些基本的先驗估計． 首先， 給出解的局部存在性結論．

引理1設Ω?R2是一個具有光滑邊界的有界區域，φ∈W2，∞(Ω)， (n0，v0，w0，u0)滿足初值條件(7)， 則存在函數(n，v，w，u)及Tmax∈(0， +∞]使得

(10)

其中n，v，w是非負的， 而且(n，v，w，u)在Ω×(0，Tmax)上為初邊值問題(5)的經典解． 此外， 如果Tmax<∞， 則

(11)

證此引理中局部存在性結論可利用Banach不動點定理和壓縮映像原理證得， 具體過程可參見文獻[21]引理2.1．

引理2對于所有t∈[0，Tmax)， 有

(12)

(13)

并且

(14)

證首先， 對(5)式中第一個方程關于空間變量積分， 利用·u=0和分部積分公式， 得到

所以

同樣， (5)式中第3個方程也對空間變量積分， 再次用分部積分公式和·u=0， 有

根據比較原理， 可得到(13)式成立． 此外， (14)式也可用類似于(13)的證明方法得到．

接下來對n，v，w做以下估計， 這將在后續分析中經常使用． 并且在后續的分析中， 始終取t0∈(0， min{Tmax， 1})．

(15)

以及對所有t∈(t0，Tmax)， 有

(16)

證這里不妨取

(17)

對(5)式中的第1個方程和第3個方程作一些估計(可參看文獻[10]， 引理5.1)， 存在C1>0，C2>0以及C3>0使得

(18)

為了消除不等號右邊的前兩項， 用v乘以(5)式中的第2個方程， 結合Young不等式， 得到

(19)

用4C1乘(19)式并加上(18)式得到不等式

再次用Young不等式， 可以找到C4>0使得

也就是

(20)

因此可以令

那么， 根據(20)式可以得到

y′(t)+y(t)+g(t)≤2C1C3+C4t∈(0，Tmax)

(21)

y′(t)+y(t)≤2C1C3+C4t∈(0，Tmax)

通過比較原理， 有

下面對(21)式關于時間變量積分， 得到

通過H?lder不等式和(12)式可以計算出

因此

從本質上看，大數據也被稱之為，“第三次浪潮的華彩樂章”。因此，我國也在5-10年大數據發展過程中，提出了具體的發展目標與發展任務。所謂的大數據就是在規模超出傳統數據庫的過程中，就可以利用對應的工具進行捕捉、儲存、管理、分析數據等的主要內容探究。除此之外，大數據還展現了智能化的發展特點，可以在針對相關的內容進行行為與結果分析的時候，還可以針對其主要內容進行延伸，最終實現有效的功能性預測［2］。

從而得到了(15)式和(16)式．

根據Gagliardo-Nirenberg不等式和質量守恒性質， 結合引理3可推導出以下結論．

(22)

特別地， 存在C>0使得

(23)

證該引理的證明可參看文獻[10]引理5.2．

下列引理5已經在文獻[10](引理5.3和引理6.1)中得到了詳細地證明， 這里不加證明地給出具體結論．

引理5[10]存在C>0，C(p)>0使得

(24)

此外， 對任意p≥2， 有

(25)

引理6對所有p≥2， 可以找到一個常數C(p)>0使得

(26)

證用vp-1乘以(5)式中第二個方程， 結合Young不等式得到

因此

由于

是非負的， 可以得到

由(25)式和比較原理可以得到(26)式成立．

引理7存在C>0使得對所有t∈(t0，Tmax)， 有

并且對所有t∈(0，Tmax)， 有

證根據文獻[10]中引理6.2可知， 利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式， 經過一系列推導， 可以找到常數C1>0，C2>0和C3>0使得

(27)

在(5)式的第3個方程兩邊同時乘以-Δw， 利用分部積分公式有

(28)

對(28)式等號右邊第2項用H?lder不等式， Gagliardo-Nirenberg不等式以及Young不等式推導出存在常數C2>0使得

(29)

對所有t∈(0，Tmax)成立． 此外， 再次使用Cauchy不等式可以得到

(30)

所以從(28)式中可以推導出對所有t∈(0，Tmax)， 有

(31)

同樣地， 在(5)式的第二個方程兩邊乘-Δv， 對得到的方程做類似于(28)，(29)，(30)的運算， 可以得到

(32)

(33)

記

(34)

利用引理3-5， 存在常數C5>0以及C6>0使得

(35)

并且

因此， 對每個固定的t∈(0，Tmax-t0)， 可以找到t′>0使得t′∈(t，t+t0)并且

由于對所有m>0， 都有

則存在C8>0使得

則有

y(t′)≤C9： =C8+2kC7

由于g是非負的， 因此利用Gronwall不等式和(35)式， 由(34)式得到

(36)

由于對所有t∈(0，Tmax)， 都有

對(34)式關于時間變量積分， 由(35)式可得

(37)

引理8[10]存在常數C>0使得

此外， 對所有p>1， 可以找到C(p)>0滿足

‖u(·，t)‖LP(Ω)≤C(p)t∈(0，Tmax)

證該引理的證明可參看文獻[10]引理6.3與6.4．

3 對n，v，w和u的估計

本節主要推導n，v，w和u在t∈(0，Tmax)上的有界性， 以達到我們證明定理1的目的．

引理9對所有p，p′>1， 存在C(p)，C(p′)>0使得

(38)

(39)

以及

(40)

(41)

由于區域Ω具有凸性， 對(5)式的第1個方程做一系列估計(具體過程參看文獻[10]引理7.1)， 得到

(42)

根據文獻[10]引理7.1知由(5)式中第2個方程可得

(43)

用同樣的方法可以計算出

(44)

將(42)，(43)，(44)式相加得到

(45)

其中C6： =C1+C2+C3+C4+C5． 將不等式(45)整理化簡后得到

接下來， 利用Gagliardo-Nirenberg不等式和(12)式， 存在C7>0和C8>0使得

根據Young不等式和(25)式， 存在C9>0和C10>0使得

所以

其中

定義函數

滿足

y′(t)+C12y(t)≤C11t∈(0，Tmax)

(46)

根據比較原理可以由(46)式推導出不等式

記p′=2q， 得到(38)-(40)式成立．

下面通過引理8和引理9來推導‖n(·，t)‖L∞(Ω)在(0，Tmax)上的有界性．

引理10存在C>0使得對所有t∈(0，Tmax)， 有

‖n(·，t)‖L∞(Ω)≤C

(47)

證引理9和引理8保證了對任意參數p>1， 存在C1，C2>0使得

‖n(·，t)‖Lp(Ω)≤C1t∈(0，Tmax)

以及

‖-nχ(n)v-nu‖Lp(Ω)≤C2t∈(0，Tmax)

因此， 通過用Moser-type迭代[22]的方法就可以直接得到(47)式．

通過前面的相關結論， 可以直接對流體速度場進行估計．

‖Aβu(·，t)‖L2(Ω)≤C(β)t∈(0，Tmax)

(48)

證根據引理9的結果和φ在Ω中的有界性可知存在C1>0使得

‖nφ‖L2(Ω)≤C1t∈(0，Tmax)

所以根據文獻[10]引理3.4可得到(48)式成立．

4 定理1的證明

結合引理9，10和11， 根據爆破準則， 可以得到Tmax=∞． 從前面的證明過程和結論可以看出， 對于任意的t>0， 我們都可以得到(9)式． 至此， 解的存在性和有界性都得到了證明．