省時(shí)省力的輔助圓

山東省滕州市滕南中學(xué) 郭效萍

1 引言

圓是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形，它的一些性質(zhì)，例如，同弧所對(duì)的圓周角相等，半圓所對(duì)的圓周角是直角，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦等，給解決問題帶來(lái)極大的方便.在解答有關(guān)幾何問題時(shí)，并不是圖形中出現(xiàn)圓才利用圓的性質(zhì)，有時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)輔助圓，然后利用圓的性質(zhì)解答，這是解決幾何問題的基本方法之一.

2 利用圓的集合定義構(gòu)造輔助圓

從集合的角度定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.根據(jù)這個(gè)定義可以得到，當(dāng)幾個(gè)點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等時(shí)，則這幾點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上.這樣構(gòu)造輔助圓，解答時(shí)不僅能利用題中的已知條件，而且可以利用圓的一些性質(zhì).

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，分別求∠BDC和∠DBC的度數(shù).

圖1

解法1：(普通方法)

∵AB=AC=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∠ACB=∠ABC，

∠ADC=∠ACD.

∵∠BAC=25°，∠CAD=75°，

∴∠ACB=(180°-25°)÷2=77.5°，

∠DAB=∠DAC+∠CAB=100°，

∠ADC=∠ACD=(180°-75°)÷2=52.5°.

∴∠ADB=(180°-100°)÷2=40°.

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB

=52.5°-40°=12.5°，

∠DCB=∠DCA+∠ACB

=52.5°+77.5°=130°.

∴∠DBC=180°-∠DCB-∠BDC

=180°-130°-12.5°=37.5°.

解法2：(構(gòu)造輔助圓的方法)

由AB=AC=AD，得點(diǎn)B，C，D在以A為圓心，以AD為半徑的圓上，如圖2.

圖2

點(diǎn)評(píng)：比較上面兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助圓后，解決過程明顯簡(jiǎn)潔.這里主要利用了圓周角定理及其推論：同弧所對(duì)的圓周角相等，等弧所對(duì)的圓周角也相等.這是因?yàn)檫@些圓周角都等于它所對(duì)的圓心角的一半.

3 利用圓周角定理的推論構(gòu)造輔助圓

因?yàn)?0°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所以當(dāng)直角三角形的斜邊一定時(shí)，直角頂點(diǎn)一定在以斜邊為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).此時(shí)構(gòu)造輔助圓，可以確定直角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

例2如圖3所示，矩形ABCG(AB

圖3

解析：如圖4所示，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，當(dāng)∠APE為直角時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)在以AE為直徑的⊙O上.又因?yàn)辄c(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)，所以點(diǎn)P就是⊙O與BD的交點(diǎn).由圖4可知，BD與⊙O有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題確定點(diǎn)的方法使用的是交軌法，即從每一個(gè)條件出發(fā)確定一個(gè)點(diǎn)的軌跡，兩個(gè)點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)就是符合題意的點(diǎn).本題兩個(gè)點(diǎn)的軌跡分別是一條直線和一個(gè)圓.

4 利用一個(gè)角對(duì)定線段所張的角度為定值構(gòu)造輔助圓

當(dāng)一個(gè)角對(duì)固定長(zhǎng)度的線段所張開的角度為定值時(shí)，角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓，此時(shí)可以作輔助圓，這條定線段為輔助圓的弦，這個(gè)角為圓周角.此時(shí)可以利用圓的相關(guān)性質(zhì)解答問題.

例3如圖5，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1，0)，(5，0)，點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

圖5

(1)使∠APB=30°的點(diǎn)P有________個(gè).

(2)若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖6

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，如圖6.

由點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)，得OA=1，OB=5，則AB=4.

則OG=OA+AG=3.

過點(diǎn)C作CD垂直于y軸，垂足為點(diǎn)D，連接CP2，如圖6.

由點(diǎn)P1，P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，得∠AP1B=∠AP2B=30°.

(3)如圖7，當(dāng)過點(diǎn)A，B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．理由：

圖7

可證∠APB=∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，如圖7.

由⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，得PE⊥OP.

由EH⊥AB，OP⊥OH，得∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

則四邊形OPEH是矩形，OP=EH，PE=OH=3，得EA=3.

5 利用作輔助圓求最值

圓外一定點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連接而成的所有線段中，有一條最短線段和最長(zhǎng)線段，這兩條線段都在過圓心與圓外一點(diǎn)的直線上，如圖8所示，最長(zhǎng)線段是PA，最短線段是PB.利用這一點(diǎn)，可以求與圓有關(guān)的線段的最值.

圖8

例4如圖9，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為________.

圖9

解析：如圖10，由∠ABC=90°，得∠ABP+∠PBC=90°.又∠PAB=∠PBC，則∠BAP+∠ABP=90°，即∠APB=90°，則點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上.連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小.

圖10

點(diǎn)評(píng)：幾何中求最值的情況包括：(1)利用軸對(duì)稱求線段和的最小值；(2)利用勾股定理求曲面上或不同平面上兩點(diǎn)之間的最短距離；(3)利用三角形相似解決系數(shù)不為1的線段和最小值問題；(4)利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦解決與圓有關(guān)的線段的最值.

幾何問題中作輔助線的方法比較多，如作垂線、平行線、連接、延長(zhǎng)、倍長(zhǎng)中線、旋轉(zhuǎn)三角形等，但作輔助圓這種作鋪助線的方法容易被忽略.上述四個(gè)實(shí)例分別從四個(gè)不同的角度闡釋了在什么情況下需要作輔助圓，如何作輔助圓，作輔助圓后如何利用輔助圓，以期對(duì)學(xué)生突破幾何學(xué)習(xí)有所幫助.