初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的實(shí)踐
——以“二次函數(shù)與一元二次方程”為例

江蘇省南通市如皋市白蒲初級(jí)中學(xué) 管小梅

1 引言

素質(zhì)教育的不斷推進(jìn)要求教師不僅要注重教學(xué)方法的創(chuàng)新，還要提升教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容的契合度，從而更加深入地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索.那么如何促進(jìn)學(xué)生知識(shí)內(nèi)化，如何改變傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生的固有思維就成為探究式教學(xué)活動(dòng)應(yīng)重點(diǎn)思考與解決的問題.

2 教學(xué)分析

2.1 教材解析

二次函數(shù)與一元二次方程是初中階段的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn).本章節(jié)主要引導(dǎo)學(xué)生通過二次函數(shù)圖象解決問題，找到一元二次方程的根.相較于其他計(jì)算方法來說，該方法抽象程度較高，需要學(xué)生具備一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與積累，并能夠靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想[1].

2.2 學(xué)情分析

九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的探究經(jīng)驗(yàn)，了解不同方程的解法及不同函數(shù)圖象特征.該階段學(xué)生普遍具有一定的思維能力與推理能力，但仍有較大的進(jìn)步空間.基于此，本文嘗試借助圖象開展探究活動(dòng)，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應(yīng)用.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)找到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)、一元二次方程解的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；

(2)能夠結(jié)合二次函數(shù)圖象對(duì)一元二次方程的根進(jìn)行判斷；

(3)學(xué)會(huì)使用對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)滲透數(shù)形結(jié)合思想.

2.4 教學(xué)重點(diǎn)

(1)基于一元二次方程根的求解對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行二次研究，并通過二次函數(shù)圖象的應(yīng)用加強(qiáng)學(xué)生關(guān)于一元一次方程求解的記憶；

(2)數(shù)形結(jié)合，找到二次函數(shù)圖象與一元二次方程根之間的關(guān)系.

3 初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)實(shí)踐

3.1 問題引入，滲透知識(shí)

新課程標(biāo)準(zhǔn)改革背景下，教學(xué)設(shè)計(jì)需要凸顯教育價(jià)值，且符合該階段學(xué)生思維發(fā)展邏輯.通過問題引入，回顧一次函數(shù)與一元一次方程，從而順利實(shí)現(xiàn)知識(shí)過渡，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)及一元二次方程產(chǎn)生疑問，從而為本課程教學(xué)提供新的入手點(diǎn)，在問題的驅(qū)動(dòng)下直擊教學(xué)重點(diǎn).

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中的x與一元一次方程kx+b=0(k≠0)的x有什么區(qū)別，上述兩式所考慮的問題重點(diǎn)分別是什么？

(3)總結(jié)一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系.

分析：一次函數(shù)中的x代表未知數(shù)，整個(gè)函數(shù)主要是對(duì)x與y的變化規(guī)律進(jìn)行探究.一元一次方程更多的是尋找基于相等關(guān)系的已知量與未知量的關(guān)系，即側(cè)重于尋找方程的解.通過對(duì)數(shù)學(xué)概念的研究找到問題探究的價(jià)值，符合初中階段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)與課程教學(xué)目標(biāo)緊密相聯(lián)，對(duì)學(xué)生思維發(fā)展及學(xué)習(xí)方法掌握具有積極作用.除此以外，從較低的起點(diǎn)逐漸提升高度，與新課程標(biāo)準(zhǔn)改革提出的“基礎(chǔ)與綜合”的教學(xué)要求相適應(yīng).

3.2 經(jīng)驗(yàn)鏈接，自主建構(gòu)

結(jié)合一次函數(shù)與一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程進(jìn)行類比，并通過數(shù)形結(jié)合的方式找到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程的解.從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，降低學(xué)習(xí)難度.

問題2分別畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3,y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的圖象，并思考下列問題.

(1)觀察圖象，思考方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+2=0的根的個(gè)數(shù)及方程的解；

(2)總結(jié)二次函數(shù)圖象與一元二次方程的根之間的關(guān)系.

分析：通過圖象引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一元二次方程根的情況進(jìn)行判斷，潛移默化中對(duì)一元二次方程的求解方法進(jìn)行思考，同時(shí)通過自主探究與思考強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)圖象的意識(shí)，為數(shù)形結(jié)合思想的形成奠定基礎(chǔ).具體教學(xué)思路如圖1所示：

圖1

3.3 數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化思維

數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)是看形思數(shù)，見數(shù)想形.在掌握一定數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生自己完成拋物線的繪制，并通過圖形觀察解決問題，明白y=ax2+bx+c中的系數(shù)a才是決定二次函數(shù)開口方向的關(guān)鍵，嘗試通過二次函數(shù)基本特征的總結(jié)與概括找到新的問題探討點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生更加深刻地體會(huì)函數(shù)與方程之間的必然聯(lián)系.

問題3已知圖2、圖3、圖4為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，對(duì)稱軸均為x=3.

圖2

圖3

圖4

(1)觀察上述圖象，令y=0，找到拋物線上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)，并嘗試求方程ax2+bx+c=0的根.

(2)若圖4是關(guān)于x的一元二次方程，且方程ax2+bx+c-m=0的解為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，求m的取值范圍.

(3)類比上述結(jié)論，提出新的問題.

分析：該題目的解答需要學(xué)生盡可能多地找到圖中的有效信息，并對(duì)不同的圖象進(jìn)行對(duì)比，通過不同問題的解決找到函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受到二次函數(shù)與一元二次方程問題的解題方法，并嘗試從方程、不等式等角度進(jìn)行思考.

3.4 螺旋遞進(jìn)，解答疑惑

螺旋遞進(jìn)式地解決問題并進(jìn)行變式提問，能夠引發(fā)學(xué)生關(guān)于二次函數(shù)與一元二次方程知識(shí)更加深刻的思考，同時(shí)變式提問過程也在潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)轉(zhuǎn)化為形[2].

問題4已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有公共點(diǎn)，試求k的取值范圍.

結(jié)合上述問題再進(jìn)行以下變式與延伸：

變式1若二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，k的值如何？

變式2已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2圖象與x軸兩交點(diǎn)的距離為2，求k的值

變式3若二次函數(shù)y=x2-4x+k+2圖象頂點(diǎn)到x的距離為2，k的值如何？

引申1假設(shè)y=x2-4x+k+2是函數(shù)值恒大于零的二次函數(shù)，k的取值范圍是怎樣的？

引申2k取何值，二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與直線y=x-1只存在一個(gè)交點(diǎn)？

分析：上述問題的探討重點(diǎn)是二次函數(shù)y=x2-4x+k+2與x軸的交點(diǎn)，通過該問題的探討引申出二次函數(shù)與直線交點(diǎn)的相關(guān)問題，是對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程問題解答步驟的再次強(qiáng)調(diào).引申問題的提出逐漸過渡到高階思維，重點(diǎn)考查學(xué)生解決問題的方法.

3.5 延伸探究，優(yōu)化結(jié)構(gòu)

延伸探究是一個(gè)不斷積累、不斷創(chuàng)造的過程.已知題目?jī)?nèi)容與一元二次方程的解有關(guān)，通過概念類比，尋找問題解決的入手點(diǎn).

問題5圖5為二次函數(shù)y=x2+bx+c與y=x的圖象.以下結(jié)論哪些是正確的？

圖5

(1)b2-4c>0；

(2)b+c+1=0；

(3)3b+c+6=0

(4)當(dāng)1

分析：該問題設(shè)計(jì)鼓勵(lì)學(xué)生以個(gè)人或小組為單位進(jìn)行探究，既是對(duì)二次函數(shù)知識(shí)體系的整理，也能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的吸收與方法匯總.

3.6 技術(shù)輔助，高效探究

由于二次函數(shù)與一元二次方程課程教學(xué)內(nèi)容較多，且抽象程度較高，采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式難以實(shí)現(xiàn)教學(xué)突破，構(gòu)建探究式教學(xué)模式難度較大.基于此，教師可以借助《幾何畫板》等技術(shù)輔助教學(xué)，刺激學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)探究的欲望，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容與過程.例如，課程導(dǎo)入階段教師可通過多媒體設(shè)備為學(xué)生播放小球飛行的視頻，并通過《幾何畫板》進(jìn)行還原，幫助學(xué)生深度理解.

4 結(jié)束語(yǔ)

新課程標(biāo)準(zhǔn)改革背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)相吻合.該階段探究活動(dòng)的開展并不僅僅是教學(xué)方法上的創(chuàng)新，更多的是通過知識(shí)的構(gòu)建促進(jìn)學(xué)生思考、交流，并通過上述問題尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，形成新的數(shù)學(xué)思想，使復(fù)雜度高的問題得到簡(jiǎn)單處理.