基于博弈論的汛期小浪底－西霞院－下游河道水沙資源優化分配研究

王 欣，唐鳳珍，李 想，王遠見

（1.黃河水利委員會 黃河水利科學研究院，河南 鄭州 450003； 2.水利部黃河下游河道與河口治理重點實驗室，河南 鄭州 450003； 3.中國水利水電科學研究院 流域水循環模擬與調控國家重點實驗室，北京 100038）

長期以來，黃河以“水少沙多，水沙異源，水沙關系不協調”著稱于世［1－2］。 其中“水沙關系不協調”是當前黃河亟待解決的核心問題［3］，相應的解決措施應是增水［4］、減沙［5］與調水調沙［6］，以塑造與黃河相適應的協調水沙關系。 在汛期和汛前調水調沙過程中，如果將洪水和泥沙的利害兩面均考慮進來，則水沙資源在水庫群及下游河道之間如何分配就變成了一個典型的利益分配問題。 由于各利益主體（各水庫、河道管理部門）分屬不同單位且具有各自的利益需求，與傳統的定量分析方法和最優化方法僅考慮全局最優解相比，博弈論方法能夠將各利益主體的需求考慮進來，因此博弈論方法在該問題求解中具有獨特的優勢［7］。

目前，國內外專家對基于博弈論的水資源優化配置進行了大量研究，如Dombrowsky［8］理論分析了跨境河流不同用水戶之間水資源互利所需的激勵機制和制度前提，驗證了多人博弈模型的效益共贏假說；Bai等［9］以龍羊峽水庫和劉家峽水庫為研究對象，分析了多種流量調節模式下的梯級水庫優化聯合調度的協同效益；Li 等［10］以水庫發電、生態需水及農業灌溉為綜合目標函數，研究了豐、平、枯水年不同來水條件下瀾湄（瀾滄江和湄公河）流域跨界水資源協同博弈情景；Yu 等［11］通過GAMS 建模優化發電調度和生態流量，通過WEAP 模型模擬瀾湄流域下游五國農業供水量，分析了瀾湄流域跨境水量－水能－生態互饋關系；蘇心玥等［12］利用改進的納什討價還價博弈模型，結合破產理論，加入跨區水資源的時空約束規則，分析了不同的供水情景和博弈權重組合方案下北京市未來水資源配置的合作博弈穩定性與系統可持續性；Janjua 等［13］以巴基斯坦境內印度河流域水資源分配為研究對象，通過對比傳統優化算法與納什討價還價算法計算結果，構建了水外交框架（WDF）來解決水資源供需不匹配的問題；Rahaman 等［14］采用合作博弈理論，研究了孟加拉國和印度共有的提斯塔河流域內水電開發潛力；蔡方園等［15］構建了瀾滄江干流水庫發電效益與生態－出境水的完全信息靜態博弈模型，并分析了水庫發電效益與生態－出境流量之間的競爭博弈關系；宗鑫［16］構建了跨區域協同保護逐級自愿協商平臺及協商層次，對相關利益主體間協商博弈行為進行了分析；王淏等［17］以瀾滄江水電為例研究構建了梯級電站優化調度模型和水電－火電合作博弈模型，提出了改進的夏普利值法對博弈利益進行再分配；付湘等［18］對比分析了討價還價博弈模型與主從博弈模型在水資源利用與排污控制方面的優劣，為水資源利用與水環境保護沖突管理提供了新的協調方法。 但由于水沙關系復雜、水沙聯調基本理論尚不成熟以及博弈論理論體系與博弈模型構建求解過程較為復雜等，因此目前基于博弈論解決多沙河流不同利益主體之間水沙資源配置沖突方面的研究較少［7］。 本文基于博弈論原理，以小浪底水庫、西霞院水庫及下游河道為博弈主體，構建小浪底－西霞院－下游河道（以下簡稱“小－西－下”）水沙資源分配博弈模型，計算不同博弈情景下模型計算結果，并對大聯盟合作情景下小浪底、西霞院、下游河道三方效益進行再分配，以期為利用博弈論實現小－西－下水沙資源優化分配提供參考。

1 模型構建

小－西－下水沙博弈調度實質上是一個復雜大系統的多目標優化問題。 本研究在模型構建和求解時，將防洪目標、供水目標、生態環境目標轉化為約束條件，從而將黃河干流骨干樞紐群調度問題轉化為發電、排沙、河道減淤這3 個目標，即保證發電目標、排沙目標和減淤目標最優。 其中，西霞院水庫由于設計庫容較小，在研究小－西－下動態博弈模型時不考慮其攔沙功能，因此博弈模型中的西霞院水庫效益函數只考慮發電效益，無淤損效益。 考慮到小浪底和西霞院兩水庫排沙對下游河道防洪安全帶來的危害，因此下游河道的效益函數只考慮下游河道的淤損效益。

1.1 不同博弈情景設置

根據汛期小浪底、西霞院、下游河道水沙聯合調度實際情況可知，小－西－下水沙資源分配博弈可出現3種博弈類型，具體包括4 種博弈情景（見表1）：大聯盟合作博弈（小浪底、西霞院、下游河道均選擇合作），單獨博弈（小浪底、西霞院、下游河道均選擇不合作），局部合作博弈（小－西合作、西－下合作）。 不同博弈情景下，博弈三要素不同，但博弈模型的戰略集均與小浪底水庫（水庫1）、西霞院水庫（水庫2）第i天的日均出庫流量Q1，i、Q2，i有關。

表1 小－西－下水沙資源分配博弈模型中多情景設置

1.2 水沙聯合調控計算

以小－西－下水沙調控單獨博弈情景為例，構建小－西－下水沙資源分配博弈模型及數學表達式。

1.2.1 小浪底水庫

效益函數：

式中：a1、b1分別為水浪底水庫效益折算系數（數值見表2）；E1為小浪底水庫的發電效益，億kW·h； ΔV1為小浪底水庫的累計淤積庫容，億m3；T為實測期，d。

（1）發電效益。E1計算公式為

式中：K1為小浪底水庫電站出力系數；Qout1，i為小浪底水庫第i天的日均過機流量，m3／s；H1，i為小浪底水庫第i天壩前平均水位，m；H′0為小浪底水庫發電洞高程，為

135.8 m；Δt為計算時段時長，本文取24 h。

其中，小浪底水庫第i天壩前平均水位可通過對小浪底水庫水位—蓄水量關系曲線進行線性擬合得出：

式中：V1，i為小浪底水庫第i天蓄水量，億m3；c1、c2、c3、c4、c5均為待定系數（數值見表2）。

（2）淤損效益。 ΔV1計算公式為

式中：WS0，i、WS1，i分別為實測期內小浪底水庫第i天的入庫沙量、出庫沙量，t；ρ為水庫淤積泥沙干容重，本文取2 650 kg／m3。

根據水量平衡法則，構建蓄水量—流量關系如下：

式中：V1，1為小浪底水庫實測期內第1 天蓄水量，億m3；Δwk為第k天小浪底水庫蓄水量變量，億m3；Q0，k為第k天小浪底水庫日均入庫流量，m3／s；Q1，k為第k天小浪底水庫日均出庫流量，m3／s。

根據小浪底水庫汛期排沙比經驗公式［19］，構建出庫沙量—流量關系如下：

式中：λ1、λ2分別為待定系數（數值見表2）。

1.2.2 西霞院水庫

效益函數：

式中：a2為西霞院水庫效益折算系數（數值見表2）；E2為西霞院水庫的發電效益，億kW·h。

（1）發電效益。E2計算公式為

式中：K2為西霞院水庫電站出力系數；Qout2，i為西霞院水庫第i天的日均過機流量，m3／s；H2，i為西霞院水庫第i天壩前平均水位，m；H0″為西霞院水庫發電洞高程，為120.2 m；Δt為計算時段時長，本文取24 h。

西霞院水庫水位—蓄水量關系式如下：

式中：V2，i為西霞院水庫第i天蓄水量，億m3；d1、d2、d3分別為待定系數（數值見表2）。

表2 水沙聯合調控模型主要參數

（2）蓄水量—流量關系（水量平衡法則）。 公式為

式中：V2，1為西霞院水庫實測期內第1 天蓄水量，億m3；Δw′k為第k天西霞院水庫蓄水量變量，億m3；Q2，k為第k天西霞院水庫日均出庫流量，m3／s（假設小浪底與西霞院之間無支流匯流，即小浪底出庫水沙條件即為西霞院入庫水沙條件）。

1.2.3 下游河道

效益函數：

式中：b2為下游河道效益折算系數；ΔV3為下游河道淤積沙量，億m3；WS3，i為下游河道第i天淤積量，t。

根據下游河道日淤積量經驗公式［20］，構建出庫沙量—流量關系如下：

式中：QS2，i為西霞院水庫第i天日均出庫含沙量，kg／m3。

1.3 約束條件與初始條件

（1）水位約束。 表達式為

為滿足防洪要求，根據歷年汛期實測數據，小浪底、西霞院日均壩前水位變化范圍分別為［205，250］、［123，134］。

（2）下泄流量約束。 表達式為

水庫下泄流量的下限根據下游供水和生態需水的要求綜合確定，上限由下游汛期防洪安全要求確定。為滿足防汛和生態流量的需求，兩水庫汛期日均出庫流量應在200～4 500 m3／s 范圍內。

（3）優化調度約束。 表達式為

優化調度方案應滿足與真實調度情景下的初末水位相同，即水量平衡。H′1，1、H′1，T分別為小浪底水庫真實調度情況下的初、末水位，m；H′2，1、H′2，T分別為西霞院水庫真實調度情況下的初、末水位，m。

（5）初始條件。 以潼關水文站2019 年7 月1 日至8 月31 日（共62 d）實測水文數據為模型輸入數據來源。 小－西－下水沙聯合調控模型初始條件變量見表3，其中初始蓄水量、初始水位分別為2019 年7 月1 日實測蓄水量及水位，期末水位為2019 年8 月31 日實測水位。

表3 水沙聯合調控模型初始條件變量取值

2 模型運用

2.1 不同博弈情景下模型計算結果

對三博弈方大聯盟合作博弈、單獨博弈、局部合作（小－西合作，西－下合作）及2019 年三博弈方真實運行過程等不同情景下的博弈方案進行計算，得出結果見表4。

表4 不同博弈情景下博弈模型計算結果

由表4 可知，不同博弈情景下的小－西－下水沙分配動態博弈結果均略優于真實運行過程，這說明真實調度過程已經接近于優化調度結果。 在全局角度上（即集體理性），大聯盟合作博弈情景下的小－西－下水沙資源分配效果最好（綜合效益為11.861億元），單獨博弈情景下水沙分配效果最差（綜合效益為11.671 億元）。 在個體效益最優角度上（即個體理性），不同博弈方的效益最優及最差博弈方案不同。 其中：小浪底水庫在不與下游河道合作的情景下（即除參與大聯盟合作博弈之外），效益均為最優（24.310 億元）；西霞院水庫在小－西合作情況下效益最優（0.477 億元），在大聯盟合作情景下效益最差（0.394 億元）；下游河道在大聯盟合作博弈下效益最優（－12.579 億元），在單獨博弈或小－西合作情況下效益最差（－13.114 億元）。不同博弈情景下三博弈方的水沙資源分配情況如圖1所示。

圖1 不同博弈情景下水沙資源分配情況

根據博弈均衡原理可知，在沒有其他干預（如上級流域管理機構干預、不同博弈情景下各博弈方同意進行效益再分配等）的情況下，根據個體最優原則，在2019 年汛期實際水沙調度過程中，小浪底水庫的最優戰略為“不與下游河道合作”，即單獨博弈（｛小，西，下｝）或與西霞院水庫單獨結盟構成“小－西合作”（｛（小，西），下｝）；西霞院水庫的最優戰略為“與小浪底單獨結盟構成小－西合作”（｛（小，西），下｝）；下游河道的最優戰略為“加入大聯盟合作博弈”（｛（小，西，下）｝）。 考慮到真實調度過程中，小浪底水庫與西霞院水庫屬于同一家水電公司管理，因此在2019 年汛期水沙條件下小浪底水庫、西霞院水庫與下游河道水沙資源動態博弈結果應為“小－西合作”，即三者的效益分別為24.310 億、0.477 億、－13.114 億元。

2.2 效益重分配情景下博弈模型計算結果

為進一步研究小－西－下水沙博弈情景的可能性，本研究選取兩種常見的博弈模型效益再分配計算方法即Shapley value 法［21］、Gately point 法［22］，對大聯盟合作博弈情景下的小浪底、西霞院、下游河道效益進行再分配，計算結果見表5。

表5 不同效益再分配方法下博弈模型計算結果

考慮各利益主體（各水庫、河道管理部門）的分屬單位，整理小浪底水庫、西霞院水庫、小－西利益共同體及下游河道可接受博弈情景見表6。

表6 小－西－下可接受博弈情景

由表6 可知，如果將小浪底水庫、西霞院水庫作為利益共同體考慮，小－西利益共同體傾向于選擇“大聯盟＋Gately point 法”。 對下游河道而言，“大聯盟＋Gately point 法”雖不是其最優選擇，但仍優于下游河道不加入小－西合作時的效益（－13.023 ＞－13.114）。根據同一流域水沙資源分配特性可知，位于上游的決策方具有優先決策權，因此最終推薦的利益再分配方法為Gately point 法。 若小浪底、西霞院之間具有較強合作約束力，則在2019 年汛期水沙條件下小浪底水庫、西霞院水庫與下游河道水沙資源動態博弈情景應為“大聯盟＋Gately point 法”，即三者的效益分別為24.318億、0.566 億、－13.023 億元。 相比無約束前提下的“小－西合作”情景，小浪底水庫、西霞院水庫及下游河道采用“大聯盟＋Gately point 法”后整體效益提升1 880萬元。 其中：小浪底水庫運行綜合效益提升80萬元，西霞院水庫運行綜合效益提升890 萬元，下游河道減淤效益提升910 萬元。 相比各自不合作情景，“大聯盟＋Gately point 法”情景下的三者整體效益提升1 900萬元。 其中，小浪底水庫運行綜合效益提升80萬元，西霞院水庫及下游河道效益均提升910 萬元。

3 結 論

本文運用博弈論研究了小浪底水庫、西霞院水庫及下游河道水沙資源優化分配情景及結果，得出如下結論。

（1）以2019 年汛期水沙條件為例，在沒有外界條件及博弈方之間聯盟約束等干預的前提下，小浪底水庫、西霞院水庫及下游河道水沙資源優化分配過程可近似為完全信息靜態博弈。 根據個體理性原則，三者會選擇“小－西合作”的戰略。

（2）以2019 年汛期水沙條件為例，小浪底水庫、西霞院水庫及下游河道的最優決策方案為三者同意選擇大聯盟合作博弈戰略，并達成協議利用Gately point法對大聯盟合作博弈情景下的效益進行再分配（即“大聯盟＋Gately point 法”）。 相比“小－西合作”情景，整體效益提升1 880 萬元；相比各自不合作情景，整體效益提升1 900 萬元。 研究成果展現了博弈論在黃河流域水沙資源優化配置與水庫群優化調度中應用的可行性和廣闊前景。