重過程，促思維
——以“直線與圓的位置關系”一課教學為例

筅甘肅省清水縣第五中學 王建蘭

1 引言

在教學中，要引導和鼓勵學生參與學習，拓展學生參與的范圍和程度，給予學生充分的思考空間和時間，在師生互動和生生互動中迸發智慧的火花，提高課堂效率[1].針對學生參與課堂學習，重視學習過程的教學方式，筆者進行了一些思考和實踐，下面以“直線與圓的位置關系”一課教學為例，談一談自己的實踐，與各位同行進行交流.

2 導入：提出問題——明確研究的方向

師：我們知道生活中處處都是數學，但是學習數學的最終目的都是服務生活，讓我們看一看下面幾個問題.

問題1：有一艘輪船的航線是往返于A和B兩個碼頭，為了能縮短往返時間，現在需要設計一個最短的航線，請說一說你的理由.

生1：我覺得最短的航線是沿著線段AB兩端點之間的直線航行，理由是兩點之間線段最短.

師：講得非常好，但是在A碼頭附近有一個圓形的海島，阻礙了輪船的直線航行.

生2：那就只能繞著這個海島航行.

生3：但是如果這個圓形的海島不影響航行的話，就可以繼續直線航行.

生4：我覺得可以分成兩種情況，第一種，如果這條航線不經過這個海島，輪船可以直線航行；第二種，如果要穿過這個海島，就要改變航線.

師：大家講得都有道理，那我們嘗試把這條航線和海島抽象成直線和圓，就可以探討直線與圓的位置關系.（引入課題）

3 歸納直線與圓的位置關系

師：大家想一想，能不能描述一下點和圓的位置關系？一共有幾種呢？

生5：點和圓的位置關系可以分為點在圓內、點在圓外和點在圓上三種.

師：非常好，那根據你的思考，直線與圓的位置關系有幾種呢？能不能試試把圖形畫出來，并說明你的理由？

生6：我畫出了直線和圓的三種關系.（如圖1）

圖1

師：你畫的理由是什么呢？有什么標準嗎？

生7：我是根據直線和圓的公共點的個數來分的，分為1個點、2個點和沒有公共點.

師：好的，那為什么直線和圓不能有3個、4個……公共點呢？

生8：不在同一條直線上的3個點可以確定一個圓，所以直線與圓不能有3個公共點.

師：太精彩了，生8采用了反證法和我們說明，當一些問題正面無法證明的時候，我們也可以采取反證法進行證明.那么你能給直線與圓的位置關系下個定義嗎？

生9：按照直線與圓的位置不同，利用直線與圓的公共點的個數，可以分為相交、相離、相切三種情況.

師：總結得很全面，那么生活中有沒有直線與圓位置關系的例子呢？

生10：汽車的輪胎與地面就像直線與圓相交.

生11：從太陽日出的過程中就能抽離出直線與圓的相交、相切到相離.

師：你們講得都很好，當鋸子鋸物體時，你們知道有哪些直線與圓的位置關系呢？

生12：鋸子的刀刃剛接觸到物體時是相切；當鋸子開始切割時就成為了相交，而當鋸完物體時就是相離.

4 直線與圓的位置關系的判定

師：剛才我們認識了圓與直線的位置關系，那么大家回憶一下，點與圓的位置關系是如何判定的？

生13：如果圓的半徑是r，同一平面內點到圓心的距離表示為d，當點到圓心的距離大于半徑，即d>r時，點在圓的外面；當點到圓心的距離和半徑相等，即d=r時，點在圓上；當點到圓心的距離比半徑小，即d＜r時，點在圓的里面.

師：很好，我們通過符號語言描述了點與圓的關系，那么我們進行聯想和類比，能不能描述出直線與圓的位置關系呢？

學生進行討論交流，畫圖探討.

生14：如圖2，如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離表示為d，若圓心到直線的距離小于半徑，即d＜r，則直線和圓的位置為相交；若圓心到直線的距離等于半徑，即d=r，則直線和圓的位置為相切；若圓心到直線的距離大于半徑，即d>r，則直線和圓相離.

圖2

師：有道理，那么你是怎么想到這樣比較的方法的呢？你可以選擇直線與圓的一種位置關系為例來說一說.

生15：我選直線和圓相離時來說一下我的做法，當d>r時，作l的垂線OT，點T顯然在圓的外面，那么在這條直線上任意選一點A，連接OA，根據垂直線段最短的原理，可以得到OA比圓心到直線的距離長，也比圓的半徑長，因此直線上的任意一點都在圓的外面，所以直線與圓的位置是相離的.

師：很好，當圓心到直線的距離比圓的半徑長時，直線上的點一定在圓的外面，直線與圓沒有公共點.反過來，如果直線與圓沒有公共點，那么直線與圓相離還成立嗎？

生16：成立，因為當直線與圓相離時，直線上的任意一點都在圓外.

師：很好，那直線與圓相切和相交的情況你們也能分析嗎？

生17：我們可以采用同樣的作l的垂線的方法，利用垂線段進行比較，就可以知道當d=r時，直線與圓相切，當d＜r，直線與圓相交，反過來也是成立的.

師：這樣的證明方法是正確的.剛才我們利用了垂線段和垂足來表述直線與圓的關系，那么在這三種關系中，垂足和圓有什么關系呢？

生19：在直線和圓相交、相切及相離時，垂足分別在圓內、圓上和圓外.

師：很好，其實這里體現了數學的轉化思想，我們把直線與圓的關系與點和圓的位置關系進行了相互轉化.

5 解決直線與圓的位置關系的典型性問題

師：下面我們嘗試利用剛才所學的知識完成練習.

（1）若圓O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，根據下列條件，判斷直線與圓的位置關系：

（2）在△ABC中，∠C為直角，AC的長度為8，BC的長度為6，若以C為圓心畫一個r為半徑的圓，當r分別滿足什么條件時，直線AB與圓C的關系分別是相交、相切、相離？

師：下面請大家解答這樣一道題.

已知如圖3，∠ABC的平分線上有一點P，BC與圓P相切，求證：圓P與AB相切.

圖3

學生思考、討論.幾分鐘以后，有學生舉手.

生20：設圓P的半徑為r，點P到BC的距離為d1，點P到AB的距離為d2，因為BP是角平分線，所以d1與d2相等.由已知條件可得BC與圓P相切，所以d1與r相等，等量轉換，可得d2也等于r，由此證明圓P與AB相切.

師：很好，由此我們可以總結判斷直線和圓的位置關系時，既可以根據定義、直線與圓的公共點的個數判斷，也可以根據圓的半徑和圓心到直線的距離關系判斷.讓我們回到本課最開始的問題，往返于A，B兩個碼頭的輪船能否直線航線，我們是否能抽離出數學的模型呢？

生21：我們可以利用剛才所學的知識進行求解.

師：很好，那么同學們嘗試畫圖進行解決.

學生開始動筆.

師：很好，這道題的解決正體現了數學建模的思想.

6 總結反思

教師列出思考內容，學生對這些問題進行回顧與思考：

（1）本課我們學習了哪些內容？又是通過什么方法進行研究的呢？

（2）判斷直線與圓的位置關系有哪些方法？

（3）如何應用直線與圓的位置關系解決實際問題？

（4）經過本課的學習，你掌握了哪些數學方法和數學活動的經驗？

在學生進行總結的基礎上，教師進一步予以歸納.

總之，在教學中，要從學生已有的生活經驗出發，引導學生參與學習，自主構建知識體系，促進學生全面發展.