課程思政融入“高等數學”的案例研究
——以求函數的極值和最值為例

黎 玲 （梧州職業學院，廣西 梧州 543002）

一、前 言

自2004 年以來，國家先后出臺了一系列關于思想道德建設和大學生思想政治教育工作的文件，上海以此為契機開啟了學校思想政治教育課程改革的探索之路，并于2014 年提出了“課程思政”的理念.2020 年在教育部關于印發《高等學校課程思政建設指導綱要》的通知中指出：專業課程是課程思政建設的基本載體.要深入梳理專業課教學內容，結合不同課程特點、思維方法和價值理念，深入挖掘課程思政元素，有機融入課程教學，達到潤物無聲的育人效果.理學類專業課程，要注重科學思維方法的訓練和科學理論的教育，培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感.

“高等數學”是高職院校面向理工類專業和經管類專業開設的一門公共基礎課程，以“服務專業、服務學生素質教學、服務學生職業發展”為宗旨，以“夠用為度、應用為主”的教學理念實施教學.該門課程除數學知識外，還包含豐富的文化資源和歷史底蘊，具有強大的育人功能，是培養學生立德樹人非常有效的載體，在專業人才培養方面具有重要的地位和作用.如何充分挖掘課程所蘊含的思想政治教育元素，將思政教育貫穿在教育教學全過程，是當前的一個難點，本文以求函數的極值和最值為例，將知識點和思政教育結合進行教學設計，以推動課程思政的教學實踐.

二、教學設計

（一）教學目的

1.知識目的

理解函數極值點、極值和最值的概念；掌握求函數極值和最值的方法.

2.思政育人目標

（1）通過學習習近平“綠水青山就是金山銀山”的理論，使學生意識到生態環保的重要性，并明確這是習近平新時代中國特色社會主義思想中生態文明思想的重要內容；

（2）通過對黨員數學家華羅庚的簡單介紹，讓其思想觀點，嚴謹治學、努力拼搏的精神，追求真理、愛黨愛國的事跡對學生的個人道德意識及品行產生積極的影響，熏陶并提升學生的思想品格；

（3）使學生理解掌握大前提條件、數形結合及轉化的思想方法，局部與整體、變化過程與變化結果的辯證對立統一的思想方法與思維方法；

（4）極值點的多值性，可以使學生客觀全面地看問題，不以個人偏見片面地評價事物；

（5）利用函數的極大值不一定比極小值大，可以培養學生辯證唯物主義觀，使學生明白任何事情都沒有絕對的好與壞之分；

（6）人生之路并不是像一條直線一樣，一帆風順，而是一條有波峰和波谷的曲線，培養學生積極樂觀的生活態度.

（二）教學重點

函數的極值和極值點的概念，用導數判斷函數的極值和最值.

（三）教學難點

函數的極值和極值點的概念，用導數判斷函數的極值和最值.

（四）教學過程

1.引入

首先，教師向學生展示三張圖片，第一張是習近平于2005 年8 月15 日在浙江湖州安吉考察時提出“綠水青山就是金山銀山”的科學論斷；第二張是“綠水青山就是金山銀山”這一科學論斷在2017 年10 月18 日寫入中共十九大報告；第三張是2021 年4 月25 日，習近平到桂林市陽朔縣漓江楊堤碼頭考察，并指出桂林是一座山水甲天下的旅游名城，這是大自然賜予中華民族的一塊寶地，一定要呵護好.其次，教師將桂林的山抽象出來，得到一條連續不斷的曲線，并指出山頂就是極大值，山谷就是極小值，從而引出要學習的內容——函數的極值.

課程思政元素：（1）讓學生懂得“綠水青山就是金山銀山” 是指導中國生態文明建設的主要理論，該理論是習近平新時代中國特色社會主義思想中生態文明思想的重要內容；（2）讓學生意識到生態環保的重要性；（3）使學生掌握從具體到抽象的轉換思想.

2.函數的極值和極值點的概念

首先，給出極值的數學定義：設函數（）在點的某鄰域內有定義，若對該鄰域內任一點（≠），都有：

（1）若（）＜（），則稱（）為函數的極大值，稱為極大值點；

（2）若（）＞（），則稱（）為函數的極小值，稱為極小值點.

極大值和極小值統稱為極值；極大值點和極小值點統稱為極值點.

結合課件中的曲線，指出，，是極大值點，它們所對應的函數值（），（），（）是極大值；，是極小值點，它們所對應的函數值（），（）是極小值.

其次，教師向學生說明如下知識點：

（1）極大和極小只具有局部的意義，因為函數的一個極值只是它在某一點附近的小范圍內的極大值或極小值；

（2）函數在其整個定義域內可能有許多極大值或極小值，比如課件中的曲線就有3 個極大值，2 個極小值；

（3）極大值可能會小于極小值，比如曲線中的極大值（）小于極小值（）.

再次，教師將這條具有多個極值的曲線比為一段曲折的人生，指出極大值就是人生的巔峰，極小值就是人生的低谷，起起落落是必經之路，是成長的過程.

最后，由2021 年是建黨一百周年，引出我國有著跌宕起伏的一生的著名黨員數學家——華羅庚，隨后講述華羅庚努力拼搏、甘于奉獻、愛國愛黨的故事.

課程思政元素：（1）使學生理解掌握數形結合的思想方法；（2）使學生潛移默化地被華羅庚為探索真理而勤奮艱苦的意志品質所熏陶；（3）學習華羅庚為了祖國的事業而放棄國外的優等待遇的愛國精神；（4）學習華羅庚堅定入黨的決心和百折不撓的意志.

3.函數的極值和極值點的判斷

首先，教師結合圖像，一邊演示動畫，一邊給出求極值和極值點的步驟：

（1）確定函數的定義域，這是一個大前提條件；

（2）找分界點，求出一階導數（）以及在定義域內的所有駐點和導數不存在的點；

（3）分析上述所求各點附近的導數符號情況，并填寫在表格中；

（1）確定函數的定義域≠0；

（3）利用分界點劃分定義域，得到4 個開區間，并和分界點一起從小到大寫在表格的第一行；然后判斷在每個區間上導數的符號，并寫在第二行中；導數是正的，則函數單調遞增；導數是負的，則函數單調遞減，并寫在第三行對應的格子中；

（4）先增后降則為極大值，先降后增則為極小值，這些結果寫在第三行中，并指出這里的極大值是比極小值小的.

表1 極值和極值點的判斷

然后下結論：函數的極大值點為＝-1，極小值點為＝1；極大值為（-1）＝-2，極小值為（1）＝2.

課程思政元素：（1）使學生理解大前提條件、變化過程與變化結果的辯證對立統一的思想方法與思維方法；（2）利用極值點的多值性，可以使學生客觀全面地看問題，不以個人偏見片面地評價事物；（3）利用函數的極大值不一定比極小值大，可以培養學生辯證唯物主義觀，使學生明白任何事情都沒有絕對的好與壞之分.

4.函數極值的應用

教師講述利用極值理論拯救生命的故事.1953 年2 月，荷蘭發生了海水倒灌災難，這個災難奪去了1 800 人的生命，毀壞了4.7 萬間居民住宅.災難之后，荷蘭政府迫切需要修筑能保護該國數百年的新海防大堤.由于荷蘭一半以上的國土位于海平面之下，因此該國需要筑起—條條海堤加以防范.科學家們分析了該國有關此類極端事件的歷史數據，根據極值理論的數學原理設計，得出了新建堤防為5 米高的標準，這些海堤用來對付大自然可能發起的最惡劣的挑戰.這樣，1 600 萬的荷蘭居民得到了極值理論的保護.除此之外，極值理論還是新的海事安全建議中的核心內容.

課程思政元素：（1）通過具體的實例，讓學生感受到數學在科學發展和經濟生活中的重要位置；（2）列舉生活中的例子可以提高學生學習的興趣和積極性.

5.函數極值和最值的關系

首先，先給出函數最值的定義：設函數＝（）的定義域為，如果存在實數滿足對于任意的∈，都有（）≤（或（）≥）成立，則稱是函數＝（）的最大值（或最小值），記作＝（）＝（或＝（）＝）.

其次，讓學生觀察下列曲線，然后提問學生：最值一定是極值嗎？最值和極值有什么區別和聯系呢？

圖1 某函數的曲線圖

學生觀察圖形后回答：最小值是（），但它不是極小值；最大值是（），同時它也是極大值.

然后，和學生一起歸納總結極值和最值的區別和聯系.

表2 函數極值和最值的區別

極值和最值的聯系：極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值，所以在開區間（，）上若存在最值，則必是極值.

課程思政元素：（1）使學生掌握數形結合的思想方法；（2）使學生理解局部與整體辯證對立統一的思想方法.

6.最值的求法

首先，教師結合圖像，一邊演示動畫，一邊給出求極值的步驟：

（1）求出（）的所有駐點和不可導點；

（2）計算駐點、不可導點及端點處的函數值；

（3）比較上述點的函數值，最大的為最大值，記為，最小的為最小值，記為.

其次，以求函數（）＝-8+3 在區間［-1，3］上的最大值和最小值為例，進行鞏固.

（1）由（）＝4-16＝4（-2）（+2）＝0 求出駐點＝0，＝2，＝-2（其中?［-1，3］舍去）；

（2）計算駐點、不可導點及端點處的函數值：（-1）＝-4，（0）＝3，（2）＝-13，（3）＝12；

（3）比較函數值.故在［-1，3］上，最大值＝（3）＝12，最小值＝（2）＝-13.

課程思政元素：（1）培養學生將復雜問題簡單化、步驟化的習慣；（2）使學生能夠有條理、嚴密地思考，并清晰準確地表達.

7.最值的應用

首先，教師先引入在實際工程中常會遇到的問題：在一定條件下，怎樣使“產品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”……這類問題可歸結為建立一個目標函數，求這個函數的最大值、最小值問題（設計最佳方案）.

其次，教師講解兩道關于公寓租金和電路方面的例題.

一房地產公司有50 套公寓要出租當月租金定為2 000 元時公寓會全部租出去當月租金每增加100 元時就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200 元的維修費試問租金定為多少可獲得最大收入最大收入是多少

所以每套租金定為3 600 元可獲得最大收入，最大收入為115 600 元.

在如圖2 所示的電路中已知電源電壓為內阻為求負載電阻為多大時輸出功率最大.

圖2

由電學知識可知，消耗在負載電阻上的功率為＝

課程思政元素：（1）從多角度拓展數學知識，并與機電類專業對接，使學生深刻領會學習函數極值和最值的目的和用途，深入理解本課程的基本概念和基本知識；（2）提高學生綜合運用數學思想和方法分析問題、解決實際問題的能力，培養學生的動手能力和創新意識；（3）通過生活中的例子和專業課的例子，提高學生學習的興趣和積極性，從而提高教學質量.

8.總結

首先，回顧極值和極值點的定義和求極值的四個步驟：求定義域、找分界點、列表和下結論；回顧求最值的三個步驟：求駐點和不可導點、計算三類點的函數值、比較函數值.

然后，教師告誡學生：一方面，一個國家、一個民族、一個單位、一個部門以及一個人的一生，本質上都是在追求最大值.同學們在高中是優秀的，是所在班級的極大值，但是來到大學之后，是否還是最大值呢？需要達到最大值，就需要大家努力學習、刻苦鉆研，才能取得好成績.如果沉迷于游戲和網絡，則會變成極小值.除此之外，還要明白天外有天，人外有人，要不斷努力，爭取更大的進步.另一方面，在工作或學習生活中，遇到低谷并不可怕，那只是臨時的，從長遠來看，也許不是真正的低谷，將來還會有高潮，任何時候都不要氣餒.當取得成績的時候也要看長遠，也許還有更高的山峰等待我們去攀登.我們要學會用發展的眼光去看待問題，低谷和頂峰只是人生路上的一個個轉折點，要積極樂觀地面對生活.

課程思政元素：（1）培養學生用發展的眼光看問題；（2）培養學生積極樂觀的態度；（3）通過教師對學生的鼓勵，讓學生意識到不能荒廢寶貴的大學時光，要努力拼搏，積極上進，不斷拓寬自己的知識結構，提升個人能力，成為一名四有社會主義事業接班人.

三、教學反思

以“綠水青山就是金山銀山”“習近平考察廣西桂林”為導向進行引入，在教學過程中講述華羅庚努力拼搏、追求真理、愛黨愛國的事跡，提升學生的思想品格，讓學生理解掌握大前提條件、數形結合及轉化的思想方法，局部與整體、變化過程與變化結果的辯證對立統一的思想方法與思維方法.同時讓學生明白人生之路并不像一條直線一樣一帆風順，而是一條有波峰和波谷的曲線，使他們用發展的眼光看問題，并培養他們積極樂觀的精神.通過將思政教育貫穿于教學始終，使學生在學到知識的同時，學會做人、做事，最終將學生的知識、能力升華為數學素養，有效發揮數學的育人功能.