采用HB-AFT方法的多楔帶附件驅動系統動態響應計算與分析

李 濤，魏政君，上官文斌，呂 輝

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510641)

0 引言

多楔帶傳動作為常見的機械傳動方式，通過多楔帶與帶輪之間的摩擦力進行傳動，具有結構簡單、傳動平穩、制造成本低等特點[1]。多楔帶附件驅動系統通常是由一個驅動輪，若干個附件輪和惰輪，一個張緊器以及一根多楔帶組成[2]，如圖1所示。當驅動輪的扭轉振動傳遞到該系統中，會引起相關的動態響應，如張緊器的擺動、多楔帶的張力波動等[3]。過大的動態響應，會影響系統的平穩傳動，并降低多楔帶、張緊器等零部件的使用壽命[4]。因此，在設計開發初期，需要檢驗多楔帶附件驅動系統的動態響應情況是否滿足使用要求。準確預測系統的動態響應，對該系統的設計開發具有重要的意義。

圖1 多楔帶附件驅動系統結構示意圖

目前已有大量學者對張緊器的建模以及多楔帶附件驅動系統動態響應計算方法進行了研究。在張緊器建模方面，Zhao等[5]將自動張緊器內部的摩擦視作干摩擦，摩擦力的大小與方向只與速度方向有關。該模型物理意義明確，表達式簡單。Zhu等[6]也將自動張緊器內部的摩擦視為干摩擦，并利用雙曲正切函數對其進行連續化，之后展開為傅里葉級數，得到了近似的張緊器模型。Michon等[7]將自動張緊器的輸出力矩分解為3部分，即彈性力距、黏性阻尼力矩以及摩擦力矩。在Dahl模型的基礎上進行簡化，建立了描述自動張緊器遲滯特性的Duhem模型，并推導了Duhem模型中張緊器輸出力矩與張緊器擺角的顯式表達式。Bastien等[8]則利用修正的Dahl模型和Masing模型描述自動張緊器的遲滯特性。

在多楔帶附件驅動系統動態響應計算方法的研究上，目前的計算方法主要分為3類：等效線性化法[3,9-10]、諧波平衡法[6,11]、迭代法[12-13]。將張緊器的摩擦特性簡化為庫倫干摩擦，用諧波平衡法來求解，其計算精度比等效線性化法高，并可分析張緊器的粘滑運動現象。然而，張緊器的實際特性并不完全等同于庫倫干摩擦。為了將更準確的張緊器特性考慮到系統動態計算中，可用迭代方法進行計算，解決張緊器輸出扭矩與響應幅值相互依賴的問題，具有很高的計算精度。但是當系統的自由度較大時，需消耗大量的計算時間。

綜上所述，為了在保證較高計算精度的同時，又提高計算效率，提出用諧波平衡法-時頻域轉換技術(HB-AFT)計算多楔帶附件驅動系統的動態特性。HB-AFT是一種半解析半數值方法，常被用來求解非線性系統的穩態響應[14-15]。其核心思想是在頻域內求解系統微分方程，在時域內求非線性力[16-18]。在計算過程中，通過在時域和頻域之間的切換，既可保證計算精度，又可提高計算速度。

以一個三輪多楔帶附件驅動系統為研究對象，首先建立其數學模型，并基于HB-AFT方法計算在特定激勵下系統的穩態響應情況，在求解過程中考慮了張緊器的非線性遲滯特性。將HB-AFT方法的計算結果與數值積分結果進行比較，驗證HB-AFT方法在計算多楔帶附件驅動系統穩態響應時具有高精度、高效率的特性。

1 多楔帶附件驅動系統的數學模型

1.1 時域數學模型

1.1.1模型假設與簡化

以三輪多楔帶附件驅動系統為例，在建立三輪多楔帶附件驅動系統的數學模型之前，需要先對系統進行一定的簡化[10]：

1)多楔帶在縱向上的質量分布是均勻的，并且忽略多楔帶的蠕變效應；忽略多楔帶的彎曲剛度以及縱向拉伸阻尼；忽略多楔帶與帶輪之間的滑移對系統動態響應的影響，并且不考慮多楔帶橫向振動對縱向振動的影響。

2)各輪的軸承摩擦等效為黏性阻尼，并認為黏性阻尼系數不會改變。

3)忽略張緊器所受重力的影響。

圖2 三輪多楔帶附件驅動系統示意圖

1.1.2系統激勵

在穩態工況時，驅動輪的轉速往往不是保持不變的，而是在平均轉速附近波動，工程上稱這種現象為扭振。此時，驅動輪的轉角可用下式表示：

(1)

式中：N為驅動輪的平均轉速，k為扭振的階次，Ak(N)代表第k階扭振的幅值，φk(N)為第k階扭振的相位，t為驅動輪的工作時間。

驅動輪的扭振會傳遞到多楔帶附件驅動系統中，引起多楔帶的張力波動，帶輪的轉速波動以及張緊器的往復擺動。對于常見的四缸四沖程車用內燃機，2階扭振是主激勵，在常用轉速區間其幅值遠大于其他階次扭振的幅值，如圖3所示。因此，在本文的計算中只取2階扭振作為系統的激勵，忽略其他階次的扭振。

圖3 四缸四沖程車用內燃機各階扭振振幅隨轉速的變化曲線

1.1.3運動方程

Ⅰ 張緊器的模型

如圖4(a)所示，利用Masing模型，將張緊器視作由3部分并聯組成，分別是黏性阻尼ct、線性彈簧Kt以及由干摩擦副與線性彈簧Kl串聯組成的元件[8]。黏性阻尼ct與線性彈簧Kt產生的作用力矩均是線性力矩，而干摩擦副與線性彈簧Kl串聯組成的元件產生的作用力矩則是非線性力矩Mt。Mt的非線性特性正是張緊器非線性遲滯特性的來源，Mt與張緊器擺角θt的關系如圖4(b)所示。

圖4 摩擦式張緊器的Masing模型示意圖

在圖4(b)中，Mf代表干摩擦副提供的滑動摩擦力矩，θa為張緊臂擺動的平衡位置，θm為張緊臂擺角的幅值，θs為黏滯運動的最大幅值。θs可按照式(2)計算：

(2)

已知張緊臂的擺動角度、擺動方向以及擺角幅值時，非線性力矩Mt的分段表達式如式(3)所示：

(3)

Ⅱ 張緊臂的運動方程

對于張緊臂，其受力情況如圖5所示。張緊器的加載方向為逆時針方向，根據動量矩定理，可以建立張緊臂關于其旋轉中心的力矩平衡方程[19]：

圖5 張緊臂的受力情況示意圖

(4)

式中：Ma為張緊器在平衡位置時的彈簧預載，Mb為張緊輪兩側帶段張力對張緊臂產生的合力矩，其計算方法如下[19]：

Mb=T2Ltsinβ2-T3Ltsinβ3

(5)

Ⅲ 帶段張力與帶輪的運動方程

帶段的張力與帶段的伸長量有關系，因此，各個帶段的張力可根據式(6)計算[3,10,19]：

(6)

(7)

式中：T01、T02、T03分別為各帶段的初始張力，Ki為帶段Bi的縱向剛度，E為楊氏模量，A為橫截面積，Δ2和Δ3分別為由于張緊臂擺動引起的帶段B2、B3的長度變化，其精確計算方法見文獻[3]。

對于帶輪i，根據受力平衡關系，其運動方程為[3]：

(8)

1.1.4幾何線性化

式(5)中的β2和β3以及式(6)中的Δ2和Δ3都是關于張緊臂擺角θt的非線性函數，這種非線性關系稱為幾何非線性。在建立三輪多楔帶附件驅動系統的頻域數學模型之前，需要進行幾何線性化。當張緊臂的擺角較小時，可以在張緊臂擺動的平衡位置附近進行幾何線性化[10]。

如圖6(a)所示，當張緊臂往加載方向小角度擺動φt時，可以認為張緊輪兩側帶段與張緊臂的夾角保持不變，即β2和β3分別保持為β20和β30不變。其中，β20和β30分別為張緊器在平衡位置時張緊輪兩側帶段與張緊臂的夾角。張緊臂擺動前后，張緊輪圓心的距離為：

do≈Ltsinφt

(9)

兩張緊輪圓心的連線與帶段B2的夾角α可通過下式計算得到：

(10)

于是，帶段B2的伸長量Δ2為：

Δ2≈-Ltsinφtcosα≈-Ltφtsinβ20

(11)

同理，如圖6(b)所示，帶輪B3的伸長量Δ3為：

Δ3≈Ltφtsinβ30

(12)

如圖6(c)所示，由于假設β2和β3保持不變，則根據式(5)(6)(11)(12)可計算得張緊輪兩側帶段張力對張緊臂產生的合力矩為：

圖6 幾何線性化示意圖

Mb≈Lt[T02+K2(θ2R2-θ3R3)-Ltφtsinβ20]sinβ20-

Lt[T03+K3(θ3R3-θ1R1)+Ltφtsinβ30]sinβ30

(13)

經過以上的幾何線性化過程，β2、β3、Δ2和Δ3都轉化為關于張緊臂擺動的角度φt的線性函數。

1.2 頻域數學模型

當驅動輪不存在扭振時，張緊器處于平衡位置。再根據1.1.1中的假設，可得各帶輪之間的轉角和轉速的關系：

(14)

于是，由式(6)得各帶段的張力為

T1=T01,T2=T02,T3=T03

(15)

將式(14)(15)代入式(8)可得

(16)

當驅動輪存在扭振時，作以下變量替換

(17)

將式(6)(16)(17)回代式(8)，再結合式(4)(11)—(13)可得三輪多楔帶附件驅動系統在張緊臂平衡位置處幾何線性化后的控制方程，整理為矩陣形式，可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

在式(18)-(21)中，[φ2(ω)φ3(ω)φt(ω)]T可視為系統的狀態量，[φ1(ω)]為系統的輸入量，[Mt(ω)]為系統中的非線性量。

2 多楔帶附件驅動系統時域穩態響應求解

2.1 HB-AFT法的原理

時頻域切換技術的核心思想是在時域中求非線性力，在頻域中求解控制方程[16]。時頻域切換技術與諧波平衡法結合，可以進一步提高計算效率。HB-AFT法的原理與計算步驟如下。

對于一個非線性系統，其控制方程一般可以整理為如下的形式[17]：

(22)

將式(22)轉換到頻域可得：

L{ω,X(ω)}=F(ω)+Νf(ω,X(ω))

(23)

根據諧波平衡原理，系統的狀態量、非線性力以及外激勵均可表示為諧波函數疊加的形式[20]：

(24)

式中：ω0為外激勵的基頻，k為諧波階次，H為截斷階次。

當外激勵F(t)已知時，只需要求出諧波系數ak和bk，則可以確定系統的響應情況。

步驟1：迭代初值的求解

(25)

3)假設非線性力為0，即ek和fk均為0向量。將式(24)(25)代入式(23)，可得方程：

(26)

(27)

步驟2：迭代求解過程

(28)

(29)

2)對非線性力的時域序列式進行離散傅里葉變換，得到對應的諧波系數：

(30)

3)將式(24)(25)(29)代入式(23)，可得方程：

(31)

(32)

4)當需要的計算精度為1%時，如果相鄰2次求得的諧波系數滿足式(33)，可認為迭代過程收斂，系統的響應為式(34)。

(33)

(34)

式中：||·||1和||·||∞分別代表向量的1范數和無窮范數，P為系統的自由度數。

2.2 時域穩態響應求解

對一個已知系統參數以及激勵大小的三輪多楔帶附件驅動系統，可以使用HB-AFT法計算其穩態響應。計算流程如圖7所示。

圖7 使用HB-AFT法計算多楔帶附件驅動系統穩態響應計算流程框圖

一個三輪多楔帶附件驅動系統的系統參數如表1所示。

表1 三輪多楔帶附件驅動系統的系統參數

利用HB-AFT法計算以下2種工況的穩態響應：

1)工況1：驅動輪的平均轉速為600 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為3°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時間T取1 s，截斷階次H取5。

2)工況2：驅動輪的平均轉速為900 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為2°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時間T取1 s，截斷階次H取5。

將4階龍格庫塔算法與迭代方法進行結合，計算三輪多楔帶附件驅動系統的穩態響應的過程見圖8。

圖8 使用數值迭代方法計算多楔帶附件驅動系統穩態響應的過程框圖

利用以上2種方法計算得到的張緊臂擺角的穩態響應如圖9所示，穩態響應計算結果及計算時間見表2。

圖9 張緊臂擺角的穩態響應曲線

表2 穩態響應計算結果及計算時間

由圖9可以看到，2種計算方法求得的穩態響應的幅值和相位非常接近。從表2可知，當截斷階次H取5時，HB-AFT法已經有很高的計算精度，并且計算效率非常高，計算速度是數值迭代法的40倍以上。因此，HB-AFT是計算多楔帶附件驅動系統穩態響應的一種高精度、高效的方法，基于此方法可以方便地開展參數分析以及優化的工作。

下面分析截斷階次H對計算精度的影響。選擇工況1作為分析工況，截斷階次H依次取為1、3、5、7、9，根據圖8的計算流程分別計算不同截斷階次下系統的穩態響應。計算結果以及誤差分析見表3和圖10。

表3 不同截斷階次H下穩態響應計算結果

圖10 計算結果、計算時間及相對誤差隨截斷階次H的變化曲線

由表3和圖10可知，隨著截斷階次H的增大，計算得到的張緊臂擺角峰峰值逐漸收斂于一個穩定值，相對誤差逐漸減小。當截斷階次H取5時，已經有相當高的計算精度，相對誤差小于1%。計算時間隨著截斷階次H的增大呈現出先減小后增大的趨勢。截斷階次H為1時計算時間不是最小的原因是，在計算過程中忽略了高階諧波響應，導致計算誤差偏大。計算誤差偏大使迭代過程不容易收斂，因此需要進行更多次的迭代計算，使消耗的計算時間增多。由于非線性系統不具有頻率保持性，在計算過程中不能忽略高階諧波響應，只保留1階諧波會引起較大的計算誤差。因此，在使用HB-AFT法計算多楔帶附件驅動系統的穩態響應時，截斷階次H建議取5或7，此時兼具較理想的計算精度與計算速度。

3 結論

以三輪多楔帶附件驅動系統為研究對象，在一定的扭振激勵下，采用HB-AFT法求解了系統的穩態響應。采用HB-AFT法計算多楔帶附件驅動系統的穩態響應能夠解決張緊器的輸出力矩與響應幅值相互影響的問題，并且具有高精度、高效率的特點。保留5階諧波進行計算時，與傳統的數值迭代法相比，響應的相對誤差小于1%，而計算速度提高40倍以上。張緊臂的擺角響應中除了含有激勵頻率的頻率成分，還包含一些高次諧波成分。在計算時忽略高次諧波成分，會導致計算精度下降，計算速度也得不到明顯的提升。