采用MVFSA算法的射電望遠鏡曲面優化研究

沈世云，王揚帆，羅吉潤，姜誨名

(1.重慶郵電大學 理學院，重慶 400065；2.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引言

中國天眼FAST射電望遠鏡是國家“十一·五”立項的國家大科學工程。作為目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡，其落成啟用對中國加快建設科技強國、實現高水平科技自立自強有重大意義。中國天眼FAST射電望遠鏡的控制系統主要包括望遠鏡總控制、饋源支撐控制和反射面系統三大系統。主反射面設計的目的是調節反射面的形狀和方向，使觀測天體發出的平行方向電磁波可以通過反射面集中在饋送艙的有效區域。將主動反射面調整為工作拋物面是主反射面技術的重要過程，該過程通過將主索結點上的促動裝置與下拉索結合來實現。

目前，已有眾多學者對大口徑射電望遠鏡的主動反射面調節優化或智能算法優化進行了研究。朱麗春[1]通過主反射面控制系統控制策略，建立自適應、自學習機制節點位移控制模型，采用開閉環結合控制策略實現反射面高精度實時成型；薛建興等[2]基于反射面單元動態面形精度分析研究FAST瞬時拋物面的擬合精度；王從思[3]根據促動器支撐節點位置確定該點促動器所在點的法線方向及促動器所在直線方程，計算出面向拋物面的大型天線主動面促動器最佳調整量；陳聰聰等[4]研究了一種確定網狀反射面天線原理誤差計算的方法；張建春等[5]基于傳統模擬退火算法提出了更高求解效率的非?？焖倌M退火算法；王星童等[6]利用快速模擬退火算法加快了路徑規劃問題的迭代收斂速度；陳華根等[7]提出了一種改進的非?？焖倌M退火算法，相比傳統算法有了更高的穩健性和求解效率。

由于傳統方法全優化的時間冗長，本文基于現有研究，依據FAST射電望遠鏡的主動反射面相關結構和其主動反射面工作原理，針對反射面對不同方向天體觀察時工作面需要調整的問題，建立以工作面與理想拋物面擬合程度最高為目標的優化模型，提出了采用改進的非?？焖倌M退火算法來優化射電望遠鏡工作面，并對比不同算法的求解效率。

1 天眼FAST的組成與反射面狀態

1.1 FAST組成

FAST 主要是由反射面、望遠鏡總控、饋源支撐三大控制系統、信號接收系統以及支承系統組成。其中，主動反射面系統結構如圖1所示，是由背架、反射面板、主索網、促動器及下拉索等主要部件構成的一個可調節球面。每個主索節點連接一根與固定在地表的促動器連接的下拉索，通過下拉索和促動器的調節實現對主索網的形態控制。

圖1 主動反射面系統結構示意圖

1.2 主動反射面的基準態與工作態

主動反射面包括基準態與工作態。如圖2的FAST剖面所示，基準球面與焦面是以點C為圓點的部分同心球面，其中兩面半徑差為F=0.466R(R=139.8 m)，基準面可視作半徑R=300 m、口徑D=500 m的球面。當FAST進入觀測狀態并需要接收天體S發出的平行電磁波信號時，主動反射面處于工作態。為了反射面可以將來自目標觀測天體的平行電磁波匯聚到饋源艙上直徑為1 m的有效圓盤區域，饋源艙接受平面的中心將在焦面上移動，具體位置為直線lSC與焦面的交點P。同時，主動反射面上有1個口徑為300 m的區域需要調整為以點P為焦點的反射拋物面。

圖2 FAST剖面示意圖

2 理想拋物面的確定

2.1 瞬時過程的假設

通過文獻[8]得知，FAST望遠鏡從基準態轉變為工作態的過程是不斷反饋、優化和調整的過程，通過饋源艙對平行電磁波的接收結果，控制系統對沒有將光束射入饋源艙的反射面單元進行調整和優化。整個系統完全優化完畢共耗時約11 000 s，調整優化的過程十分龐雜。故在求取理想拋物面時，選取FAST即將從基準態轉變為工作態時的瞬間進行分析，盡可能忽略變化過程的影響。

2.2 拋物面的準面定義

如圖3所示，L1、L2、L3繞對稱軸旋轉360°得到同樣的拋物面，其上任一拋物線的準線共平面稱這個平面為拋物面的準面。對任意一條拋物線而言，拋物線上的任意一點到焦點的距離等于該點到準線的距離。可以推得，拋物面上的任意一點到焦點的距離等于該點到準面的距離。

圖3 拋物面與拋物線的關系

2.3 理想拋物面方程式

2.3.1直線lSC方程和饋源艙焦點的確定

以圖2中點C作為坐標空間系的原點。如圖4所示，設點M為直線lSC上的任意一點，直線方向α=36.795°，β=78.169°。設m為直線SC的方向向量，可以求得直線lSC的方向向量為：

圖4 直線SC位置示意圖

m=(-cosβ·cosα，-cosβ·sinα，-sinβ)

lSC直線參數方程為：

求得直線lSC方程的參數形式可以減少變量數量，在僅知道t的情況下就可以得出直線上點的坐標，簡化了求取結點坐標和理想拋物面的過程。

結合上文可知，由于點P在直線lSC上，所以考慮使用直線參數方程的形式來求解點P坐標。

根據圖2可得CP=(1-0.466)R=160.2 m，所以tsp=160.2。將其代入式(1)可得點P的坐標為(-26.3，-19.7，-156.8)。

2.3.2理想拋物面方程的確定

圖5是基準面和理想拋物面的剖面圖。從剖面看，其拋物面的任意一條母線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離。由2.2節可知，拋物面上任意一點到焦點的距離等于其到準面的距離，所以可根據此關系建立方程。

圖5 理想拋物面與基準面示意圖(剖面)

設拋物面上任意一點B坐標為(x，y，z)，已知點P的坐標為(-26.3，-19.7，-156.8)。根據空間中兩點距離公式求出點B到點P距離dBP。

求取lSC與準面的交點。設直線lSC與準面交于點T。由拋物面性質可知，直線lSC垂直于準面，直線lSC的方向向量即為準面的法向量。聯立直線lSC的方向向量m與點T坐標，得到準面方程為：

x+0.75y+5968z+2682.19=0

點B到準面的距離k以及點B到焦點P的距離dBP表示為:

(1)

(2)

令式(1)與式(2)相等，得到一個拋物隱式方程。

理想拋物面頂點坐標如表1所示。

表1 理想拋物面頂點坐標

2.4 工作面區域的確定

確定一個理想拋物面后，可以通過調節促動器的徑向伸縮量將反射面調節為工作拋物面，使得該工作拋物面盡量擬合理想拋物面，以此使得平行電磁波盡可能多地反射匯聚到饋源艙上的有效圓盤區域。由于工作區口徑只有300 m，所以需要先確定索網中促動器需要伸縮改變的主索結點。

圖6 工作態口徑范圍剖面示意圖

計算得到各個夾角θ。若θ∈[0°，ε+30°]，則主索節點處在口徑范圍內；若θ在此范圍內，則主索節點不屬于口徑范圍。為了保證工作面完整性，引入1個任意小的數ε。待調節的主索結點如圖7所示。通過計算得到，共有695個主索結點需要。

圖7 待調整的主索結點示意圖

3 優化模型的建立

3.1 衡量擬合效果的面形精度

如圖8所示，由于促動器只能沿徑向運動，所以主索結點的運動軌跡是沿直線lAC運動的。P1為主索結點的最理想位置，位于理想拋物面上；P2為通過促動器調節后的主索結點的新位置；點P3為基準球面上的主索結點，即主索結點的初始狀態；點P4為促動器；Δx1為主索節點與促動器相連的距離；Δx2為初始位置與新位置的徑向差值；Δx3為新位置與最理想位置的徑向差值。

圖8 主索結點與理想拋物面的位置關系示意圖(剖面)

當Δx3越小時，證明經過促動器調節后的主索結點新位置更靠近理想拋物面上的位置，此時調節效果最好。為此，引入面形精度RMS來衡量反射面形精度。反射面面形精度是衡量射電望遠鏡綜合性能的重要指標之一，直接影響望遠鏡的工作效率。本文中用反射面主索結點實際坐標與理想拋物面擬合誤差來衡量反射面的RMS：

其中：Xi、Yi、Zi分別表示第i個節點調節成理想拋物面時的理想坐標，位于理想拋物面上；xi、yi、zi表示為第i個節點調整后的實際坐標。計算695個實際坐標與理想坐標的距離平方和的平均值，然后再開平方得到RMS。

3.2 優化模型的約束條件

3.2.1約束條件1：伸縮長度限制

各結點促動器伸縮調整長度為ti，其中i=1，2，3，…，695。根據實際意義，認為趨向球心時ti取正，遠離球心時ti取負。長度調整需要在一定范圍內，因此可以得到第1個關于促動器伸縮調整長度的約束條件：

-0.6≤ti≤0.6

3.2.2約束條件2：伸縮方向限制

促動器僅可以在徑向方向上變化，所以采用直線方程的參數形式進行徑向變化量表示：

3.3 優化模型的目標函數

設調整后節點之后，第i個結點原坐標調整為ui、vi、wi。在調整坐標時，通過調整各促動器的伸縮量來實現各結點向理想坐標位置逼近，從而實現工作面向理想拋物面逼近。綜合考慮RMS精度值越小越好的目標，以及需要滿足調整長度的范圍和調整方向的約束條件，建立如下優化模型：

695個主索結點對應關系見表2。其中，單位方向向量為原坐標指向球心的向量單位化后所得向量。

表2 695個主索結點對應關系

通過求解上述優化模型可以得到最為擬合理想拋物面的工作面和各個主索結點的變化量ti。

4 優化模型的求解

4.1 模擬退火算法

1953年，Metropolis提出模擬退火算法(simulated annealing，SA)；Kirkpatrick在1983年成功使用SA解決了組合優化問題。SA作為一種有效的非線性組合尋優算法，在理論上已被證明是嚴格的，且有大量的實際應用證明該算法有效，可靠，可處理規模較大的背包問題，且能夠魯棒地得到滿意解[9-10]。SA算法的關鍵思想是：算法會有一定概率接受一個劣解并跳出某個局部最優解空間并嘗試尋找更優解。從全局搜索的角度來看，算法會盡力朝最優解進行搜索尋優。

SA算法原理和金屬固體退火的原理相似，就是將熱力學的理論運用到統計學中。從機理角度解釋算法思想就是先將金屬固體加溫到一個足夠高的溫度，再逐漸降溫冷卻；在降溫的過程中粒子會自發地進行熱運動以使得固體狀態朝著自由能減小，以此朝著能達到自由能最小的平衡態進行單點尋優。具體步驟如下：

步驟1給定一個較高且合適的初始溫度T0，在符合模型給定變量區間內隨機選擇一個初始模型m0，并計算初始模型對應的目標函數值E(m0)；

步驟2采用合適的擾動方法，在符合模型給定變量變化區間內，擾動當前模型產生一個新模型m，并計算新模型的目標函數值E(m)，同時計算目標函數差值ΔE=E(m)-E(m0)；

步驟3在當前溫度T下，若ΔE<0，則接受新模型m；否則，按照概率P接受當前較劣模型；當模型被接受時，用新模型m替換初始模型m0；

步驟4在溫度T下，重復進行多次擾動和接受判別，即重復步驟2與步驟3共Lk次；

步驟5通過一定的降溫退火計劃下降溫度T；

步驟6重復步驟2—5，直到溫度下降到終止溫度或者搜索達到收斂條件，認為本次已經搜索到一個較優模型解。

4.2 改進的非?？焖倌M退火算法

Ingher在1989年提出了一種模擬退火算法的改進算法，即非常快速模擬退火算法(very fast simulated annealing，VFSA)。VFSA算法較SA算法具有更高的效率，使得模擬退火理論真正可實際應用并能解決更多的實際問題。VFSA算法的流程與SA算法流程一致，只在模型擾動、接受概率或者退火計劃上作出了改進。相比傳統算法，該算法在高溫時有著更高的全局搜索效率。但由于在低溫下仍然進行全局搜索，搜索的擾動幅度過大，難以繼續搜尋更優模型，因此在低溫狀態下搜索方式可以作出改進以增加低溫搜索效率。本文基于改進的非?？焖倌M退火算法(modified very fast simulated annealing，MVFSA)[7]，利用Matlab對模型進行求解。

4.2.1模型擾動

模擬退火算法是在當前溫度下擾動當前模型產生一個新模型，算法擾動由一個隨機分布函數控制。VFSA算法使用依賴溫度的似Cauchy分布擾動產生新模型。模型擾動規則如下：

ri=T·sgn(γ-0.5)·((1+T-1)|2γ-1|-1)

(3)

mi′=(0.5+ri)·(mimax-mimin)

(4)

其中：mi′表示擾動后的模型，mimax和mimin分別表示mi取值范圍的上、下限；ri是擾動因子；γ表示(0，1)區間上的隨機數；sgn(x)為符號函數。

4.2.2接受概率

模擬退火算法中新模型根據目標函數的差值ΔE，按照Metropolis準則來接受新模型，目的是跳出局部最優解。該準則是傳統模擬退火的重要環節。

1)若ΔE<0(新模型較優)，則新模型無條件被接受；

2)若ΔE>0(新模型較劣)，計算接受概率P：

P=exp(-ΔE/T)

(5)

在ΔE>0的情況下，產生一個分布在[0，1]內的隨機數ξ，若P>ξ則接受新模型，否則舍棄新模型。

4.2.3退火計劃

諸多實踐證明，采取溫度T以指數變化方式降溫的計劃較符合固體退火的實質：

T=T0·exp(-ν(j-1)0.5)

(6)

其中：ν為模擬退火算法中的溫度衰減系數；j為算法迭代次數。

4.2.4局部搜索階段

在4.2.1與4.2.3節中的擾動與退火目的是進行全局搜索以找到最優區間解。當完成全局搜索算法達到收斂時，進行回火升溫操作，此時從一較低溫度開始退火，繼續在已找到的最優解區間內進行局部搜索尋優。本階段中改進的模型擾動與退火計劃表示為：

mi′=mi+(ri-0.5)·(mimax-mimin)/L(j)

(7)

T=T0·exp(-ν(j-j1/ρ)0.5)

(8)

式(7)和(8)由式(5)和式(6)改進而來，其中L(j)為算法搜索空間限制因子，與算法迭代次數有關。當迭代次數j增大時，L(j)也增大，這意味著搜索范圍將變小，通過搜索空間限制因子來達到算法在一個更小的搜索區間內尋找更優模型的目的。j1為上一階段迭代次數；ρ為降溫形狀因子，與當前溫度T成反比關系，意味著當T越小時ρ越大。算法的改進目的是使得搜索初期即在高溫時有較大的搜索范圍和劣解接受概率，在低溫時可以在已找到的最優解區間繼續以較小的搜索范圍尋找更優解。

4.3 求解待調整主索結點位置和促動器伸縮量

用Matlab語言編寫MVFSA算法對3.3節中的模型進行全局搜索和局部搜索。設置MVFSA算法的溫度衰減系數ν=0.90，初始溫度T0=200，終止溫度為Tend=10-7。

通過隨機函數的生成，選取1個在模型取值區間內的合法初始模型m0(t1，t2，…，t695)，并根據面形精度計算該初始模型的函數值RMS0。每次達到平衡后都會進行降溫，即采用4.2.3的退火計劃，直到T

在相同初始解下，進行50次的MVFSA算法搜索，取平均值得到RMS=0.167 533。695個主索結點對應關系見表3。

表3 695個主索結點對應關系

5 結果分析與算法比較

5.1 結果分析

如圖9所示，在MVFSA算法下，算法迭代13次找到1個全局最優解區間，在溫度很低時再經過4次迭代在該區間內找到更優解，提高了結果的精度和準確性。但是解的優化效率并沒有提高很多，原因是模型變量多達695個，且每個變量取值區間相對搜索范圍較狹窄，很難大幅度提高尋優結果。

圖9 MVFSA算法各代最佳函數值曲線

5.2 算法比較

為了驗證算法的高效性，將MVFSA算法、VFSA算法和傳統的SA算法進行比較。結果如表4與圖10所示。

表4 不同算法尋優結果

圖10 不同算法各代最佳函數值曲線

比較在同一初解、相同初始溫度T0=200、終止溫度Tend=10-7和溫度衰減系數ν=0.90時3種算法的搜索效率。在迭代開始時，VFSA算法和MVFSA算法迭代曲線斜率的絕對值遠大于傳統SA算法，且在迭代約8次時就快速找到了1個較優解區間。而在相同迭代次數下，傳統SA算法仍在進行低效或者無效的搜索。

MVFSA算法在適當回火至一個較低溫度時進行局部搜索，相比VFSA算法多進行了5次迭代搜索，收斂也十分迅速。二者總搜索時間幾乎一致，但采用MVFSA算法得到的RMS值較原來下降了2.78%，意味著擬合理想拋物面程度更高。

上述結果表明：求解本文中建立的優化模型，采用MVFSA算法有更高的搜索效率和更優的搜索結果。

6 結論

針對FAST射電望遠鏡的主動反射面調節優化問題進行研究。通過機理建模的方式從下拉索的調節量出發，基于改進的非常快速模擬退火的智能算法對衡量擬合效果的面形精度優化模型進行求解。以695個待調整主索結點的下拉索促動器伸縮量為研究變量。該算法在非?？焖倌M退火算法全局快速搜索的基礎上，繼續在局部進行快速搜索，在幾乎相同且短暫的總搜索時間下得到更優的搜索結果，使得主動反射面的工作面更加擬合理想拋物面。

實際中，采用該算法或智能算法來解決射電望遠鏡的主動反射面調節案例較少。本文中提出的優化模型可以推廣到其余口徑天線或者射電望遠鏡的主動反射面調節優化中，提供了一種較好的優化思路，有利于饋源艙更好地接受天體發出的電磁波信號。后續研究將考慮更多影響因素，進一步提高算法的效率和準確性，提高主動反射面的工作效率。