雙插值擬合的共形電磁矢量傳感器陣列解相干

胡毅立, 趙永波, 陳 勝, 牛 奔

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

電磁矢量傳感器通常由電偶極子和/或磁環構成,多個電磁矢量傳感器可以構成一個電磁矢量傳感器陣列。共形電磁矢量傳感器陣列是指傳感器陣列中每個傳感器依附在載體的幾何表面上,在分布特性和排列自由度上和共形陣有相同的特點。但是由于共形陣的回波信號是極化敏感的,導致回波模型受極化參數的影響,并且導向矩陣不再滿足Vandermonde結構,因此傳統的解相干方法很難有效應用到共形電磁矢量傳感器陣列中。

相干回波的協方差矩陣存在秩虧損問題,導致常規參數估計方法,比如旋轉不變子空間的(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)、多信號分類(multiple signal classification, MUSIC)MUSIC，求根 MUSIC(root-MUSIC)無法準確估計出回波目標。空間平滑是一種經典的解相干方法,通過選擇有效的子陣解決協方差矩陣秩虧損問題,但是陣列孔徑存在損失。文獻[1]介紹了一種極化平滑在電磁矢量傳感器中的應用,并且利用電磁矢量傳感器的多電偶極子和多磁環的特點,解決了空間平滑的孔徑損失問題。文獻[17]利用電磁矢量傳感器陣列自協方差矩陣的Toeplitz結構特點,通過非均勻加權的方法重構出近似Toeplitz結構的自協方差矩陣,以此來實現解相干。文獻[18]充分利用不同子陣間的回波能量,通過對自協方差矩陣和互協方差矩陣進行非均勻加權處理,在保證協方差秩恢復的同時利用了更多的回波數據,得到精度更高的參數估計結果。然而文獻[17-18]的方法只能測量目標的二維角度,無法獲得對應的二維極化參數,并且無法應用到共形電磁矢量傳感器陣列的信號模型中。由于共形電磁矢量傳感器陣列受到有向方向圖影響,導致極化矢量在不同位置的電磁矢量傳感器上的分量是不同的,進而使得協方差矩陣不再滿足Toeplitz結構。因此，很多基于線形電磁矢量傳感器陣列的算法無法應用到共形電磁矢量傳感器陣列中。

本文針對共形電磁矢量傳感器陣列的解相干問題,通過插值擬合技術將共形傳感器陣列擬合成多個不同位置但極化分量相同的虛擬共形陣列,并將其組合成一個新的電磁矢量傳感器陣列,然后利用新的電磁矢量傳感器中極化分量相同的特點避免極化分量對解相干的影響,最后通過平滑思想得到解相干的結果。所提方法沒有孔徑損失,能在復雜的共形電磁矢量傳感器陣列中測量信號的二維角度和二維極化角。仿真結果驗證了所提方法的有效性。

1 信號模型

1.1 電磁矢量傳感器信號模型

電磁回波的信號模型如圖1所示。

圖1 電磁回波的信號模型Fig.1 Signal model of electromagnetic echo

圖1是回波模型,其中是方位角,是俯仰角,和分別是方位方向和俯仰方向的單位矢量。

圓臺陣是一種常見的共形陣。圓臺陣的幾何模型如圖2所示。

圖2 圓臺電磁矢量傳感器陣列幾何模型Fig.2 Geometric model of the circular truncated cone electromagnetic vector sensor array

圓臺陣的接收回波為

(1)

式中：[·]是轉置符號；表示第個半圓上的接收數據；1≤≤。

(2)

式中：,表示第個半圓上第個電磁矢量傳感器的回波數據。當回波為相干信號時,,的具體表達式為

(3)

(4)

式中：=[cossin,sinsin,cos]；?是Kronecker符號；,(,)=ej2π,;,∈是第個半圓環上的第個傳感器的三維坐標矢量。接收天線在水平垂直正交極化基下,極化矢量,(,,,)可以表示成

(5)

(6)

式(2)還可以有另一種表達方式,令

(7)

(8)

(9)

(10)

后文沒有特殊說明,都以式(9)的模型表示第個子陣列的回波數據,并且在簡化信號模型中省略了參數符號。

1.2 常規插值擬合方法

通過插值擬合方法可以實現信號模型的轉換,將實際的信號模型轉變成期望的信號模型。插值擬合方法的一個重要應用就是將實際的非Vandermonde結構信號模型轉變成期望的Vandermonde結構信號模型。

假設圓環陣回波的導向矩陣為(),而期望得到的具有Vandermonde結構的線陣導向矩陣為(),擬合方程為

(11)

(12)

在參數估計時,需要提前設計插值擬合矩陣。但是,插值擬合矩陣的獲得需要知道目標角度參數。很明顯,目標角度參數是無法準確提前獲得的。幸運的是,可以利用信號檢測時目標角度參數的所屬范圍設計插值擬合矩陣,所屬范圍也常稱為感興趣參數集合。

假設在信號檢測時估計的目標角度波位為,波位間隔為Δ,則感興趣參數集合為

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：是無法準確估計出來的。為了能有效判斷插值擬合誤差對插值擬合過程的影響,將插值擬合誤差數值化。插值擬合誤差數值化的定義為

(17)

2 基于雙插值擬合解相干

2.1 雙插值擬合方法

本節考慮到共形電磁矢量傳感器陣列的信號模型特點,合理設計期望的虛擬天線陣,然后通過對插值擬合誤差的分析,提出了一種雙插值擬合方法實現在相干信源中對信號的二維角度和二維極化角的估計。

選擇合適的虛擬天線陣是能否有效得到插值擬合矩陣的關鍵。將每個半圓環看成一個子陣列,圖2的電磁矢量傳感器陣列可以看成由個子陣列且每個子陣列有個六通道的電磁矢量傳感器構成。由于每個子陣列都是均勻等間隔分布,只是子陣列的圓環半徑不同,因此同一母線上的傳感器法線指向是相同的。由于圓臺陣不同子陣列的位置矢量是變化的,導致針對圓臺陣回波的解相干不能直接利用空間平滑、極化平滑的方法。

為了方便敘述,將圖2中的電磁矢量傳感器陣列虛擬平移后的簡化模型展示在圖3中。

圖3 電磁矢量傳感器陣列簡化模型Fig.3 Simplified model of electromagnetic vector sensor array

圖3(a)是圖2的簡化模型,圖3(b)是第個插值子陣列模型,展示了半圓環子陣列與其對應等間隔虛擬子陣列的幾何關系,Δ是子陣列與其相鄰虛擬子陣列在軸上的間距,是子陣列所在半圓環的半徑。根據圖3,第個插值子陣列由一個子陣列和個虛擬子陣列構成,其中虛擬子陣列1(=1,2,…,)與子陣列的極化矢量很顯然是一樣的,只是導向分量存在一個固定波程差。

假設有個相干目標回波,則第個插值子陣列的回波信號可以寫成

(18)

式中：子陣列的回波信號可以根據式(9)得到。簡寫子陣列的回波信號為

(19)

式中：是高斯白噪聲；∈6×；導向矩陣=ej2π/λ∈×；是子陣列在全局笛卡爾坐標系中的位置坐標矢量。很顯然,虛擬子陣列和子陣列的導向矩陣是不同的,具體體現在軸上存在一個波程差。需要注意的是,回波模型默認雜波和干擾在信號檢測中被抑制,所以式(19)只存在信號和噪聲,同時忽略互耦效應的影響。

在理想情況下,通過插值擬合方法后第個虛擬子陣列的回波1為

(20)

(21)

式中:對角矩陣主要由個相干信號的俯仰角(1≤≤)和Δ決定。

回波1的獲得需要用到插值擬合方法,接下來將介紹如何利用信號檢測時的目標四維參數所屬范圍設計插值擬合矩陣,從而實現將圖3(b)中子陣列擬合成個虛擬子陣列。

(22)

式中：(Δ,Δ,Δ,Δ)是離散采樣間隔；(,,,)是離散采樣數；Δ0=(-1)Δ2；Δ0=(-1)Δ2；Δ0=(-1)Δ2；Δ0=(-1)Δ2。可知四維波位間隔分別為Δ=2Δ0,Δ=2Δ0,Δ=2Δ0,Δ=2Δ0。由于四維參數集合的采樣數并不是相同的,并且無法將所有參數遍歷到,所以需要將每個維度的參數延伸成采樣數相同的集合形式。延伸后的四維感興趣參數集合為

(23)

(24)

式中:每個維度的長度都為×1；=；×1,×1,×1和×1是全1列矢量。

插值擬合矩陣的作用是將式(19)中第個子陣列的(,,,)擬合成式(20)中第個子陣對應的第個虛擬子陣列的1(,,,),=1,2,…,。第個子陣列的導向矩陣可以寫成

(25)

第個虛擬子陣列的陣列導向矩陣可以寫成

(26)

進而對應的擬合方程及其解為

(27)

(28)

同理可得到個虛擬子陣列的插值擬合矩陣,,,,…,,1。

通過插值擬合操作后,得到的插值子陣列的回波數據為

(29)

(30)

(31)

,=(,,,)⊕(?(,))

(32)

式(29)～式(31)介紹了只利用子陣列的回波數據時解相干的過程。很顯然只利用子陣列的電磁矢量傳感器數據時,會導致其他子陣列數據的損失。其實可以利用多個子陣列的數據構造插值子陣列,然后再解相干。需要注意的是,由于每個電磁矢量傳感器有6個通道,因此選取的子陣列也不能過多,否則會加大數值計算的運算量。本節選取3個子陣列,然后針對這3個子陣列用相同的插值擬合方法得到對應的個虛擬子陣列。選取3個子陣列,以及對應的虛擬子陣列幾何關系如圖4所示。

圖4 三子陣列構成的插值子陣列Fig.4 Interpolated subarray composed of three sub-arrays

圖4的插值子陣列中,三子陣列構成的信號模型為

(33)

式中：,,就是式(19)中=1,2,3時的子陣列數據。

(34)

式(34)的解為

(35)

同理可得第個虛擬子陣列中對應子陣列2和子陣列3的插值擬合矩陣2,3。

因此,第個虛擬子陣列的數據為

(36)

(37)

進一步,基于三子陣的插值子陣列數據為

(38)

每個子陣列的協方差矩陣和為

(39)

(40)

(41)

(42)

為了保證噪聲協方差矩陣為單位陣,可以對,1經過預白化處理。由于在設計插值擬合矩陣時虛擬子陣列的極化矢量和子陣列是相同的,因此插值擬合誤差主要集中在信號的導向部分,所以式(42)可以進一步寫成

(43)

(44)

(45)

式中：=。第個虛擬子陣列的插值擬合矩陣為1_2,2_2,3_2。插值擬合矩陣1_2對應的擬合方程為

(46)

(47)

(48)

同理可得插值擬合矩陣2_2,3_2。

因此,第個虛擬子陣列的數據為

(49)

其中:

(50)

進一步,插值子陣列可寫為

(51)

(52)

(53)

DIF方法的步驟如下。

獲取信號檢測時目標四維波位參數(0,0,0,0)和四維波位參數間隔(Δ,Δ,Δ,Δ)。

步驟1～步驟4就是第一次插值擬合方法的過程,步驟5～步驟8是第二次插值擬合方法的過程。第二次插值擬合過程和第一次插值擬合過程是一樣的,但是第二次插值擬合矩陣的插值擬合誤差更小,同時計算量也小,并且譜搜索不再需要四維搜索,而只用考慮二維極化角的搜索即可。

需要注意的是,本節從相控陣體制雷達入手描述了DIF方法的解相干過程,其實DIF方法也可應用于多輸入多輸出體制中。不管是何種體制雷達,插值擬合誤差往往和參數估計精度有密切的關系。DIF方法通過第一次插值擬合過程得到了二維角度的估計值,然后此估計值被用于第二次插值擬合過程中來估計二維極化角,很顯然二維角度的估計精度將影響二維極化角的估計精度。

2.2 秩分析

接下來分析DIF方法對插值子陣列秩的影響。當信號為相干信號時,回波協方差矩陣的秩為1,很顯然此時存在秩虧缺。子陣列的第個虛擬子陣列的協方差矩陣為

(54)

因此，第個虛擬子陣列的協方差矩陣可以近似寫成

(55)

式中:6是維度為6的單位陣。根據式(55),子陣列及其對應的個虛擬子陣列的協方差矩陣和為

(56)

(57)

3 仿真分析

本節通過分辨概率和均方根誤差(root mean square error, RMSE)來評估所提方法的性能。二維角度和二維極化角的均方根誤差定義如下:

(58)

二維角度和二維極化角的分辨概率定義如下:

(59)

式中:(,,,)是四維分辨門限值。

有向方向圖在和方向上的分量為

(60)

(61)

式中：和分別是零階和二階第一類貝塞爾函數。

本節的所提方法直接用3個子陣列的數據,如圖4所示;對比方法是只用1個子陣列的數據,如圖3(b)所示。為了方便論述,所提方法簡稱為DIF-3,對比方法簡稱為DIF-1。本文方法的Cramer-Rao邊界(Cramer-Rao boundary, CRB)根據文獻[32]獲得。

圖5仿真(,,,)=(0.5°,0.5°,1°,1°)時分辨概率隨著信噪比(signal noise ratio, SNR)變化的結果。

圖5 四維參數的分辨概率Fig.5 Resolution probability of four dimensional parameters

從圖5結果可以看到,不管是二維角度還是二維極化角,DIF方法都能有效估計出目標參數。由于DIF-3選取的子陣數據量更多,雖然增大了DIF過程的計算量,但是得到的估計精度比DIF-1更高些。

圖6仿真了隨著SNR變化時二維角度和二維極化角的RMSE結果。

圖6 四維參數隨SNR變化的RMSEFig.6 RMSE results of four dimensional parameters varying with SNR

根據圖6可知,不管是DIF-1還是DIF-3方法,在高SNR時受不可避免的插值擬合誤差的影響,二維角度和二維極化角的估計精度并不會一直下降,并且和CRB結果對比可以發現所提方法有明顯的提升空間。但是從角度和極化的估計精度考量,仍然可以認為DIF方法能在相干信號中估計出目標四維參數,所以DIF方法是一種有效的解相干參數估計算法。

圖7仿真了在SNR=20 dB,二維角度和二維極化角隨著快拍變化時的RMSE結果。

圖7中DIF-3方法隨快拍變化的RMSE結果的變化趨勢要小于DIF-1方法。這是因為DIF-3方法用的子陣列數據是DIF-1方法的3倍,因此DIF-3方法的系統自由度更大,所以DIF-3方法隨快拍變化的RMSE結果的變化趨勢要小于DIF-1方法。由于DIF方法的第二次插值擬合過程需要用到第一次插值擬合過程的二維角度估計結果,因此圖7(b)中二維極化角RMSE的變化要比圖7(a)中二維角度RMSE的變化大。

在第2.1節中提到了之所以需要進行第二次插值擬合操作,就是因為需要得到插值擬合誤差更小的插值擬合矩陣,然后對二維極化角進行估計。接下來分析第一次插值擬合誤差和第二次插值擬合誤差的數值結果。

表1是圖4對應的兩次插值擬合誤差值。可以看到,雖然插值擬合誤差都低于誤差門限值,但是第一次插值擬合誤差要明顯大于第二次插值擬合誤差。第二次插值擬合誤差能達到10數量級是因為此時擬合方程中虛擬子陣列的極化矢量本來就和子陣列的極化矢量是一樣的,所以此時的插值擬合誤差主要是數值計算導致的。并且結合式(54)和式(55)可以看到,當插值擬合誤差足夠小時,對二維極化角的估計影響就非常小了。這也是為什么圖6(b)二維極化角的估計精度隨著SNR的增加會顯著提高的原因。需要注意的是,在應用DIF方法時,要求產生的插值擬合誤差小于插值擬合誤差門限,否則認為插值擬合矩陣無法滿足性能要求。

表1 不同虛擬子陣列的插值擬合誤差

圖8驗證了Δ=Δ=Δ=Δ=Δ=4,6,8,快拍為1 500時DIF-3方法隨SNR變化的RMSE性能。

在圖8中隨著Δ的增大,DIF-3方法的RMSE性能會變差,但是隨著SNR的增加,不同Δ的RMSE結果的差值越來越小,最后受插值擬合誤差的影響都較小。從整體來看,二維角度的RMSE差異不大,而二維極化角在低SNR時的差異較明顯,進一步反映了二維極化角受二維角度估計結果的影響。

圖9驗證了Δ=Δ=Δ=Δ=Δ=4,6,8,SNR=20 dB時DIF-3方法隨快拍變化的RMSE性能。

圖9 不同Δ時DIF-3方法隨快拍變化的RMSEFig.9 RMSE results of the DIF-3 method with snapshot changes at different Δ

通過圖9可以明顯觀察到,二維角度的RMSE隨快拍變化大時,對應的二維極化角的RMSE隨快拍的變化也大。同時,Δ越小,RMSE的估計結果越好。因此,在實際應用中,在保證感興趣范圍包含目標實際參數的情況下,盡量將Δ選的越小越好。

通過本節仿真分析可知,插值擬合誤差直接影響了DIF方法解相干后的參數估計精度。為了降低插值擬合誤差,在實際工程應用中,可提前調整好虛擬子陣列的排列方式、分隔間距等參數,保證插值擬合誤差盡可能小,或建立一個有關插值擬合誤差和虛擬子陣列對應關系的完備庫,方便工程應用時快速獲得最優插值擬合方案。

4 結 論

本文針對共形電磁矢量傳感器陣列的解相干問題,提出了一種基于插值擬合的DIF方法。DIF方法將子陣列擬合成多個虛擬子陣列,構成一個插值子陣列,然后通過平滑的方法實現解相干。DIF方法不會導致陣列孔徑衰減,并且不需要額外的參數配對。但是,DIF方法受到設計插值擬合矩陣時產生的插值擬合誤差的影響,導致DIF方法的RMSE結果在高SNR時不再變化,因此如何降低插值擬合誤差對參數估計的影響是今后研究的重點。