基于區間二元語言畢達哥拉斯主成分分析的TODIM方法及其應用

張拴娥

(西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055)

畢達哥拉斯模糊集已被廣泛應用在解決多屬性問題中。Garg[1]研究了猶豫畢達哥拉斯模糊信息的Maclaurin對稱平均算子及其應用，Rong等[2]研究了語言畢達哥拉斯模糊信息的Einstein算子及其應用，Deng等[3]研究了二元語言畢達哥拉斯模糊信息的Heronian算子及其應用，Liang等[4]研究了區間畢達哥拉斯模糊信息的Bonferroni算子及其應用。由于實際問題的復雜性和不確定性,已提出的畢達哥拉斯模糊集不能準確地表達評價信息。區間二元語言能夠有效避免語言評價信息在集結過程中出現信息損失的問題，提高了語言信息集結結果的精確性。將語言集與畢達哥拉斯模糊集相結合，提出的區間二元語言畢達哥拉斯模糊集不僅可以全面地表達決策信息，而且能更好地反映問題的特點。為滿足決策的需要，本文的評價信息以區間二元語言畢達哥拉斯模糊數的形式給出。

目前已有的多屬性決策相關方法大多是建立在決策者完全理性的基礎上。但在現實中，往往由于問題本身具有的不確定性以及決策者認知的局限性，無法達到完全理性。由此，Gomes等[5]以前景理論為依據，提出了交互式多準則決策方法(TODIM)，該方法一經提出，便受到了學者的關注。Ding等[6]研究了基于區間猶豫模糊環境的TODIM方法，Zhang等[7]研究了基于二元語言畢達哥拉斯環境的TODIM方法，張燕等[8]研究了基于猶豫畢達哥拉斯環境的TODIM方法，Huang等[9]研究了基于區間語言畢達哥拉斯環境的TODIM方法。因為在復雜環境下時間和計算復雜度的提高不利于TODIM實現，所以需要對TODIM方法進行優化。主成分分析模型(PCA) 能夠在較大限度保留原始數據信息的基礎上，對高維變量進行集成和簡化，能夠更集中、更典型地反映研究對象的特征，在工程管理、風險投資、城市綜合實力評價等眾多領域得到廣泛研究和推廣。Liu等[10]研究了基于直覺模糊主成分分析模型的復雜多屬性群決策方法，黃利文[11]研究了基于理想點的主成分分析法在綜合評價中的應用，Xian等[12]研究了基于主成分分析模型在地震應急方案中的應用。

目前基于區間二元語言畢達哥拉斯模糊主成分分析的TODIM多屬性決策問題鮮有研究，本文為了能夠獲得更加合理的屬性和決策者的權重，并消除多個變量之間的相關性，構造區間二元語言畢達哥拉斯模糊主成分分析模型(I2PFLV-PCA)；提出基于區間二元語言畢達哥拉斯主成分分析的TODIM方法解決復雜的多屬性問題；將此方法與傳統的TODIM方法以及Wei等[13]提出的聚合算子方法進行比較分析。

1 預備知識

定義1[14]稱二元組(si,αi)為二元語言評價值，其中,si表示集合S的第i個語言變量，αi∈[-0.5,0.5)為符號轉移變量，用來表示與評價信息si的偏差。

定義2[13]設評價信息λ為實數，可通過函數Δ將λ轉換為二元語言信息：

其中round(λ)表示四舍五入取整算子。存在逆映射Δ-1，使得Δ-1(si,αi)=i+αi=λ。

定義3[15]設有二元語言(si,αi)和(sj,βj)，si,sj∈S,αi,βj∈[-0.5,0.5)且(si,αi)≤(sj,βj)，則稱[(si,αi),(sj,βj)]為區間二元語言。運用函數Δ可以獲得與區間數Δ[λ1,λ2]，λ1,λ2∈[0,1],λ1≤λ2對應的區間二元語言：Δ([λ1,λ2])=[(si,αi),(sj,βj)],其中，i=round(λ1),j=round(λ2),α=λ1-i,β=λ2-j。同樣存在函數Δ-1,將二元語言變量轉化成[λ1,λ2]，Δ-1[(si,αi),(sj,βj)=[λ1,λ2]。

2 區間二元語言畢達哥拉斯模糊集

[μL(x),μU(x)],[νL(x),νU(x)]|x∈X>。

其中:0≤(μU(x))2+(νU(x))2≤1;α(x),β(x)∈[-0.5,0.5)。

定義5設X是論域，S是有限語言集，區間二元語言畢達哥拉斯模糊集

]|xi∈X>(i=1,2)的運算律：

其中:

定義6設X是論域,S是有限語言集，

(1)

式中：l為語言變量的值；A1=Δ-1(sa1(x1),α1(x1))；A2=Δ-1(sa2(x2),α2(x2))；B1=Δ-1(sb1(x1),β1(x1))；B2=Δ-1(sb2(x2),β2(x2))；

證明性質(1)證明：

性質(3)證明：

|Q1B1-P1B2+P1B2-P1B3|+

|Q2A1-P2A2+P2A2-P3A3|+

|Q2B1-P2B2+P2B2-P3B3|)≤

定義7設X是論域，S是有限語言集,

(i=1,2,…,n)是區間二元語言畢達哥拉斯模糊集，區間二元語言畢達哥拉斯模糊加權平均算子(I2PFLWAζ)和加權幾何算子(I2PFLWGζ)是

的映射，分別表示為：

(2)

(3)

3 區間二元語言畢達哥拉斯模糊變量的統計特征

給出變量的均值、差值、方差以及協方差的定義及其計算公式。

(4)

(5)

(6)

(7)

4 區間二元語言畢達哥拉斯模糊數的標準化

設

1)語言變量的標準化

2)區間隸屬度非隸屬度的標準化

對于矩陣Y第k列，令γk=min{μL(xik),νL(xik)}，通過公式

γk,νU(xik)-γk]轉化得到新的變量。然后

通過公式計算

得到新的隸屬度非隸屬度。

5 I2PFLV-PCA TODIM方法的應用

5.1 I2PFLV-PCA TODIM方法的決策步驟

(8)

式中：

(9)

Zj(j=1,2,…,m)的累積優勢度表示為

步驟6計算累積優勢度矩陣。

(10)

總優勢度φ(Zi)(i=1,2,…,m)為

(11)

步驟7計算總值Γ(Zi)(i=1,2,…,m)。

(12)

總值最大的方案是最理想的方案。

5.2 案例分析

到目前為止，預測火災發生的時間和地點過于困難，因此火災應急計劃的選擇是非常迫切和必要的，這有助于減少損失。本文將I2PFLV-PCA模型TODIM方法應用于緊急決策。

火災應急決策有四種備選方案。四個決策者Di(i=1,2,3，4),用語言集S={si|i∈[0,8]}對四個初步設計方案Zj(j=1,2,3,4)進行評價，以確保決策的科學性。在評價階段，每個方案考慮六種屬性，這些屬性包括：C1準備能力，C2救援能力，C3恢復能力，C4組織能力，C5響應時間，C6經濟效率。

表1 決策矩陣Ri(i=1,2,3,4)Tab. 1 Decision matrix Ri(i=1,2,3,4)

根據公式(7)得到屬性的樣本協方差矩陣，見表2。基于協方差矩陣，求屬性主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率，見表3。由表3可知前三個主成分的累積貢獻率大于85%，充分表達了原始屬性中包含的大部分信息。

表2 屬性協方差矩陣Tab.2 Attribute′s covariance matrix

表3 屬性主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率Tab.3 Eigenvalues,eigenvectors,and CCRs of attribute PCs

(s0.422,0.072)],[0.046 6,0.053 3],[0.232,0.268 5]>。

根據公式(7)得到決策者的樣本協方差矩陣，見表4。基于協方差矩陣，求出決策者主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率，見表5。由表5可知前2個主成分的累積貢獻率大于85%，充分表達了原始決策者中包含的大部分信息。

表4 決策者的協方差矩陣Tab.4 Decision maker′s covariance matrix

表5 決策者主成分的樣本特征值、特征向量和貢獻率Tab.5 Eigenvalues,eigenvectors,and CCRs of decision maker PCs

(s1.570 1,0.143 9)],[0.302 4,0.320 2],[0.849 4,0.947 3]>。

M1=

M2=

累積優勢矩陣

步驟6根據公式(11)計算總優勢度φ(Zi)。

(φ(Z1),φ(Z2),φ(Z3),φ(Z4))T=AωD= (-1.778 3,-0.672 9,1.443 7,-1.725 5)T。

步驟7根據公式(12)計算備選方案Zi(i=1,2,3,4)的總體值Γ(Zi)(i=1,2,3,4)。

(Γ(Z1),Γ(Z2),Γ(Z3),Γ(Z4))T=

(0,0.343 1,1,0.016 4)T,

最終排序：Z3?Z2?Z4?Z1。

5.3 對比分析

為了進一步說明本文所提出方法的有效性，將該方法與傳統的TODIM方法，以及Wei等[13]提出的加權幾何算子聚合方法進行比較。

利用最大離差法確定權重。計算得出屬性權重ωC=(0.153 0,0.136 7,0.184 8,0.182 6,0.184 1,0.158 9)T和決策者權重ωD=(0.253 3,0.275 6,0.278 4,0.192 6)T。

首先根據傳統的TODIM方法，計算得到總優勢度φ(Zi)(i=1,2,3,4)：

計算備選方案Zi(i=1,2,3,4)的總體值Φ(Zi)(i=1,2,3,4)：

(Φ(Z1),Φ(Z2),Φ(Z3),Φ(Z4))T=

(0.381 5,0,1,0.902 7)T。

得到最終排序：Z3?Z4?Z1?Z2。

然后應用Wei等[13]提出的聚合方法計算。由于篇幅限制，本文僅給出C1屬性下各方案的聚合結果：

(s3,-0.164)],[0.470，0.611],[0.316,0.667]>,

[0.530,0.656],[0.347,0.483]>。根據得分函數計算每個方案得分值:

得到最終排序：Z3?Z4?Z1?Z2。

對比分析可知，利用I2PFLV-PCA的TODIM方法，傳統的TODIM方法以及Wei等[13]提出的聚合方法計算，得出最優方案均為Z3，驗證了本文方法的有效性。Wei等[13]采用直接聚合的方法,沒有考慮極值對最終結果的影響,可能會得到不合理的結論。而本文所提出的方法在運算過程中將語言評價值采用平均值,這使決策過程更加科學合理。將傳統的TODIM方法和I2PFLV-PCA的TODIM方法進行對比可以得出，如果存在多重共線性，傳統的TODIM方法可能會得出不同的排序結果。本文提出的I2PFLV-PCA的TODIM方法的優點：(1)I2PFLV-PCA模型不僅有效地對數據進行降維，消除變量之間的相關性，并且可以獲得合理的權重，這對TODIM方法非常重要；(2)I2PFLV-PCA的TODIM方法考慮了決策者的心理行為，能夠在決策中獲得更加精確的排序結果。

6 結論

1)區間二元語言畢達哥拉斯模糊數能夠更加準確地描述決策者的評價信息，所以本文的評價信息以區間二元語言畢達哥拉斯模糊數的形式給出。

2)為了克服多重共線性，降低變量間的相關性，本文提出了I2PFLV-PCA模型，可以獲得客觀的關于屬性和決策者的權重。

3)將I2PFLV-PCA模型和傳統的TODIM方法相結合，提出的基于I2PFLV-PCA的TODIM方法，不僅用來處理大量的區間二元畢達哥拉斯模糊數數據，并且成功地描述了決策者在決策過程中的心理行為。

4)通過將本文提出的方法與傳統的TODIM方法，以及Wei等[13]提出的聚合方法進行對比分析，驗證了基于I2PFLV-PCA的TODIM方法的有效性和實用性。本文所提出的方法為解決復雜多屬性決策問題提供了一種思路。