中俄聯合辦學高等數學雙語教學難點剖析

謝素英，韓 斌，管俊彪

（杭州電子科技大學 理學院，浙江 杭州 310018）

隨著經濟全球化步伐的加快，中外聯合辦學已然在各地興起，近幾年中俄聯合辦學也在我校扎下了根基。而高等數學是中外聯合辦學理工科專業的一門重要基礎課，是歷屆考研必考的重要課程之一，同時也是大學理工科專業后續課程的重要基礎。高等數學的應用非常廣泛，其內容已深入滲透至諸多科學領域，是現代科研工作不可或缺的重要工具。但高等數學內容多、理論深、方法雜，又號稱為大學最難學的一門課程。對比其他課程，高等數學掛科率偏高已然是大學里的普遍現象。而高等數學的教學方法會直接影響到教學效果。面對種種問題，研究如何科學地教好高等數學是十分迫切的。事事都遵循客觀規律，教學也不例外。良好的教學方法可以快速提高學生的邏輯推理能力、分析和解決問題的能力，進而也可以培養學生的初步科研能力。眾所周知，獨木不成林，一花難成春。作為從業多年的教師理應在傳授知識的同時，注重培養青年教學梯隊，打造教學質量過硬的雙語教學團隊。本文主要把教學團隊多年來的教學質量經驗與大家分享，希望對青年教師能夠起到撥云見日、云開月明之功效。在進入大學的第一個學期，對高等數學的教學要科學引導學生入門，注重中學知識點和大學知識點的良好銜接；對高等數學雙語教學的授課內容要科學取舍，抓住重點和難點，教學難點剖析要科學適度，展開歸類例題的講解；授課中時刻關注學生的聽課狀態，注意引導學生的興趣，適時調整雙語教學模式。

一、注意中學知識點與大學知識點的良好銜接

莘莘學子為了實現自己的夢想，經過層層選拔，終于步入了自己夢寐以求的大學殿堂。大一新生對未來充滿了美好的憧憬和向往，對大學開設的高等數學雙語課程流露出了好奇的目光。面對學生渴求知識的目光，我們要做的不僅僅是把知識簡單地傳授給他們，還要科學地將他們引入大學校門，即把他們的思維帶入大學校園。學生往往有先入為主的思維慣性，喜歡這個老師就會喜歡他的課，因此教師要足夠重視第一堂課。第一堂課是展現個人魅力的關鍵時刻，教師要有足夠的“氣場”，所謂的“氣場”可以理解為教師的威懾力與學生的關注度和敬愛度。教師既要做到和藹可親、目光深邃如炬，又要對該領域博大精深的知識能夠融會貫通，讓學生對您有肅然起敬之感，您的每一句話對學生都會有警示和啟迪作用。教師有必要強調為什么學習這門課，如何學好這門課，強調學習方法。對于初學高數的人一定要把中學和大學的數學知識點銜接好。中學數學是高等數學的基礎，高等數學與中學數學知識密切相關。在目前的應試教育模式下，中學的數學教學對很多與高考無關的知識點進行了刪節，比如：極坐標、一些反三角函數等。而個別省對求極限和導數進行了初步講解，但中學老師又沒有把極限和導數的概念講透徹，造成部分學生到了大學里按照中學的慣性思維不顧條件地求極限和求導數。對于中學沒有講過或沒有重點講過的知識點，我們要及時補充，把知識點講透，讓學生丟掉中學的錯誤慣性思維，逐步培養高等數學縝密的邏輯思維。在授課學時不足時，教師可以把某些知識點做成電子課件，通過圖文并茂的方式傳授給學生，做好科學地銜接。在大學的第一學期要注意培養學生良好的學習習慣，中學的填鴨式刷題法固然可以提高分數，但大學里要更注意培養學生預習復習和課外閱讀的良好習慣。在授課時可以同步地給學生發放每個章節的重點、難點和易混易錯問題分析等，以及一些啟發性問題和課外閱讀資料，便于學生對每個章節的知識點進行總結。總之在第一學期教師要花足夠的時間和耐心引領好學生在大學階段學習的第一步。

二、精選雙語教學授課內容，突出重點難點

在教學大綱規定的學時內，要想詳細地講解高等數學的每個知識點是做不到的。但高數課程是一個良好的有機體，如果我們僅對其內容進行簡單刪節，就會破壞其知識的系統性和完整性，從而對學生的理解造成困擾。教師應在反復閱讀教材的基礎上，科學地選擇教學內容，精選講課要點。中俄聯合辦學的高數課程需要中英文雙語教學，因此在選擇合適的中英文教材時，要合理把握難度。我校采用中文教材和外文原版教材相結合的教學模式。實踐中，發現中英文教材各有其優缺點，教師要取長補短，科學取舍。對于初學者，英文教材設置的章節比中文教材更加詳細，起點更低，更容易理解。比如極限定義，英文教材用一節從直觀角度來理解無限接近這一概念，隨后再用一節嚴格地表述極限的數學定義。從這一點來看，大一新生對英文教材更容易理解，而中文教材對極限的直接表述較難被新生接受。因此對中英文教材應做到取長補短，合理設置教案，對學生初次接觸、影響全局的重點難點要用足夠的時間詳細地講解。例如，對極限概念的講解是高等數學的重中之重，因為極限理論是高等數學的核心。盡管部分同學在中學里已經學習了極限，并學會了求極限的初步方法，但中學里往往不強調極限定義的精髓，很多學生會求極限，但不能真正理解極限。由于中學階段學到的量是靜態的量，學生很難對極限有很好的理解和掌握。對極限概念的講解一般從數列的無窮小的變化過程講起。首先要問無窮小是零嗎? 初學者往往會想當然地認為無窮小與零是畫等號的。如何讓學生深刻認識到無窮小？無窮小到底是靜態的量還是動態的量？結合中英文教材，數列極限的“ε-N”定義給了我們很好的解釋。無窮小是一類趨向于零的“動態”變化過程，它可以是以零為極限的數列，也可以是以零為極限的函數，特別注意“零常數列”是一類特殊的無窮小，它也是一種動態變化過程，而“零常數列”并不等價于“常數零”。讓學生真正理解極限，把“靜態”的量轉化為“動態”的量，是一種思維方式的轉變。面對初學者教師首先要用中文把極限定義講明白再給出英文的定義。為了讓學生充分理解極限，首先要完整地給出定義的具體背景，通過多舉例多分析講清極限的來龍去脈，但又要注意不能和數學分析一樣把極限講得太深入，要適時把握好高等數學關于極限部分講解的“深度”和“廣度”。極限概念貫穿了高等數學的始終，函數的連續、求導、定積分及級數的收斂等都是通過極限來定義的。把極限概念講透徹并讓學生真正理解極限，對后續知識點的學習能起到事半功倍的作用。

其次，高等數學中的兩個重要極限也是學生學習的難點和重點。

高數下冊難點之一是兩類曲線積分和兩類曲面積分，即對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分；對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分。在講解這部分內容時，為了不讓同學把各種積分搞混淆，最好的講解方式是從曲線和曲面兩類積分的物理和幾何意義上進行對比。例如，對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分其本質差異是前者積分曲線無方向，其物理意義是變密度曲線的質量，而后者積分曲線有方向，其物理意義是變力做功。兩類曲線積分的計算公式雖然都是通過“定積分”來完成，但仍有較大差異。為了有效區分二者的計算公式可采用“十二字口訣”的方式講解，方便學生記憶。對弧長的曲線積分計算公式可用：“帶回家，換馬甲，論小大，定上下”；這里“帶回家”理解為將曲線的參數式代入被積表達式，“換馬甲”特指將曲線積分的弧長元素ds換成參數式。而對坐標的曲線積分的計算公式可用：“帶回家，換馬甲，抓始終，定上下”，這里的“換馬甲”特指將曲線積分中的dx，dy（或dz）換成參數式。“論小大，定上下”會讓同學牢牢記住對弧長的曲線積分的計算，定積分的下限永遠小于上限，而“抓始終，定上下”會讓同學徹底記住對坐標的曲線積分計算，定積分的下限永遠對應起點，而上限永遠對應終點。或者再簡單一點可采用“一帶，二換，三定限”七字口決的方式，讓學生牢牢記住公式要點。

高數下冊另一難點是格林公式和高斯公式的巧妙使用。1828 年，英國數學家喬治·格林（George·Green）在研究中推出了格林公式，主要揭示了平面區域上的二重積分與沿其邊界的曲線積分之間的關系，公式如下：

式中，L 為區域D 的邊界曲線，取正向。格林公式應用非常廣泛，在講解格林公式時，要抓住“三查”，即“查封閉，查正向，查連續”。為何要強調“三查”？因為格林公式的應用必須滿足定理的條件，而我們的題目通常可分為三大類，即：（1）積分曲線滿足封閉正向，被積函數滿足連續性條件，直接用格林公式。（2）積分曲線為非封閉曲線，需要“順勢而為”添加有向線段做成封閉曲線，使之滿足封閉正向的條件再使用格林公式。（3）當被積函數不滿足連續性條件時，即有奇點的情形，采用挖洞法，挖去奇點，做成多連通區域后再使用格林公式。因此“三查”法強調了不同條件下如何使用格林公式。采用“三查”法講解格林公式的應用在授課中收到了良好的效果。

德國數學家奧斯特洛夫斯基（Ostrowski，Alexander Marko-vic，1777-1855）在熱傳導理論的探索過程中，研究得到了高斯公式，公式如下：

其中S 為區域V 的邊界曲面取外側。在講解高斯公式時，同樣要抓住“三查”，即“查封閉，查正向，查連續”。同樣因為高斯公式的應用必須滿足定理的條件，而題目也基本分為三大類，即，（1）積分曲面滿足封閉正向，被積函數滿足連續性條件，直接用高斯公式。（2）積分曲面為非封閉曲面，需要“順勢而為”補有向曲面做成封閉曲面，使之滿足封閉、正向的條件再使用高斯公式。（3）當被積函數不滿足連續性條件時，即有奇點的情形，采用挖洞法，挖去奇點，做成多連通區域后再使用高斯公式。因此，“三查”法強調了不同條件下如何使用高斯公式。采用“三查”法講解高斯公式的應用簡潔易記，同樣收到了良好的課堂效果。

三、授課中關注學生興趣，適時調整教學模式

在學習中，感興趣地主動去學習和無興趣地被迫去學習，二者效果截然不同。在高等數學的雙語教學中，如何培養學生的興趣，調動學生的學習積極性一直困擾著許多教師。浙江大學數學系教授蘇德礦給我們做了很好的示范。蘇教授說：“當你喜歡一個人的時候，他的一舉一動，一點變化你都看在眼里，別人都變成了常數，他才是唯一的變量，只為他傾倒，如此偏愛成為偏導。”在蘇教授的數學世界里，許多抽象的概念和公式都可以找到生動的類比。作者在中學時期對數學的興趣也是來自一位特級教師趙老師，他的課堂充滿了風趣幽默的話語，滿堂的歡聲笑語。當然，我們不能苛求每位老師都具有他們的風范，但不能把高數講成枯燥乏味地推理和計算。為了讓大一新生適應雙語教學，首先要采用“過渡式”和“混合式”教學模式，所謂“過渡式”就是針對部分英語和數學基礎不是很好的同學，先采用中文講解，再過渡為英文講解，讓學生熟悉數學英語詞匯和正確表述，能看懂英文題目，英文板書和PPT。而“混合式”是針對英語基礎良好的同學，在“過渡式”的基礎上增加英語口語的表達和提問，讓學生做到能夠較流暢地用英語討論數學問題。而雙語教學的最高等級“自如式”就是學生可以聽懂高數的純英語口語上課，能夠熟練地聽說讀寫。但作為非“985”院校，學生的英語基礎并非特別好，采用“過渡式”和“混合式”更為適宜。教師可以根據不同的班級，學生的聽課狀態和效果適時調整教學模式。

教學模式固然重要，教師在課堂上如何才能激發起學生的興趣呢？要想引起學生興趣，教師了解一些數學發展史是有必要的。數學的發展有一個漫長的過程，其發展過程中也是跌宕起伏的，對于很多知識點，在最初的研究過程中前人也曾走了不少彎路。教師在課堂上對高數的發展史用中英文作簡短介紹，讓學生了解高數的發展過程，做到追根溯源。數學的發展離不開每位數學大師，是他們的辛勤付出推動了時代的進步。教師在講解某些著名定理時，適當穿插數學名人小故事，既可以活躍課堂氣氛，也能使學生對定理記憶深刻。例如，在講到拉格朗日定理、柯西定理和阿貝爾定理時，給學生插入一些關于名人的小故事，學生會興趣盎然，同時記住前人進行科學探索的方法。此外，除了講名人故事，也可以用中英文講一些富有哲理的名言警句。例如，把每一件簡單的事做好就不簡單，把每件平凡的事做好就不平凡。教師如果想做到每堂課都有笑聲，需要在課下收集整理很多能夠啟迪人生的有趣故事。教師只要舍得付出，把自己的能力兌換成充滿笑聲的課堂是能夠實現的。高等數學的雙語教學是一門藝術，能講和會講，進而做到受學生歡迎和愛戴是大相徑庭的。講臺好比舞臺，俗話說得好，“臺上一分鐘，臺下十年功”，一個教師要對每堂課做好充分的準備，花很多工夫才會引起學生的興趣，博得學生的掌聲。